матан
.doc|
12.Числовая последовательность и её предел. Свойства предела. Необходимый и достаточный признак сходимости последовательности. Последовательностью называется функция, которая определена на множестве натуральных чисел. , - общий член последовательности. Способы задания последовательности: 1.Словесное описание (последовательность четных, натуральных чисел). 2.Аналитический (формулы). 3.Графический. 4.Рекуррентное задание – член последовательности, начиная с некоторого номера выражается через несколько предыдущих (Пример: числа Фибоначчи. : 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; … Последовательность называется возрастающей (убывающей) если (). Последовательность называется не возрастающей (не убывающей) если для всякого натурального (). (Пример: - убывающая, - возрастающая.) Последовательность, все члены которой равны, называется постоянной. Последовательность, все члены которой, начиная с некоторого номера равны, называется стационарной. (Пример: 2; 2; 2; ; ; …) Пусть дана последовательность . Последовательность называется последовательностью последовательности, если она составлена из членов последовательности и при этом сохраняется порядок следования элементов. (Пример: 1; 2; 3; 4; 5; … - последовательность; 1; 3; 5; … - подпоследовательность). Предел последовательности Число называется пределом последовательности если для всякого положительного найдется номер , что для всякого натурального выполняется . . . Геометрический смысл предела: начиная с номера все элементы последовательности лежат внутри промежутка ; в не его лежит лишь конечное число членов последовательности. Свойства пределов: 1.Если последовательность имеет предел, то он единственный. 2.Если последовательность сходится, то она ограниченна. Из ограниченности не следует сходимость. 3.Предел сходимости есть . . 4.Постоянная последовательность сходится, причем к общему члену . 5.Если , , то . 6.Если , и , то. 7.Теорема о сжатой последовательности. , и , тогда . Последовательность называется бесконечно малой, если предел её равен 0 ( - БМ ).
|
13.Предел и непрерывность функции в точке. Основные свойства непрерывных функций на отрезке. 1.Пусть для числовой функции точка (конечная или бесконечно удаленная) является предельной точкой её области определения. Число или бесконечно удаленная точка называется пределом функции в точке , если для любой последовательности со свойствами ,, соответствующая последовательность значений функции сходится к : . Обозначение: , или при . (Определение по Г.Э. Гейне). 2.Пусть у числовой функции точка (конечная или бесконечно удаленная) является предельной точкой её области определения. Число или бесконечно удаленная точка называется пределом функции в точке , если , или , т.е. образ проколотой окрестности включается в окрестность . (Определение по Коши). Точка множества называется изолированной точкой этого множества, если найдется такая окрестность этой точка, в которой не существует других точек множества, кроме её самой. Пределом функции в изолированной точке области определения называется значение функции в этой точке: . Свойства предела функции: 1.Если у функции существует предел в точке , то он единствен. 2. Если пределом у функции в точке является число, то существует окрестность , в которой функция ограничена. 3.Пусть – предельная точка множества и , , причем . Тогда существует , в которой (за исключением, возможно, точки ) выполняется неравенство . 4. Пусть – предельная точка множества и , . Если существует , в которой (за исключением, возможно, точки ) выполняется неравенство , то . 5.(Предел сжатой функции). Пусть – предельная точка множества = и . Если существует , в которой (за исключением, возможно, точки ) выполняется неравенство , то . 6. Пусть – предельная точка множества и , . Тогда ; ; . Если же , то . Если , то . Непрерывные функции на отрезке. Пусть – предельная точка области определения функции , входящая в . Функция непрерывна в точке , если у нее существует предел в точке , равный : . Если – изолированная точка области определения функции , то функция в ней непрерывна. Обозначение: . Пусть . Функция , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции в точке : . Функция непрерывна на множестве М, если она непрерывна в каждой точке этого множества. Обозначение:. Свойства функций, непрерывных в точке: 1.Сумма, разность, произведение функций, непрерывных в точке , непрерывны в этой точке. Частное этих функций также непрерывно, если делитель в точке не равен нулю. 2.Если и , то есть такая окрестность , в которой значения имеют тот же знак, что и знак , т.е. в окрестности верно неравенство . 3. Если , то существует окрестность точки , в которой функция ограничена. Простейшие классы непрерывных функций: 1.Функция константа непрерывна на . 2.Функция непрерывна на . 3. Функция непрерывна на . 4. Любой многочлен непрерывен на . 5.Любая рациональная функция (частное двух многочленов) непрерывна на за исключением точек, где знаменатель равен нулю (иначе – рациональная функция непрерывна на своей области определения). 6.Синус, косинус непрерывны на . 7.Тангенс, котангенс непрерывны на своей области определения. 8.Степенная, показательная, логарифмическая функции непрерывны, каждая в своей области определения. Свойства непрерывных на отрезке функций: 1.Теорема (первая теорема Б. Больцано – О. Коши). Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения противоположных знаков, то хотя бы в одной внутренней точке отрезка она равна нулю. 2. Теорема (вторая теорема Б. Больцано – О. Коши). Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает различные значения А, В, то она принимает на этом отрезке и любое промежуточное значение С. 3. Теорема (первая теорема К. Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на нем. 4. Теорема (вторая теорема К. Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то множество ее значений имеет наименьший и наибольший элемент.
