2.матан.интегралы / КратныеИнтегралы / ТройнойИнтеграл / ОпределениеСвойства

Определение и свойства тройных интегралов

Определение тройного интеграла можно ввести аналогично двойному как предел суммы Римана. В про-

стейшем случае область интегрирования U – это параллелепипед (рис.1).

Зададим разбиение отрезка [a, b]

Аналогично построим разбиение отрезка [c,d] вдоль оси Oy и [p,q] вдоль оси Oz

Рис.1

Интегральная сумма Римана функции f (x,y,z) над разбиением имеет вид

Здесь (ui , vj , wk) - некоторая точка в параллелепипеде (xi− 1, xi)×( yi− 1, yi)×( zi− 1, zi).

Тройной интеграл от функции f (x,y,z) в параллелепипеде	- это предел суммы Римана,
когда максимальные значение (диаметры) приращений xi,	yj и zk стремятся к нулю

Чтобы определить тройной интеграл в произвольной области U, выберем параллелепипед

, включающий заданную область U. Введем функцию g (x,y,z), такую, что

.Тогда тройной интеграл от функции f (x,y,z)

Основные свойства тройного интеграла

Пусть функции f (x,y,z) и g (x,y,z) интегрируемы в области U, V - объем области U.

1.Интеграл суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов.

2.Константу можно выносить за знак интеграла.

3.Если в любой точке области U, то .

4.Если U - объединение двух не пересекающихся по внутренним точкам областей U1 и U2, то

.

5.Пусть m – наименьшее, M - наибольшее значение непрерывной функции f (x,y,z) на U. Тогда

6.Теорема о среднем значении тройного интеграла.

Если f (x,y,z) непрерывна в области U, то существует т.M0 U, такая, что