Математика

(ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ)

Содержание

§1. Случайные события. Основные понятия…………………….5

§2. Случайные события. Операции………………………………6

§3. Классическое определение вероятности……………………..6

§4. Примеры задач на классическую вероятностную схему……8

§5. О статистической и геометрической вероятностях…………9

§6. Простейшие свойства вероятностей………………………..10

§7. Условные вероятности. Независимость событий………….11

§8. Вероятность наступления хотя бы одного события……….12

§9. Формула полной вероятности………………………………14

§10. Формула Байеса……………………………………………..16

§11. Повторные независимые испытания………………………17

§12. Другие формулы вычисления вероятностей для схемы Бернулли…………………………………………………………..19

§13. Случайные величины дискретного типа…………………..22

§14. Функция распределения…………………………………….23

§15. Математическое ожидание случайной величины

дискретного типа…………………………………………………24

§16. Дисперсия случайной величины…………………………..26

§17. Биномиальный и пуассоновский законы распределения…26

§18. Случайные величины непрерывного типа…………………28

§19. Нормальный закон распределения и его характеристики……………………………………………………30

§20. Другие законы распределения непрерывных случайных величин……………………………………………………………31

Приложение 1Таблица случайных чисел…………….………...81

Приложение 2Нормированная функция Лапласа.………….………83

Приложение 3 Значения чисел q в зависимости от объёма выборки n и надёжности для определения доверительного интервала среднего квадратического отклонения.….……..85

Приложение 4 Критические точки распределения ...………86

Приложение 5 Содержание дисциплины..……………………..87

Приложение 6 Образец оформления титульного листа контрольной работы.…………………………………………….90

§1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Случайным называется событие, которое при осуществлении совокупности некоторых условий S может либо произойти, либо не произойти. Пример: событие А₁ - выпадение “шестерки” при одном броске игральной кости (кубика с занумерованными гранями).

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S. Пример: событие А₂ - при одном броске игральной кости число выпавших очков меньше 7. Обозначим достоверное событие буквой 

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет при осуществлении совокупности событий S. Пример: событие А₃ - при одном броске игральной кости число выпавших очков дробно. Невозможное событие обозначим символом .

События и будем рассматривать как частные (“крайние”) случаи случайных событий, хотя они не являются таковыми.

Два или более событий назовем несовместными, если в результате осуществления условий S (или, по-другому, в результате испытания) невозможно их совместное осуществление, т.е. появление одного из них исключает появление другого в том же испытании. Пример: событие А₄ - при броске игральной кости выпало нечетное число очков - несовместно с событием А₁ (выпала “шестерка”).

§2. Случайные события. Операции

Сумма событий А + В - событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из двух событий А и В, т.е. наступило либо А, либо В, либо оба сразу. Пример: для событий А₁ и А₄ из §1 А₁ + А₄ = {выпало 1,3,5 или 6 очков}.

Произведение событий А · В  это совместное осуществление и А и В (иначе: их общие исходы). Пусть В = {при броске игральной кости выпало число очков, кратное 3}. Тогда В · А₄ = {выпала грань с 3 очками}.

Для несовместных событий А и В их произведение А·В= у них нет общих исходов. В частности, для последнего примера §1 можно записать А₁ ·А₄ = .

Событие называется противоположным к А (т.е. состоит в том, что “ достоверное событиепроисходит, а событие А не происходит”).

Для операций над событиями выполняются свойства:

А + В = В + А

А · В = В · А

(А + В) + С = А + (В + С)

(А · В) · С = А · (В · С)

(А + В) · С = А · С + В · С

Если события Н₁, Н₂, ..., Н_n попарно несовместны (Н_i·H_j=при i j ), а их сумма  достоверное событие (H₁+H₂+...+H_n = ), то говорят, что {H₁, H₂, ..., H_n}  полная группа несовместных событий или разбиение . В частности, {A,} полная группа несовместных событий для любого А.