|
14.Показательная функция, ее основные свойства. Разложение в степенной ряд. Логарифмическая функция, ее свойства. Разложение в степенной ряд. Показательной функцией называется функция, которую можно выразить формулой , где - аргумент, а - некоторое фиксированное положительное число. Пример: , , . Свойства показательной функции: 1.. 2. . 3. При показательная функция возрастает, при она убывает на всей числовой оси. При показательная функция является постоянной. 4. . 5. Показательная функция непрерывна в каждой точке своей области определения. 6. При , . При , . 7. При множество значений показательной функции является луч . При множество значений показательной функции состоит из одного числа 1. Разложение в степенной ряд: =+++…++… Функция, определенная равенством , где - положительное, отличное от единицы число, называется логарифмической функцией. Отсюда следует, что каждое значение логарифмической функции есть логарифм некоторого значения переменной при основании . Логарифмическая функция обратна показательной. Поэтому график ее симметричен графику показательной функции относительно биссектрисы первой и третьей четверти. Свойства: Логарифмическая функция определена только для положительных чисел : . График логарифмической функции расположен правее оси ординат. Если , то логарифмическая функция положительна при , отрицательна при и равна нулю при . При логарифмическая функция является возрастающей. Если , то логарифмическая функция положительна при , отрицательна при и равна нулю при . Если , то логарифмическая функция является убывающей. Если , то график логарифмической функции выпуклый. Если , то график логарифмической функции вогнут. Разложение в степенной ряд: =-+-…++… .
|
15.Тригонометрические функции, их основные свойства. Разложение в степенной ряд синуса и косинуса. Функция определена для всех действительных значений , . Функция ограниченна. Она принимает все действительные значения на интервале от -1 до 1, . Функция является нечетной, . График ее синусоида – симметричен относительно начала координат 0. Функция периодична, с периодом . Функция при . Функция проходит через начало координат 0, т.е. при . В интервалах функция положительна. В интервалах функция отрицательна. В интервалах функция возрастает от -1 до 1. В интервалах функция убывает от -1 до 1. Функция принимает наименьшее значение, равное -1, в точках . Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках . Разложение в степенной ряд: =. Функция определена для всех действительных значений , . Функция ограниченна. Она принимает все действительные значения на интервале от -1 до 1, . Функция является четной, . График ее синусоида – симметричен относительно оси Оу. Функция периодична, с периодом . при . проходит через точку с координатами (0; 1). В интервалах функция положительна. В интервалах функция отрицательна. В интервалах функция возрастает от -1 до 1. В интервалах функция убывает от -1 до 1. Функция принимает наименьшее значение, равное -1, в точках . Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках . Разложение в степенной ряд: =. Функция определена для всех действительных значений , кроме . Функция не ограниченна. Она принимает как любые отрицательные, так и любые положительные значения, , а также значение 0. Среди этих чисел нельзя назвать ни наименьшего, ни наибольшего. Функция является нечетной, . График ее симметричен относительно начала координат 0. Функция периодична, с периодом . Функция при . Функция проходит через начало координат 0, т.е. . В интервалах функция положительна. В интервалах функция отрицательна. В интервалах функция возрастает от - до +. Функция определена для всех действительных значений , кроме . Функция не ограниченна. Она принимает как любые отрицательные, так и любые положительные значения, , а также значение 0. Среди этих чисел нельзя назвать ни наименьшего, ни наибольшего. Функция является нечетной, . График ее симметричен относительно начала координат 0. Функция периодична, с периодом . Функция при . Функция проходит через точку с координатами . В интервалах функция положительна. В интервалах функция отрицательна. В интервалах функция убывает от - до +.
