алгебра

26.Кольцо целых чисел. Наибольший общий делитель, его существование и единственность. Алгоритм Евклида для нахождения НОД двух целых чисел. Множество целых чисел это кольцо. - поле, ; Общим делителем называется , такой что . Замечание: Для любых множеств общий делитель всегда существует (например, ). Пример: ; ; . , т.к. , , т.к. По определению 3 – общий делитель и . Наибольшим общим делителем называется многочлен : 1) – общий делитель ; 2) на любой другой общий делитель. Если = в , где – поле, то – тоже является , где . Если , то = – свойство ассоциативности НОД. Алгоритм Евклида. Лемма 1.Если , то тогда . Лемма 2. Если , то тогда , где . Утверждение: - поле; . Делим с остатком , где либо . Если , то алгоритм заканчивается, , . Если , процесс продолжаем, , где либо . Процесс продолжается до тех пор пока . Тогда - последний ненулевой остаток. Свойства НОД: 1.=; 2.=; 3.Теорема о линейном представлении НОД. Пусть . Тогда . Теорема о делении с остатком: 1); 2).

27. Простые числа. Свойства простых чисел. Бесконечность множества простых чисел. Основная теорема арифметики. Целое положительно число называется простым, если его нельзя разложить на положительные множители, каждый из которых не равен единице. Целое положительно число называется простым, если оно имеет не более двух положительных делителей: 1 и . Целое положительное число называется составным, если оно имеет более двух положительных делителей, кроме 1 и . Свойства: 1.Любое целое положительное число не равное единице делится на некоторое простое число (Например: , ); 2., – простое число; или ; 3. – простое число) НОД(a,p)=1 или ; 4.Простых чисел бесконечно много. Док-во четвертого: Предположим, что простых чисел конечное число. Перечислим их p1,p2,…..pn.Составим число p1,p2,p3,…,pn+1. Это число не делится ни на одно из чисел p1,p2,…..pn (дает остаток 1 при делении на каждое из этих чисел) следовательно оно делится на 1 и на себя. Мы получим новое простое число, которого нет среди чисел p1,p2,…..pn. Продолжая этот процесс, мы будем получать новые простые числа, т.е. их не может быть конечное число. Основная теорема арифметики. Всякое число n, большее 0 и не равное 1, может быть разложено в произведение простых чисел и это разложение единственно с точностью до порядка следования множителей. Канонический вид: ; – попарно различные простые числа; .

28.Поле комплексных чисел. Различные формы комплексного числа. Теорема Муавра о возведении комплексных чисел в целую степень. Построение C. Рассмотрим =; =; =; =. - поле. 1.; 2.; ; 3.=+*, – алгебраическая форма комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа: – аргумент комплексного числа, – модуль комплексного числа. . Экспоненциальная форма комплексного числа . Теорема Муавра. , ; .

29. Определение определителя. Определители 2 и 3 порядков. Миноры и алгебраические дополнения. Способы вычисления определителей высших порядков. Определителем квадратной матрицы называется сумма произведений элементов матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца со знаком, соответствующим знаку подстановки, составленной из индексов элементов в произведении. |A|=, где r= (sign= – знак, r(1),r(2)…r(n) – номер столбца). Определитель 2 порядка. , |A|=? ; ; . |A|=+; |A|=. Определитель 3 порядка. ; . Примеры: 1) 2) – верхнетреугольная – произведение элементов главной диагонали; 3) . Миноры и алгебраические дополнения. Пусть F – поле из скаляров и A=; . Подматрицей матрицы А называется матрица, которая получается из А в результате вычеркивания какой либо совокупности ее строк и столбцов. Подматрица, состоящая из к-строк и к-столбцов, называется подматрицей к-порядка. Определитель подматрицы k-порядка матрицы A называется минором k-го порядка матрицы A. Минорами первого порядка матрицы А является ее элементы. Определитель матрицы, полученный из квадратной матрицы А вычеркиванием i-ой строки и k –ого столбца, называется минором элемента и обозначается через . Произведение называется алгебраическим дополнением элемента и обозначается через . Отметим, что и не зависят от элемента , однако зависит от четности суммы . Способы вычисления определителей высших порядков. Метод приведения определителя к треугольному виду. Метод состоит из двух шагов: 1. При помощи элементарных преобразований привести определитель к треугольному виду. 2. Вычислить определитель треугольного вида, перемножая его элементы, стоящие на главной диагонали. Метод понижения порядка определителя. Этот метод также основан на элементарных преобразованиях определителя: 1. При помощи элементарного преобразования III типа нужно в одном столбце (или одной строке) сделать равными нулю все элементы, за исключением одного. 2. Разложить определитель по этому столбцу (строке) и получить определитель меньшего порядка, чем исходный. Метод изменения всех элементов определителя. Вычисление определителей с помощью рекуррентных уравнений.

