Lab 5 TВиМС

Для вычисления вероятностей P7(1), P7(2), P7(3), P7(4), P7(5), P7(6), P7(7) в

диапазон ячеек C18:I18 целесообразно ввести формулы с помощью функции Автозаполнение. Для этого используется маркер заполнения – маленький

квадрат, расположенный в правом нижнем углу ячейки B18 ();

Для контроля правильности построения закона распределения дискретной случайной величины в ячейку J18 листа Задача 2 с помощью Мастера функций ввести формулу =СУММ(B18:I18) и нажать клавишу Enter или кнопку в строке формулы. Полученное в ячейке J18 значение должно быть равно единице.

5.Для построения в Microsoft Excel многоугольника биномиального закона распределения дискретной случайной величины необходимо использовать Мастер диаграмм, описание работы с которым приведено в п. 2.1.

6.Вычисление числовых характеристик случайной величины:

для вычисления математического ожидания биномиальной дискретной случайной величины первым способом (по определению с помощью формулы (1)) в ячейку D40 листа Задача 2 ввести формулу

=B17*B18+C17*C18+D17*D18+E17*E18+F17*F18+G17*G18+H17*H18+I17*I18

и нажать клавишу Enter или кнопку в строке формулы (рис. 11);

для вычисления математического ожидания биномиальной дискретной случайной величины вторым способом (по упрощенной формуле M(X) np) в ячейку D41 листа Задача 2 ввести формулу =G11*G12 и нажать клавишу Enter или кнопку в строке формулы (рис. 11);

для вычисления дисперсии биномиальной дискретной случайной величины первым способом (по определению с помощью формулы (2)) в ячейку D44 листа Задача 2 ввести формулу

=B17^2*B18+C17^2*C18+D17^2*D18+E17^2*E18+F17^2*F18+G17^2*G18+ H17^2*H18+I17^2*I18-D40^2

и нажать клавишу Enter или кнопку в строке формулы (рис. 11);

для вычисления дисперсии биномиальной дискретной случайной величины вторым способом (по упрощенной формуле D(X) npq) в ячейку D45 листа Задача 2 ввести формулу =G11*G12*G13 и нажать клавишу Enter или кнопку в строке формулы (рис. 11);

для вычисления среднего квадратического отклонения биномиальной дискретной случайной величины в ячейку D48 листа Задача 2 ввести формулу =D44^0,5 и нажать клавишу Enter или кнопку в строке формулы (рис. 11).

11

2.3. Гипергеометрический закон распределения дискретной случайной величины

Пусть в корзине из N шаров имеется M белых (M<N). Из корзины случайно отбирают n шаров (каждый шар может быть извлечен с одинаковой вероятностью), причем отобранный шар перед отбором следующего не возвращается в корзину (поэтому формула Бернулли здесь неприменима). Обозначим через Х случайную величину – число k белых шаров среди n отобранных. Очевидно, возможные значения Х таковы: 0,1,2,…,min(M,n).

Найдем вероятность того, что X k, т.е. что среди n отобранных шаров ровно k белых. Используем для этого классическое определение вероятности.

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь n шаров из N шаров, т.е. числу сочетаний CNn .

Найдем число исходов, благоприятствующих событию X k (среди взятых n

шаров ровно k белых); k белых шаров можно извлечь из M белых шаров CMk способами; при этом остальные n k шаров должны быть другого цвета; выбрать же n k шаров другого цвета из N k шаров другого цвета можно CNn kM

способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно CMk CNn kM (по правилу умножения).

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию X k, к числу всех элементарных исходов

P(X k)	CMk	CNn kM	.	(4)
		CNn

Формула (4) определяет распределение вероятностей, которое называется

гипергеометрическим.

Величины N, M, n называются параметрами гипергеометрического распределения случайной величины.

Числовые характеристики гипергеометрической случайной величины можно вычислить двумя способами:

1)по определению с помощью формул (1)-(3);

2)по упрощенным формулам: математическое ожидание гипергеометрического

распределения

с

параметрами

N, M, n,

равно M(X) n

M

,

дисперсия

M

M

n

N

D(X) n

1

1

,

среднее

квадратическое

отклонение

N 1

N

N

(X) D(X).

Задача 3. В корзине 17 шаров одинакового размера, из них 8 белых шаров. Из корзины наудачу отобрано 7 шаров.

1)построить гипергеометрический закон распределения случайной величины Х – числа белых шаров среди отобранных шаров

2)построить многоугольник распределения случайной величины Х;

3)найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

12

Решение. Дискретная случайная величина Х принимает следующие возможные

значения: x1 0,

x2 1, x3

2,

x4 3,x5 4,x6 5,x7 6,x8

7.

Найдем

вероятности возможных значений по формуле (4).