|
||||||||||||||||||
|
16.Производная, дифференцируемость и условия дифференцируемости. Геометрический и механический смысл производной. Пусть дана функция , функция определена на множестве А. Дана точка , зададим приращение аргумента , так что точка . Приращение аргумента вызовет приращение функции в точке . Если существует предел , то его называют производной функции в точке . Функция называется дифференцируемой в точке , если приращение аргумента соответствует такое приращение функции такое, что выполняется равенство , где - некоторое действительное число; - бесконечно малая функция более высокого порядка, чем . Критерий дифференцируемости функции. Для того чтобы функция имела производную в точке необходимо и достаточно, чтобы она была дифференцируема в этой точке. Доказательство: докажем необходимое условие. Пусть имеет производную в точке . Докажем: дифференцируема в точке . . Тогда найдется бесконечно малая функция , такая что , , . Докажем достаточное условие. дифференцируема в точке . Докажем, что существует . Функция дифференцируема, следовательно, , , . Необходимое условие дифференцируемости функции. Если дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке. Доказательство: . При (по определению непрерывности). Геометрический смысл производной. Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику этой функции, проведенной в точке с абсциссой , . Механический смысл первой и второй производных. Скорость тела в момент времени равна , а ускорение равно , где – путь, пройденный телом к моменту времени . Правила дифференцирования: =+; =-; =+; =.
|
17.Теорема Лагранжа. Условие постоянства, монотонности функции на промежутке. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех ее внутренних точках, то внутри отрезка найдется по крайней мере одна такая точка , что . Доказательство: для доказательства построим вспомогательную функцию , которая бы удовлетворяла условиям теоремы Ролля (Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема во всех ее внутренних точках и значения функции на концах равны, т.е. , то внутри отрезка найдется по крайней мере одна такая точка ,что ): . Построенная нами функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: она непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех ее внутренних точках, так как таковыми являются функции, из которых она состоит. Остается проверить равенство значений этой функции на концах отрезка : ; =0. Следовательно, по теореме Ролля внутри отрезка найдется по крайней мере одна такая точка ,что . Найдем предварительно : . Подставив вместо значение , находим: =0. Отсюда окончательно находим: . Теорема Ролля: Пусть непрерывна на , дифференцируема на интервале и . Тогда существует хотя бы одна внутренняя точка , в которой. Условия постоянства функции. Для того чтобы дифференцируемая на промежутке функция была постоянной, необходимо и достаточно, чтобы ее производная всюду на промежутке равнялась нулю. Условия монотонности функции. Для того чтобы непрерывная на промежутке и дифференцируема во всех его внутренних точках функция была неубывающей (невозрастающей), необходимо и достаточно, чтобы на выполнялось неравенство . Теорема. Достаточный признак строгой монотонности. Если непрерывна на промежутке , дифференцируема на , где выполняется неравенство , то строго возрастает (убывает) на .
|
18.Экстремумы, признаки экстремума. Выпуклость и точки перегиба. Функция в точке имеет максимум (или минимум), если существует - окрестность этой точки , что для всех точек этой окрестности выполняется неравенство (или ). Точка называется точкой максимума (или минимума) функции . Точки максимума или минимума называются точками экстремума функции. Необходимое условие экстремума функции. Если функция дифференцируема в точке и в некоторой ее окрестности и в точке имеет экстремум, то первая производная этой функции в точке равна нулю, т.е. (или точка является стационарной). Обратная теорема не верна. Первое достаточное условие существования экстремума функции. Если функция дифференцируема в окрестности критической точки , и в этой окрестности первая производная меняет знак, то в точке функция имеет экстремум: максимум, если первая производная меняет знак с «плюса» на «минус»; минимум, если первая производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Теорема. Если функция имеет как в окрестности стационарной точки , так и в самой точке непрерывную вторую производную, причет в самой точке вторая производная отлична от нуля, то при функция в точке имеет максимум, а при функция в точке имеет минимум. Если же , то исследование проводится с помощью производной первого порядка. ВЫПУКЛОСТЬ. График функции называется выпуклым с точке , если существует такая - окрестность этой точки , что для всех точек этой окрестности точки графика функции лежат под касательной, проведенной к графику функции в точке, абсцисса которой равна , и вогнутым, если график функции находится над касательной. Теорема. Достаточное условие выпуклости и вогнутости графика функции на интервале . Если функция на интервале имеет непрерывную вторую производную и для всех точек интервала выполняется неравенство , то график функция на интервале является выпуклым, а при - вогнутым. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА. Точкой перегиба графика функция называется такая ее точка, в окрестности которой график функции меняет выпуклость на вогнутость или наоборот. Теорема. Необходимое условие наличия у функции точек перегиба. Если функция как в самой точке , так и в некоторой ее окрестности имеет непрерывные вторые производные и в точке, абсцисса которой равна , имеет точку перегиба, то вторая производная функция при равна нулю: Внутренние точки области определения, в которых у функции вторая производная или не существует, или равна нулю, называется критическими на перегиб. Теорема. Достаточный признак точки перегиба. Пусть в окрестности точки функция непрерывна и имеет вторую производную, причем , возможно, и не существует. Если при переходе через вторая производная меняет знак, то - точка перегиба. Если при переходе через вторая производная сохраняет знак, то - не точка перегиба.
