Министерство образования Российской Федерации. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра «МЕХАНИКА»

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Данное пособие входит в серию электронных учебных пособий по теоретической механике, разрабатываемых на кафедре механики СамГТУ.

Пособие предназначено для самостоятельного изучения студентами темы «Плоскопараллельное движение твердого тела».

Зав. кафедрой – д.т.н., проф. Я.М.Клебанов, Разработчики – Л.Б.Черняховская, Л.А.Шабанов.

Самара – 2008.

1

Определение плоскопараллельного движения

	Плоскопараллельным называ-	z
	ется такое движение твердого
	тела (рис.1), при котором тра-
	ектории всех его точек лежат в	О
	плоскостях, параллельных одной
	и той же неподвижной плоско-	1
	сти.
	Неподвижная плоскость на-	x
	зывается основной.
	Примером плоскопараллельного	П
	движения может служить движение
	цилиндра по горизонтальной плос-				Рис.1
	кости, при котором его основание

остается параллельным вертикальной плоскости (рис.2).

А1 y

А

А2

					Основная теорема плоскопарал-
	z				лельного движения.
					Все точки тела, лежащие на об-
					щем перпендикуляре к основной плос-
				у	кости, движутся по одинаковым
	О				траекториям и имеют геометриче-
					ски равные скорости и ускорения. Та-
					кими точками (рис.1)	являются точки
x			Рис.2		А, А1, и А2.
					Сформулированное	свойство явля-

ется следствием определения плоскопараллельного движения. Действительно, из определений плоскопараллельного движения и твердого тела следует, что углы между любыми прямыми, фиксированными в твердом теле, сохраняются неизменными. Следовательно любая прямая А1А2 , проведенная в теле, перпендикулярно основной плоскости П, будет перемещаться поступательно, т.е. траектории, скорости и ускорения всех точек этой прямой будут одинаковыми.

Таким образом, для определения движения тела необходимо знать движение лишь одной точки каждой прямой, проведенной перпендикулярно плоскости П, т.е. точки, лежащие в одной плоскости 1, параллельной основной плоскости, определяют плоскопараллельное движение твердого тела.

Плоскопараллельное движение твердого тела полностью характеризуется движением плоской фигуры в своей плоскости. Плоская фигура

(рис.1) получается сечением твердого тела плоскостью 1, параллельной ос-

новной плоскости П. Движение плоской фигуры в своей плоскости называ-

ется плоским.

2

	Задание плоского движения
	Рассмотрим движение плоской фигуры в своей плоскости. Положение
	плоской фигуры в своей плоскости определяется положением двух ее точек.
	Пусть точки (рис.3) А (хА,уА)	и В (хВ, уВ) – две точки плоской фигуры,
	движущейся в плоскости Оху. Так как расстояние между этими точками ос-
	тается постоянным	(xA − xB )2 +( yA − yB )2 = d 2 ,
	у
	В	то из четырех координат, определяющих
		положение этих точек, независимых ос-
	А
		тается только три.
		Таким образом, для описания плос-
		кого движения требуется знать три
	х	независимых параметра.
	О	Свяжем жестко с плоской фигурой
	Рис. 3	систему координат Ах1у1 (рис.4). Тогда
		положение системы Ах1у1 , а вместе с ней
	и положение плоской фигуры относительно системы координат Оху будет
	определено заданием координат хА,уА точки А и углом между φ между осями
	Ах1 и Ах2 (рис.4).
	Следовательно, положение плоской фигуры в своей плоскости в любой
	момент времени полностью определяется тремя функциями времени

у	у2				xA = xA (t),
					yA = yA (t),	(1)
	у1			х1
					ϕ =ϕ (t).
			φ	х2	Уравнения (1) называются уравнениями
			А
уА					движения плоской фигуры или уравне-
					ниями плоскопараллельного	движения
О	хА				х твердого тела.
					Первые два уравнения (рис.3) опреде-
	Рис. 4				ляют положение выбранного полюса А на
					плоскости, последнее - угол поворота во-

круг этого полюса.

3

Уравнения плоского движения.

Движение плоской фигуры в своей плоскости складывается из двух движений: поступательного вместе с произвольно выбранной точкой (полюсом), и вращательного вокруг этого полюса.

Положение плоской фигуры на плоскости определяется положением выбранного полюса и углом поворота вокруг этого полюса, поэтому плоское движение описывается тремя уравнениями:

xA = xA (t), yA = yA (t),

ϕ =ϕ (t).

Первые два уравнения (рис.5) определяют то движение, которое фигура совершала бы при φ = const, очевидно, что это движение будет поступательным, при котором все точки фигуры будут двигаться так же, как полюс А.

Третье уравнение определяет движение, которое фигура совершала бы при хА = const и уА = const, т.е. когда полюс А будет неподвижен; это движение будет вращением фигуры вокруг полюса А.

При этом вращательное движение не зависит от выбора полюса, а поступательное движение характеризуется движением полюса.

Определение скоростей точек плоской фигуры

у1

ρ	B	х1
А

rA rB

х

О

3.3.1. Зависимость между скоростями двух точек плоской фигуры.

Рассмотрим две точки А и В плоской фигуры. Положение точки В относительно неподвижной системы координат Оху определяется радиусом-вектором rB (рис.5):

rB = rA + ρ,

Рис. 5	где rA - радиус-вектор точки А, ρ = АВ
	вектор, определяющий положение точки В

относительно подвижных осей Ах1у1, перемещающихся поступательно вместе с полюсом А параллельно неподвижным осям Оху.

Тогда скорость точки В будет равна

			=	drB	=	drA	+	d	ρ
V
				dt
	B					dt dt .
					4

В полученном равенстве величина ddtrA =VA является скоростью полюса А.

Величина ddtρ равна скорости, которую точка В получает при rA = соnst, т.е.

относительно осей Ах1у1 при вращении фигуры вокруг полюса А. Введем для этой скорости обозначение VBA :

VBA = ddtρ .

Следовательно, VB =VA +VBA

Скорость любой точки В плоской фигуры равна геометрической сумме скорости VA выбранного полюса А и скорости VBA точки во вра- В щательном движении вокруг полюса (рис.6):

α

VA

VB =VA +VBA .

(2)

А

Скорость вращательного движения

VBA точки

β

VA

направлена перпендикулярно отрезку АВ и равна

VB

В

VBA = ω AB

900

VBA

Модуль и направление скорости точки В нахо- Рис.6 дится построением соответствующего паралле-

лограмма (рис.6).

Задача 1. Найти скорости точек А, В и D обода колеса, катящегося по прямолинейному рельсу без скольжения, если скорость центра ко-

B

VC

леса С равна VC.

VB

Решение. Выбираем точку С, скорость

VАС

VА

VBC

которой известна за полюс. Тогда скорость

VC

C

VC D

VC

точки А равна

А

VA =VC +VAC ,

где

AC AC

и

по

модулю

VD

V

VPC

VC

VAC =ω AC =ω R .

VDC

Значение угловой скорости ω найдем из

P

условия того, что точка Р колеса не скользит

Рис. 7

по рельсу и, следовательно, в данный мо-

мент равна нулю VР = 0. В данный момент скорость точки Р равна

VP =VC +VPC , где VPC =ω PC =ω R .

5