Учитывая, что

по

условию,

N 17, M 8, N M 9, n 7, получим:

P(X 0)

C80 C97

0,40056;

P(X 1)

C81 C96

0,424113;

C7

C7

17

17

P(X 2)

C82 C95

0,15147;

P(X 3)

C83 C94

0,02244;

C7

C7

17

17

P(X 0)

C80 C97

0,40056;

P(X 0)

C80 C97

0,40056;

C7

C7

17

17

P(X 0)

C80 C97

0,40056.

C7

17

Закон распределения случайной величины, построенный по формуле (4), имеет вид:

X	0	1	2	3	4	5	6	7
P(X=k)	0,0019	0,0346	0,1814	0,3628	0,3023	0,1037	0,0130	0,0004

Найдем числовые характеристики случайной величины:

математическое ожидание M(X) n M 7 8 3,2941;

N 17

	дисперсия D(X) n	M			1	M		1	n		7	8		1		8			1		7		1,09;
		N 1				N									17					17
									N			16

среднее квадратическое отклонение (X) D(X) 1,09 1,044.►

Решение в Microsoft Excel.

1.Открыть рабочую книгу Lab 5_ФИО.xls. Переименовать рабочий лист Лист 3 в рабочий лист Задача 3.

2.В ячейку А1 листа Задача 3 ввести Гипергеометрический закон распределения дискретной случайной величины (рис. 12).

Замечание. Для ввода выражения P(X k)	CMk	CNn kM	целесообразно
		CNn

использовать редактор математических формул Microsoft Equation или его более мощный коммерческий аналог MathType Equation.

3.В ячейки Е10:Е13 листа Задача 3 ввести числовые значения: N - числа шаров в корзине, M - числа белых шаров в корзине, (N-M) - числа шаров другого цвета в корзине, n - числа извлекаемых шаров (рис. 12).

4.В ячейках А17:J18 листа Задача 3 построить таблицу гипергеометрического закона распределения заданной дискретной случайной величины (рис. 12).

13

Рис.12. Гипергеометрический закон распределения дискретной случайной величины

Для вычисления вероятностии P(X 0) P7(0) в ячейку В18 листа Задача 3 ввести формулу

=(ФАКТР($E$11)/(ФАКТР(B17)*ФАКТР($E$11-B17)))*(ФАКТР($E$12)/ (ФАКТР($E$13-B17)*ФАКТР($E$12-$E$13+B17)))/(ФАКТР($E$10)/ (ФАКТР($E$13)*ФАКТР($E$10-$E$13))))

и нажать клавишу Enter или кнопку в строке формулы (рис. 12);

Для вычисления вероятностей P7(1), P7(2), P7(3), P7(4), P7(5), P7(6), P7(7) в

14

диапазон ячеек C18:I18 целесообразно ввести формулы с помощью функции Автозаполнение. Для этого используется маркер заполнения – маленький

квадрат, расположенный в правом нижнем углу ячейки B18 ();

Для контроля правильности построения закона распределения дискретной случайной величины в ячейку J18 листа Задача 3 с помощью Мастера функций ввести формулу =СУММ(B18:I18) и нажать клавишу Enter или кнопку в строке формулы. Полученное в ячейке J18 значение должно быть равно единице.

5.Для построения в Microsoft Excel многоугольника гипергеометрического закона распределения дискретной случайной величины необходимо использовать Мастер диаграмм, описание работы с которым приведено в п. 2.1.

6.Вычисление числовых характеристик случайной величины:

для вычисления математического ожидания гипергеометрической дискретной случайной величины первым способом (по определению с помощью формулы (1)) в ячейку D40 листа Задача 3 ввести формулу

=B17*B18+C17*C18+D17*D18+E17*E18+F17*F18+G17*G18+H17*H18+I17*I18

и нажать клавишу Enter или кнопку в строке формулы (рис. 12);

для вычисления математического ожидания гипергеометрической дискретной

случайной величины вторым способом (по формуле M(X) n M ) в ячейку D41

N

листа Задача 3 ввести формулу =E13*E11/E10 и нажать клавишу Enter или кнопку в строке формулы (рис. 12);

для вычисления дисперсии гипергеометрической дискретной случайной величины первым способом (по определению с помощью формулы (2)) в ячейку D44 листа Задача 3 ввести формулу

=B17^2*B18+C17^2*C18+D17^2*D18+E17^2*E18+F17^2*F18+G17^2*G18+ +H17^2*H18+I17^2*I18-D40^2

и нажать клавишу Enter или кнопку в строке формулы (рис. 11);

для вычисления дисперсии гипергеометрической дискретной случайной

величины вторым способом (по формуле D(X) n	M			1	M		1	n
									) в
	N 1
					N			N

ячейку D45 листа Задача 3 ввести формулу

=E13*E11*(1-E11/E10)*(1-E13/E10)/(E10-1)

и нажать клавишу Enter или кнопку в строке формулы (рис. 11);

для вычисления среднего квадратического отклонения гипергеометрической дискретной случайной величины в ячейку D48 листа Задача 3 ввести формулу =D44^0,5 и нажать клавишу Enter или кнопку в строке формулы (рис. 12).