|
19.Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица интегралов. Общие методы интегрирования. Функцию , заданную на некотором промежутке, называют первообразной функции , заданной на том же промежутке, если для всех из этого промежутка выполняется равенство . Совокупность (множество) всех первообразных заданной функции называется неопределенным интегралом этой функции, и он обозначается: , где знак интеграла; - подынтегральная функция; – подынтегральное выражение; – переменная интегрирования; - дифференциал переменной интегрирования. Таким образом, если - первообразная функции , - произвольная постоянная, то по определению неопределенного интеграла: , где - некоторая первообразная функция для функции ; - произвольная постоянная. Основные свойства неопределенного интеграла: 1.=, или =. 2. , или . 3. Если - первообразная для функции на , то для любого =. 4. Если и - соответственно первообразные для функции и на , то =. Таблица интегралов:
Методы интегрирования неопределенных интегралов. Метод замены переменной интегрирования: Пусть требуется найти интеграл , где подынтегральная функция подразумевается непрерывной, а значит, неопределенный интеграл от нее существует, и пусть заданный интеграл не поддается непосредственному интегрированию. Однако, если переменную интегрирования заменить на функцию новой переменной , получим интеграл от переменной , который можно свести к табличному. После интеграции по переменной необходимо вернуться к прежней переменной .. Способ подстановки: Пусть требуется найти неопределенный интеграл от непрерывной функция , при этом заданный интеграл не поддается интегрированию известными нам методами. Однако, если некоторое выражение от в подынтегральной функции обозначить через новую переменную , то получим интеграл, который сводится к табличному. . Интегрирования по частям: Пусть и - две дифференцируемые функции одного и того же аргумента. Известно, что . Возьмем от обеих частей равенства неопределенный интеграл: , или . Отсюда находим: .
|
|
20.Определенный интеграл и его свойства. Некоторые классы интегрируемых функций. Формула Ньютона-Лейбница. Пусть функция ограничена на множестве М. Разность -= называется колебание функции на множестве М. Критерий интегрирования на языке колебания. Функция интегрируема по тогда и только тогда, когда она ограничена на и . Основные свойства определенного интеграла: 1.(Вынесение постоянного множителя). Если функция интегрируема по , то при любом функция также интегрируема по , причем , где . 2.(Аддитивность интеграла по функции). Если функции интегрируема по , причем . 3.Если интегрируема по , то она интегрируема и по любому его подотрезку . 4.(Аддитивность интеграла по отрезку). Если функция интегрируема по и , то она интегрируема и по отрезку , причем =+. 5.(Обобщенная аддитивность интеграла по отрезку). При любом взаимном расположении точек и при условии интегрируемости функции по отрезку, имеющему концами две из них и содержащему третью, имеет место неравенство =+. 6.Если на и интегрируема по , то . 7.(Интегрирование неравенств). Если на и функция и интегрируемы по , то . 8.(Интегрируемость модуля функции). Если функция интегрируема по , то и функция интегрируема по , причем . Классы интегрируемых функций: 1.Если функция монотонна на , то она интегрируема по . 2. Если функция непрерывна на , то она интегрируема по . Формула Ньютона-Лейбница. Если непрерывна на , а – какая-либо ее первообразная на , то ==.
