§5. О статистической и геометрической вероятностях
Относительная
частота события А
это отношение числа испытаний, в которых
событие фактически появилось
(благоприятствующих А) к общему числу
проведенных испытаний:
.
Если классическая вероятность вычисляется до опыта, то относительная частота после опыта. Конечно, при увеличении количества испытаний в серии на 1 W(A) меняется хотя бы потому, что на единицу изменяется знаменатель дроби. Тем не менее, с увеличением n величина W(A) приближается к некоторому числу, которое называют статистической вероятностью события А.
Заметим, что когда в задаче говорится, что “вероятность поражения стрелком мишени равна 0,7”, то речь идет о вероятности, вычисленной статистически.
Бывают задачи, когда множества всех элементарных исходов и благоприятствующих исходов невозможно пересчитать. В этих задачах иногда удается выразить вероятность события как отношение либо длин, либо площадей, либо объемов. Например, если считать, что попадания в круглую мишень происходят равномерно по площади всей мишени, а диаметр центра мишени в 5 раз меньше диаметра самой мишени, то вероятность попадания в центр (при условии попадания в мишень) равна отношению площадей центра мишени и всей мишени:
В этом случае количество вариантов, благоприятствующих А, бесконечно, но и общее число вариантов исхода испытания бесконечно, т.е. формулы классической или статистической вероятности неприемлемы.
Вероятность, определяемую как отношение длин, площадей, объемов, называют геометрической вероятностью.
§6. Простейшие свойства вероятностей
Для классического, статистического и геометрического определений вероятности выполняются следующие аксиомы:
Р(А) 0 для любого наблюдаемого события А ;
Р( ) = 1 ;
Если события А и В несовместны (А · В = ), то Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Из аксиом можно вывести следующие свойства:
1. Р() = 0 , откуда следует, что если А и В несовместны (А · В = ), то Р(А · В) = 0.
2.
Р(
)
= 1
Р(А).
3. Р(А) 1.
4. Если А В (А влечет за собой В, т.е. все исходы, содержащиеся в А, содержатся и в В), то Р(А) Р(В) .
5. Если А = B (т.е. А В и В А), то Р(А) = Р(В) .
6. Р(А + В) = Р(А) + Р(В) Р(А · В), формула сложения вероятностей. В частности, если А и В несовместны (А · В = ), то получим аксиому III.
§7. Условные вероятности. Независимость событий
Условная вероятность Р(В / А) = РA(В) это вероятность осуществления события В при условии, что событие А уже произошло (причем последнее не является невозможным, т.е. Р(А) > 0). Эту вероятность можно вычислить по формуле
Для краткости эта величина называется “вероятностью события В при условии А”. Заметим, что для величины Р(В / А) выполняются аксиомы I, II, III, и , следовательно, простейшие свойства (см. §6).
Обозначим через Х число очков, выпавших при одном бросании игральной кости. Пусть А = {Х – простое число}, В = {Х – четное число}. Тогда Р(А) = 3/6 = 1/2 (числа 2, 3, 5 простые, 1, 4, 6 нет), Р(В) = 3/6 = 1/2, Р(А · В) = 1/6 (простое и четное одновременно число только одно это 2). Следовательно, Р(В / А) = 1/3, т.е. вероятность того, что выпало четное число очков при условии, что выпало простое число очков, равна 1/3 (среди 3 простых чисел четное одно); Р(А/В) = 1/3, т.е. вероятность того, что выпало простое число очков при условии, что выпало четное число очков, также равна 1/3 (среди 3 четных чисел простое одно) .
События А и В называют независимыми, если
Р(А · В) = Р(А) · Р(В).
Если одно из событий невозможное ( ), то в обеих частях стоят нули. Если же Р(А) > 0 и Р(В) > 0, то Р(А / В) = Р(А), Р(В / А) = Р(В).
Для последнего примера Р(А · В) Р(А) · Р(В) , значит, А и В зависимые.
Во многих задачах независимость событий задается по условию задачи (из общих соображений).