Ротор (математика)
Ро́тор, или вихрь — векторный дифференциальный оператор над векторным полем.
Обозначается
(в
русскоязычной[1] литературе)
или
(в
англоязычной литературе),
а также - как векторное умножение дифференциального оператора набла на векторное поле:
Результат действия этого оператора на конкретное векторное поле F называется ротором поля Fили, короче, просто ротором F и представляет собой новое векторное[2] поле:
Поле rot F (длина и направление вектора rot F в каждой точке пространства) характеризует в некотором смысле[3] вращательную составляющую поля F соответственно в каждой точке.
Интуитивный образ
Если v(x,y,z) - поле скорости движения газа (или течения жидкости), то rot v - вектор, пропорциональный вектору угловой скорости очень маленькой и лёгкой пылинки (или шарика), находящегося в потоке (и увлекаемого движением газа или жидкости; хотя центр шарика можно при желании закрепить, лишь бы он мог вокруг него свободно вращаться).
Конкретно rot v = 2 ω, где ω - эта угловая скорость.
Простую иллюстрацию этого факта - см. ниже.
Эта аналогия может быть сформулирована вполне строго (см. ниже). Основное определение через циркуляцию (данное в следующем параграфе) можно считать эквивалентным полученному таким образом.
Математическое определение
Ротор 
векторного
поля 
—
есть вектор, проекция которого 
на
каждое направлениеn есть
предел отношения циркуляции
векторного поля по
контуру L,
являющемуся краем плоской площадки ΔS,
перпендикулярной этому направлению, к
величине этой площадки, когда размеры
площадки стремятся к нулю, а сама площадка
стягивается в точку:
.
Направление
обхода контура выбирается так, чтобы,
если смотреть в направлении 
,
контур Lобходился
по часовой стрелке[4].
В
трёхмерной декартовой системе координат
ротор (в соответствии с определением
выше) вычисляется следующим образом
(здесь F -
обозначено некое векторное поле с
декартовыми компонентами 
,
а 
- орты декартовых
координат):
или
(что можно считать альтернативным определением, по сути совпадающим с определением в начале параграфа, по крайней мере при условии дифференцируемости компонент поля).
Для удобства можно формально представлять ротор как векторное произведение оператора набла(слева) и векторного поля:
(Последнее равенство формально представляет векторное произведение как определитель).
Связанные определения
Векторное поле, ротор которого равен нулю в любой точке, называется безвихревым и является потенциальным. Поскольку эти условия являются друг для друга необходимыми и достаточными, оба термина являются практическими синонимами. (Впрочем, это верно только для случая полей, определённых на односвязной области).
Чуть подробнее о взаимной обусловленности потенциальности и безвихревого характера поля - см. ниже (Основные свойства).
Напротив, поле, ротор которого не равен нулю, называется обычно вихревым, такое поле не может быть потенциальным.
Обобщение
Наиболее прямое обобщение ротора применительно к векторным (и псевдовекторным) полям, определённым на пространствах произвольной размерности (при условии совпадения размерности пространства с размерностью вектора поля) такое
...
или
при индексах m и n от 1 до размерности пространства.
Это же может быть записано как внешнее произведение:
При этом ротор есть антисимметричное[5] тензорное поле валентности два.
В случае размерности 3 свертка этого тензора с символом Леви-Чивиты даёт обычное определение трехмерного ротора, приведённое в статье выше.
Для двумерного пространства может быть вдобавок при желании использована аналогичная формула с псевдоскалярным произведением (такой ротор будет псевдоскаляром, совпадающим с проекцией традиционного векторного произведения на ось, ортогональную данному двумерному пространству - если считать при этом двумерное пространство вложенным в некое трехмерное, чтобы традиционное векторное произведение имело смысл).