|
21.Приложения определённого интеграла к вычислению площади плоской фигуры, объёма тела, длины дуги. Геометрический смысл определенного интеграла. Пусть функция определена, непрерывна и неотрицательна на , тогда плоская фигура, ограниченная дугой графика функции на этом отрезке и прямыми , , , называется криволинейной трапецией. Площадь криволинейной трапеции определяется по формуле: , т.е. определенный интеграл от функции по равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева и справа – отрезками прямых , , снизу – отрезком оси OX. Площадь сложной фигуры. Под сложной фигурой будем понимать часть плоскости, ограниченную непрерывными на отрезке кривыми и и прямыми , . Площадь сложной фигуры находится по формуле: . Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и осью абсцисс, =2,. Решение: ==3=3==56. Объем тела. , где – площадь сечения. Объем тела вращения. Пусть на отрезке задана непрерывная и неотрицательная кривая . Будем вращать ограниченную ею криволинейную трапецию вокруг оси OX. – площадь перпендикулярного сечения круга с . =. Вокруг оси OY: =. Длина дуги. Пусть дана кривая , , на отрезке . Пусть и имеют непрерывную производную, тогда кривая спрямляема и =dt.
|
22.Числовые ряды. Признаки сходимости рядов. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Пусть дана числовая последовательность Сопоставим этой последовательности символ , который назовем числовым рядом. Числовым рядом называется сумма членов бесконечной последовательности. При этом общий член последовательности называется общим членом ряда. Сумма n первых членов называется n – ой частичной суммой ряда. Сходимость ряда. Пусть дан ряд в соответствии с этим рядом составим последовательность по следующему закону Условно запишем, что мы получили последовательность вида , получили последовательность частичных сумм данного ряда. Последовательность частичных сумм может сходиться или расходиться. Последовательность сходиться, если она имеет предел (конечный). Последовательность расходиться, если предел равен бесконечности или не существует. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм. Ряд называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм не имеет предела. Предел последовательности частичных сумм ряда называется суммой ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Т.Для того, чтобы ряд сходился необходимо, но недостаточно, чтобы общий член ряда при неограниченном возрастании номера стремился к нулю. Дано: . Док-ть: Д-во: Рассмотрим - Вывод: из сходимости ряда следует, что Признаки сходимости рядов. 1.Дан ряд . Если отбросить k первых членов ряда, то получим новый ряд . Его называют остатком ряда после k – го члена. Т.Если данный ряд сходится, то его остаток тоже сходится и обратно, т.е. для сходимости ряда необходимо и достаточно чтобы сходился его остаток. Из Т. следует, что отбрасывание или прибавление конечного числа членов ряда не влияет на сходимость ряда. Положительным рядом называется ряд, все члены которого неотрицательны. Последовательность частичных сумм положительного ряда есть всегда возрастающая последовательность чисел. Для того чтобы положительный ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы все его частичные суммы были ограничены сверху некоторым числом. Пусть даны два положительных ряда и ; если выполняется неравенство (n=1,2,3,…), то из сходимости ряда следует сходимость ряда , т.е. из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами). Признак Даламбера сходимости положительного ряда. Пусть дан положительный ряд , ; если существует предел отношения последующего члена к предыдущему , тогда если Д<1, то ряд сходится; если Д>1, то ряд расходится; если Д=1, то признак не работает. Признак Коши сходимости положительного ряда. Дан положительный ряд; если существует предел , тогда если с<1, то ряд сходится; если с>1, то ряд расходится; если с=1, то признак не работает. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Знакочередующимся рядом называется ряд, в котором любые два соседних члена имеют разные знаки. -сходится; -1+1-1+1-… – расходится. ТЕОРЕМА. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Будем считать, что первый член ряда положительный. Если последовательность монотонно убывает, и предел , то ряд сходится. Д-во: Оценим последовательность частичных сумм ряда с четными номерами. 1) - убывающая. Получаем числа в скобках положительные. – возрастающая. 2). - будет ограничена сверху. - сходящаяся. Существует предел последовательности частичных сумм, сл-но, ряд сходящийся. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Теорема о сходимости ряда, для которого сходится ряд из его абсолютных величин. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Сходящийся ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (ряд из абсолютных величин), составленный из абсолютных величин членов первого ряда. Если же ряд - сходится, а ряд - расходится, то ряд называется условно сходящимся. ТЕОРЕМА. Из сходимости одного лишь ряда уже следует сходимость ряда . Признак Даламбера и Коши абсолютной сходимости ряда. Даламбер. Пусть дан знакопеременный ряд , ; если существует предел отношения последующего члена к предыдущему , тогда если Д<1, то ряд сходится абсолютно; если Д>1, то ряд расходится; если Д=1, то признак не работает. АНАЛОГИЧНО ДЛЯ КОШИ , .