30. Система линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Система линейных уравнений. * ( – свободные члены). Если , то система называется однородной. Иначе, если существует , то система называется неоднородной. Набор называется решением системы, если при подстановке , , …, получаем верные равенства. Замечание: в решении порядок важен, он соответствует порядку индексирования неизвестных . Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. А иначе она называется несовместной. По системе * можно составить 2 матрицы из коэффициентов – основная матрица системы *. – расширенная матрица системы *. – столбик свободных членов. Две системы линейных уравнений называются равносильными, если множество их решений совпадают. Или они обе не совместны. Элементарные преобразования в СЛУ. 1.Перемена уравнений местами. 2.Умножение уравнения системы на отличное от нуля число. 3.Прибаление к одному уравнению системы другого уравнения этой системы, умноженного на любое число. 4.Вычеркивание из системы (или приписывание) уравнение вида 0=0. Теорема. При применении какого-либо элементарного преобразования СЛУ превращается в равносильную ей СЛУ. Методы решения систем линейных уравнений. 1.Метод Гаусса (любая система) – метод последовательного исключения неизвестных; суть его в том, чтобы с помощью элементарных преобразований привести систему к простому треугольному виду (диагональному виду). Результат: нет решений; единственное решение; бесконечное множество решений. 2.Матричный метод: количество уравнений равно количеству неизвестных. . – основная матрица, квадратная. – столбик неизвестных. – столбик свободных членов. – матричная запись системы. Если , то существует . Домножим на уравнение в матричной форме. (ассоциативность умножения) (по определению обратной матрицы) (E – единичная матрица) . 3.Метод Крамера: количество уравнений равно количеству неизвестных. . . ; , – – ый столбик.

31. Обратная матрица. Способы нахождения обратной матрицы. Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда существует матрица B такая, что A*B=E и B*A=E (E – единичная матрица). B – обратная матрица. Способы нахождения. 1. По определению (неопределенных коэффициентов) сводится к решению системы уравнений + проверка.(перемножаем матрицы, получится новая матрица; получаем систему). 2. С помощью присоединенной матрицы . ( Дана матрица А, находим к ней присоединенную матрицу , ) 3. С помощью неособенных строчечных элементарных преобразований. Несобственными элементарными преобразованиями называются: 1) умножение любой строки (столбца) матрицы на любой ненулевой скаляр (число) из поля F; 2) прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца) матрицы, умноженной на любой скаляр (число) из поля F. Квадратная матрица, получающаяся из единичной матрицы в результате одного неособенного элементарного преобразования над строками (столбцами) называется элементарной матрицей, соответствующей этому преобразованию. Критерий обратимости матрицы. 1. . 2. строки (столбцы) матрицы А линейно независимы. 3..

32. Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Приводимые и неприводимые многочлены над полем. Теорема о разложении многочлена в произведение неприводимых многочленов над полем. Пусть - поле. (1. - абелева группа; 2. - коммутативная полугруппа с единицей (замкнутость, ассоциативность, коммутативность, нейтральность относительно умножения, дополнительно: ); 3. Дистрибутивность умножения относительно сложения справа и слева – левая дистрибутивность, – правая дистрибутивность.) – кольцо многочленов над полем P. Пусть - кольцо многочленов над полем P. , . – называется неприводимым над полем P, если не существует двух многочленов и таких, что * и и . - называется приводимым над полем P, если и существует два многочлена и таких, что * и и . Свойства. 1. Линейный многочлен – является неприводимым. 2. – неприводимый . 3.Теорема о разложении многочлена в произведение неприводимых многочленов над полем. Всякий многочлен , где – поле, отличный от const, либо неприводим, либо его можно представить в виде произведения неприводимых над полем многочленов. Любые два представления многочлена , где – поле, в виде произведения константы и неприводимых над полем многочленов, каждый из которых нормирован (старший коэффициент равен 1), отличаются только порядком следования множителей.

33. Корни многочлена от одной переменной, кратные корни. Область целостности. Производная многочлена от одной переменной, ее свойства. Способы нахождения кратности корня многочленов. - кольцо. Пусть . Пусть , c – называется корнем многочлена , если . Критерий корня: c – корень , где . Пусть – корень многочлена . Натурально число к – называется кратность корня с, если 1), и ;2) такого, что и . Если к=1, то с – простой корень (корень кратности один). Если , с – кратный корень. - область целостности . Производная многочлена f(x)- это многочлен, обозначаемый . Свойства производной многочлена. 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Нахождение кратности корня. 1. ; – корень многочлена (-4) и 1=. Схема Горнера.

	1	-5	8	-4
2	1	2*1+(-5)=-3	2	0=f(2)
2	1	-1	0=g(2)
2	1	1

2 – корень. .. Кратность корня – 2. 2.С помощью производной. , ; с – корень кратности с – корень кратности .

34.Разложение многочленов от одной переменной над полем рациональных чисел. Примитивные многочлены. Теорема Гаусса. Критерий Эйзенштейна. Многочлен приводим над приводим над . Нахождение рациональных корней многочлена: пусть , , , – корень, , . Выписываем у многочлена все кондидаты в корни . Проверяем их подстановкой или схемой Горнера. Если ни один не подходит, то рациональных корней нет целых корней нет. Однако многочлен может представлять собой произведение многочленов. Данное разложение находится методом неопределенных коэффициентов. Примитивный многочлен – многочлен, у которого все коэффициенты взаимно просты. Лемма Гаусса: пусть дан примитивный многочлен , ,такие что многочлен – многочлен с целыми коэффициентами – целое. Теорема Гаусса: если раскладывается на два многочлена над полем , то он может быть разложен на многочлены с целыми коэффициентами, т.е. представить в виде произведения констант и произведения примитивных многочленов из . Критерий Эйзенштейна. . Если – простое число: ; ; , то – неприводим над , .

35. Группы, подгруппы. Примеры. Смежные классы по подгруппе, их свойства. Конечные группы. Теорема Лагранжа. Группы, подгруппы. Пусть – некоторое множество с заданной на нем бинарной операцией *, т.е. , и выполняются свойства: 1.* - ассоциативная операция, т.е. ; 2.Существование нейтрального элемента, т.е. и ; 3.Существование симметричного элемента, т.е. и . Тогда - группа. - группа. , если - группа, то – подгруппа группы . Смежные классы по подгруппе, их свойства. - группа, - подгруппа группы . Пусть (фиксировано) и – правый смежный класс группы по подгруппе элемента ; 2) – левый смежный класс группы по подгруппе элемента . Если разбиение группы по подгруппе на левые смежные классы совпадает с разбиением на правые смежные классы, то подгруппа называется нормальной подгруппой. Свойства: 1.Каждый класс не пуст, класс содержит по крайней мере элемент . 2.Классы либо не пересекаются, либо совпадают. 3.Объединение всех классов совпадает с группой . 4.Из свойств 1-3 вытекает, что смежные классы образуют разбиение группы по подгруппе . Конечные группы. - группа, которая называется конечной, если в конечное количество элементов. Количество элементов в группе называется порядком группы и обозначается: ||. Теорема Лагранжа. Пусть - подгруппа конечной группы , тогда порядок группы делится на порядок подгруппы . .