15

2.3. Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины

Нормальное распределение является самым распространенным распределением в природе, технике, экономике, биологии, психологии и т.д. Обоснование этого утверждения дано в А.М.Ляпуновым в центральной предельной теореме теории вероятностей, следствие из которой формулируется следующим образом: если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму очень мало, то случайная величина X имеет распределение, близкое к нормальному.

Непрерывная случайная величина с нормальным законом распределения принимает любые значения в интервале , и может быть задана плотностью вероятности

		1				(x )2
							2 ,
f (x)					e 2				(5)
			2

или функцией распределения F(х)

		1			x		(t )2
								2
F(x)					e		2
			2

1		x
dt					,	(6)
2

где μ и σ – параметры нормального распределения, ( ) –функция Лапласа. Параметрами нормального распределения являются числовые характеристики

случайной величины X, а именно, математическое ожидание M(X), среднее квадратическое отклонение (X).

Утверждение, о том, что случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами μ и σ кратко записывается так: X N( , ).

График плотности нормального распределения (рис.13) называется нормальной кривой или кривой Гаусса1.

f(x)
	1
	2
	O	–		+	x

Рис 13. Плотность вероятности нормального распределения

Методами дифференциального исчисления можно установить, что: 1)нормальная кривая симметрична относительно прямой x = ;

1 Гаусс Карл Фридрих (Gauss Carl Friedrich) (30.4.1777 – 23.2.1855) – великий немецкий математик, астроном

16

2)

функция f(x) достигает в точке х=μ максимума, равного 1/

2 ;

3)

ось Oх является асимптотой функции f(x), т.е.

lim f (x)=0;

x

1

4)

график

функции f(x) имеет две точки

перегиба:

( ;

)и

1

2 e

( ;

).

2 e

При изменении значения μ график функции f(x) смещается вдоль оси х. При увеличении значения σ график сжимается к оси Oх. При уменьшении значения σ

нормальная кривая растягивается вдоль оси Oy.

X N( , )

Вероятность того, что случайная величина

принимает значение в

интервале (x1, x2) определяется, учитывая (6), по формуле

P(x

X x

2

) F(x

2

) F(x )

x2

x1

,

(7)

1

1

где Ф(х) – функция Лапласа.

Правило трех сигм. Рассмотрим частный случай формулы (7), когда границы интервала, в который попадают значения случайной величины X, симметричны относительно математического ожидания . Тогда

P( – < X < + ) =						=2		.

Т.к. двойное неравенство – X + равносильно неравенству X – < Δ, то вероятность того, что случайная величина X N( , ) отклоняется от своего математического ожидания μ по абсолютной величине меньше чем на Δ>0 определяется по формуле

P(| X | ) 2 . (8)

Выразив отклонение случайной величины X в долях среднего квадратического отклонения, т.е. положив Δ=t , равенство (8) можно записать в виде:

	t
	P(X – < t ) = 2			= 2 (t).	(9)

Найдем следующие вероятности:

1)P(X – < ) = 2 (1) = 0,6826;

2)P(X – < 2 ) = 2 (2) = 0,9545;

3)P(X – < 3 ) = 2 (3) = 0,9973.

Из последнего равенства следует, что с вероятностью, близкой к единице, значения случайной величины X попадают в интервал 3 . Вероятность того, что случайная величина примет значение вне этого интервала очень мала, а именно равна 0,0027. Такое событие можно считать практически невозможным. На приведенном рассуждении основано правило трех сигм, которое формулируется следующим образом: если случайная величина имеет нормальное распределение, то практически достоверно, что отклонение этой величины от ее математического ожидания по абсолютной величине не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

17

Это правило часто используется на практике: если распределение случайной величины X не известно, но выполняется правило трех сигм, то можно предположить, что случайная величина распределена по нормальному закону.

Задача 4. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 20 и 2. Найти вероятность того, что:

1)случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (22,25);

2)абсолютная величина отклонения случайной величины X меньше 3.

Решение.

1) Вероятность того, что случайная величина X N( , ) принимает значение в интервале (x1, x2) определяется, по формуле (7), подставив в которую значения

x1 22,	x2 25,	20		и		2, получим:
		25 20				22 20			2,5 (1) 0, 4938 0,3413 0,1525.
Р(22 X 25)
			2				2

2) Найдем по формуле (8) вероятность того, что абсолютная величина отклонения нормальной случайной величины X будет меньше 3:

3

P(| X 20| 3) 2 1,5 2 0,4332 0,8664.►

2

Решение в Microsoft Excel.