|
23.Функциональные ряды. Степенные ряды и их свойства. Формула и ряд Тейлора. Признаки разложимости функции в ряд Тейлора. Функциональные ряды. Пусть дана функциональная последовательность , функциональным рядом называется сумма членов функциональной последовательности Если функциональная последовательность равномерно сходится к (Т – область сходимости функциональной последовательности), то ряд равномерно сходится к своей сумме. Критерий Коши равномерной сходимости и функционального ряда. Для того чтобы функциональный ряд равномерно сходился к своей сумме на мн-ве А необходимо и достаточно, чтобы . Достаточный признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда. Пусть дан ряд и - сходится, , причем на мн-ве А выполняется условие (). Тогда функциональный ряд сходится, причем равномерно к своей сумме. Теорема о почленном интегрировании функционального ряда. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дан сходящийся ряд , составленный из функций , интегрируемых в ; если имеет место равенство , то говорят, что ряд можно почленно интегрировать в . ТЕОРЕМА. Если ряд , где непрерывны в , равномерно сходится в , то его можно почленно интегрировать в . Теорема о почленном дифференцировании функционального ряда. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дан сходящийся ряд , составленный из функций , дифференцируемых а точке х; если имеет место равенство , то говорят, что ряд можно почленно дифференцировать в точке. ТЕОРЕМА. Если ряд рассматривается в промежутке , причем 1)функции дифференцируемы в ; 2)функции непрерывны в ; 3)ряд равномерно сходится в , то ряд можно почленно дифференцировать в любой точке . Степенные ряды. Ряды, членами которого являются целые положительные степени независимой переменной х или двучлена (х-а) (гда а- постоянная), умноженные на числовые коэффициенты: , называются степенными рядами. ТЕОРЕМА АБЕЛЯ. Дан степенной ряд . 1)если он сходится для некоторого значения , то он сходится и притом абсолютно для всех значений ; 2) если он расходится для некоторого значения , то он расходится и для всех значений х таких, что . СЛЕДСТВИЕ. Если расходится в точке , то он расходится для . ***Дан степенной ряд Найдется число R>0, такое что для любого Х, , ряд сходится, причем абсолютно. Данное R называется радиусом сходимости степенного ряда. ТЕОРЕМА. 1)Степенной ряд с радиусом сходимости R сходится равномерно во всяком замкнутом промежутке . 2)Сумма степенного ряда есть непрерывная функция внутри промежутка сходимости. 3)Степенной ряд можно почленно интегрировать по любому промежутку, лежащему внутри промежутка сходимости. Теорема о существовании интервала сходимости степенного ряда. Если степенной ряд сходится не на всей числовой оси, но и не только в точке Х=0, то существует число R>0 такое, что а)ряд абсолютно сходится для , б)ряд расходится при . Число R>0, определенное в теореме называется радиусом сходимости степенного ряда. Промежуток (-R,R) называется промежутком сходимости степенного ряда. Если степенной ряд сходится во всех точках числовой оси, то пишут R=+. Если степенной ряд сходится только при Х=0, то считают что R=0. Теорема о радиусах сходимости степенного ряда и рядов из его производных и первообразных. Пусть даны ряды:, , пусть ряд (1) имеет радиус сходимости R, тогда ряды (2), (3) имеют тот же самый радиус сходимости, т.е. R. Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой точке Хϵ(-R,R). Условия:1) - сходился на (-R,R); 2) - непрерывная функция; 3) - равномерно сходится к своей сумме. существует производная k-го порядка . Бесконечная дифференцируемость суммы степенного ряда. Если , тогда коэффициенты можно найти по формуле . Для рядов общего вида , . Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лангранжа. Формула Тейлора. Пусть функция имеет на интегрируемую n+1 производную тогда на этом интервале будет справедливо равенство =, где - многочлен Тейлора, - остаточный член. Часто используют другую форму записи остаточного члена формулу Лагранжа , где сϵ. Если функция является суммой степенного ряда в каком либо промежутке, то говорят, что функция в этом промежутке разлагается в степенной ряд.
|