36.Группы, подгруппы. Примеры. Циклические группы, их свойства. Бесконечные циклические группы. Группы, подгруппы. Пусть – некоторое множество с заданной на нем бинарной операцией *, т.е. , и выполняются свойства: 1.* - ассоциативная операция, т.е. ; 2.Существование нейтрального элемента, т.е. и ; 3.Существование симметричного элемента, т.е. и . Тогда - группа. - группа. , если - группа, то – подгруппа группы . Циклические группы, их свойства. Группа называется циклической, если , где ( – генератор циклической группы, образующий элемент, порождающий элемент). Свойства: 1.Любая подгруппа циклической группы , сама является циклической. 2.Любая бесконечная циклическая группа изоморфна группе . Обозначается: . 3.Любая конечная циклическая группа изоморфна группе для некоторого . Если – генератор конечной циклической группы , то все остальные генераторы группы имеют вид , где НОД. Бесконечные циклические группы. Группа, состоящая из степеней одного элемента, называется циклической, если степени различны, то циклическая группа бесконечна.

37.Линейные пространства. Базис и размерность линейного пространства. Пусть некоторое множество, элементы которого будем называть векторами. Пусть - поле, элементы которого будем называть скалярами. Пусть заданы две операции: 1.сложение векторов : (бинарная операция на ); 2.умножение на скаляр: (замкнутость есть , ,); которые удовлетворяют условиям (аксиомам): 1) - абелева группа (замкнутость, ассоциативность, коммутативность, существование нулевого вектора , существование противоположного элемента); 2) ; ; ; (1-нейтральный элемент в относительно *). Тогда – называется векторным (линейным) пространством над полем . – векторное пространство. Система векторов называется базисом пространства , если: 1. Система линейно независима ( система называется линейно независимой, если , такой, что хотя бы один и при этом ); 2.Любой вектор линейно выражается через данную систему, т.е. ; – координаты вектора . Пусть – векторное пространство. Размерностью векторного пространства называется количество векторов в его базисе .

38.Линейные отображения. Ядро и образ линейного оператора. Теорема о связи ранга, дефекта линейного оператора и размерности векторного пространства. (,,умн. на скаляр),(,+,умн. на скаляр). Отображение : из называется линейным отображением, если оно сохраняет операции сложения векторов и умножение на скаляр, т.е. (), () выполняется: 1.=+ – сохранность сложения. 2. =-сохранение умножения на скаляр. -называется линейным оператором, если -линейное отображение. (действия происходят внутри самого пространства). Свойства линейных операторов: -линейный оператор векторного пространства. 1.-нулевой вектор. 2. Пусть – линейный оператор.Ядром оператора называется множество, обозначаемое . Образом отображения называется множество, обозначаемое Утверждение: 1.( ,+,умножить на скаляр)-векторное подпространство пространства (,+,умн. на скаляр). 2.( ,+,умн. на скаляр)- векторное подпространство пространства (,+,умн. на скаляр). Пусть – линейный оператор вектрного пространства. Дефект (размерность ядра) количество векторов в базисе ядра. Ранг (количество векторов в базисе) размерность образа. Т. «О связи ранга и дефекта» – линейный оператор конечномерного векторного пространства. ( количество векторов в базисе всего пространства).

39.Собственные числа и собственные векторы линейного оператора. Характеристический многочлен, его свойства. Пусть – линейный оператор (- называется линейным оператором, если – линейное отображение) . Вектор называется собственным вектором линейного оператора, если существует скаляр : = ( – возможно), – называется собственным значением (числом) линейного оператора . Характеристическим многочленом оператора называется многочлен . Свойства: 1.Старший многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса, в котором представлена его матрица. 2.Собственное значение оператора является корнем характеристического уравнения . Верно и обратное: , являющегося корнем характеристического уравнения, является собственным значением оператора.