Среди линейных метрических пространств важное место занимают нормированные пространства.

Для этого вводится новое понятие, соответствующее длине вектора. Пространство сигналов называется нормированным, если каждому вектору s(t) однозначно сопоставлено число || s ||, называемое нормой. Для вещественных аналоговых сигналов в теории сигналов норму сигнала вводят в виде

(2.8)

Для комплексных сигналов норма сигнала представляется

(2.9)

Квадрат нормы называется энергией сигнала Es

(2.10)

Такая энергия сигнала выделяется на резисторе с сопротивлением 1 Ом. Выражение (2.10) представляется очень удобным, так как отпадает необходимость расшифровывать размерность сигнала.

2.4. Представление сигналов в виде рядов ортогональных функций

При передаче сообщений одновременно существует большое количество разнообразных сигналов. Допустим, что имеются два сигнала si и sj и определим энергию суммарного сигнала

Видно, что в отличие от самих сигналов, их энергии неаддитивны. Энергия суммарного сигнала содержит так называемую взаимную энергию, которая определяется как скалярное произведение двух вещественных сигналов

(2.11)

Если взаимная энергия сигналов si и sj равна нулю, то они называются ортогональными.

Для исследования различных свойств сообщений, сигналов и помех удобно использовать разложение этих процессов в ряды.

Любой процесс (с некоторыми математическими ограничениями) можно представить в виде ряда:

(2.12)

k(t) – ортогональные функции, т.е.:

Ck – коэффициенты разложения, Еk – энергия ортогональных функций.

Если выбрать в качестве ортогональных функций:

то этот ряд (2.12) называется рядом Фурье (тригонометрический ряд).

(2.13)

= 2π/Т – частота первой гармоники, определяемая периодом T (T– период функции x(t)).

Другая, эквивалентная формула записи тригонометрического ряда:

(2.14)

На рис. 2.5 приведены графики, иллюстрирующие представление периодической последовательности прямоугольных импульсов s(t) конечным числом слагаемых (k = 5) ряда Фурье.

Рис. 2.5. Аппроксимация прямоугольных импульсов суммой гармоник

Для спектрального представления последовательности прямоугольных импульсов начало отсчета целесообразно брать в середине импульса.

Действительно, в этом случае в разложении останутся только косинусоидальные составляющие, так как интегралы от нечетных функций за период равны нулю bk = 0.

Для четного сигнала x(t) = x(-t), коэффициенты ak ≠ 0, bk = 0. Для нечетного сигнала x(t) = -x(-t), коэффициенты ak = 0, bk ≠ 0. Для функции s(t) (рис. 2.5) разложение имеет вид

(2.15)

Периодическая последовательность прямоугольных импульсов s(t) представляется как результат сложения постоянной составляющей Am/2 и

синусоидальных сигналов с частотами F1, 3F1, 5F1, …, причем период синусоиды с частотой F1 совпадает с периодом последовательности импульсов s(t) . Для удобства F1 можно представить в виде F1 = Ω1/2π = 1/T.

Легко заметить, что график суммы двух первых слагаемых разложения (2.15) воспроизводит форму графика функции s(t) очень грубо, только в основных чертах.

Учет третьего слагаемого существенно улучшает совпадение суммы с функцией s(t).

Таким образом, с увеличением числа учитываемых гармоник точность представления s(t) возрастает.

Совокупность всех гармонических составляющих разложения функции в ряд Фурье называется спектром функции.

Наличие отдельных гармонических составляющих спектра и величины их амплитуд можно наглядно показать с помощью спектральной диаграммы (рис. 2.6), у которой горизонтальная ось служит осью частот, а вертикальная – осью амплитуд.

Рис. 2.6. Спектр амплитуд прямоугольных импульсов

В точках оси частот F1, 3F1, 5F1, …, отображаются амплитуды соответствующих гармонических составляющих разложения функции.

На практике спектральные диаграммы называют более кратко – амплитудный спектр, фазовый спектр.

Чаще всего интересуются амплитудным спектром (рис. 2.6). По нему можно оценить процентное содержание гармоник, наличие и уровни отдельных гармонических составляющих спектра.