1.Открыть рабочую книгу Lab 5_ФИО.xls. Переименовать рабочий лист Лист 4 в рабочий лист Задача 4.

2.В ячейку А1 листа Задача 4 ввести Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины (рис. 14).

3.Записать выражения плотности вероятности, функции распределения нормальной случайной величины, вероятности того, что нормальная случайная величина Х принимает значение в интервале (x1, x2) и вероятности отклонения нормальной случайной величины: (рис. 14).

		1				(x )2
							2
Замечание. Для ввода выражений f (x)					e 2
			2

1			x
, F(x)					,
2

P(x	X x		)		x2				x1		,	P(| X | ) 2				целесообразно
		2
1

использовать редактор математических формул Microsoft Equation или его более мощный коммерческий аналог MathType Equation.

4.В ячейки В21:В24 листа Задача 4 ввести числовые значения: - математического ожидание , - среднего квадратического отклонения, (x1, x2) - интервала значений нормальной случайной величины (рис. 14).

18

Рис.14. Нормальный закон распределения случайной величины

5.Для вычисления вероятностии значения функции Лапласа Φ((x1-μ)/σ) в ячейку В26 листа Задача 4 с помощью Мастера функций ввести формулу

=НОРМСТРАСП((B23-B21)/B22)-0,5

инажать клавишу Enter или кнопку в строке формулы (рис. 14);

6.Для вычисления вероятностии значения функции Лапласа Φ((x2-μ)/σ) в ячейку В27 листа Задача 4 с помощью Мастера функций ввести формулу

=НОРМСТРАСП((B24-B21)/B22)-0,5

инажать клавишу Enter или кнопку в строке формулы (рис. 14);

7.Для вычисления вероятностии P(x1<X<x2) в ячейку В29 листа Задача 4 с формулу =B27-B26 и нажать клавишу Enter или кнопку в строке

19

формулы (рис. 14).

8. В ячейку В35 листа Задача 4 ввести предельное значение отклонения непрерывной случайной величины (рис. 14).

9.Для вычисления вероятностии P(|X-μ|<Δ) в ячейку В37 листа Задача 4 ввести формулу

=2*(НОРМСТРАСП(B35/B22)-0,5)

инажать клавишу Enter или кнопку в строке формулы (рис. 14).

3. Контрольные вопросы

1.Дайте определение случайной величины.

2.Приведите примеры дискретных и непрерывных случайных величин.

3.Что называется законом распределения дискретной случайной величины?

4.Что называют рядом распределения? Дайте определение многоугольника распределения.

5.Какая функция называется интегральным законом распределения случайной величины? Сформулируйте свойства этой функции.

6.Какая функция называется дифференциальной функцией распределения случайной величины? Сформулируйте свойства этой функции.

7.Дайте определение математического ожидания дискретной и непрерывной случайной величины

8.Сформулируйте свойства математического ожидания.

9.Дайте определение дисперсии дискретной и непрерывной случайной величины.

10.Сформулируйте свойства дисперсии.

11.Дайте определение среднего квадратического отклонения случайной величины.

12.Какой закон распределения называют биномиальным?

13.Какой формулой определяется закон распределения Пуассона?

14.Какой формулой определяется равномерный закон распределения? Запишите формулу функции распределения для равномерного распределения и постройте ее график.

15.Какой дифференциальной функцией распределения случайной величины определяется нормальный закон распределения? Объясните содержание параметров, которые входят в выражение этой функции.

16.Как влияют математическое ожидание и дисперсия на форму нормальной кривой?

17.Напишите формулу для вычисления вероятности того, что случайная величина, подлежащая нормальному закону распределения, принимает какое-то значение из интервала (a,b).

18.Сформулируйте правило трех сигм.

4. Литература

1.Теорія ймовірностей і математична статистика: навчальний посібник / Л.М.Малярець, І.Л.Лебедєва, Е.Ю.Желязнякова та ін. – Харків: Вид. ХНЕУ, 2010. -404 с.

2.Теорія ймовірностей і математична статистика у вправах, прикладах та задачах: навчальнопрактичний посібник / Л.М.Малярець, А.В.Ігначкова, Л.Д.Широкорад – Харків: Вид. ХНЕУ, 2010. -548 с.

3.Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для ВУЗов. - 2- изд., перераб. и доп.-М:ЮНИТИ-ДАНА, 2004. -573 с.

4.Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие - 12-е изд., перераб.- М.: Высшее образование, 2006.-479 с.

5.Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие - 11-е изд., перераб. — М.: Высшее образование, 2006.-404 с.

20