Погрешности прямых измерений

Измерить какую-либо физическую величину абсолютно точно невозможно. Полученное экспериментальным путем ее действительное (измеренное) значение х_изм. всегда отличается от истинного значения х_ист на некоторую величину х:

(1)

Величина х называется абсолютной погрешностью измерений. Она несет информацию об их точности.

Очень часто на практике вместо указания абсолютной погрешности проведенных измерений приводят величину относительной погрешности. Относительная погрешность измерений  равна отношению абсолютной погрешности х к истинному значению измеряемой величины, выраженному в процентах:

(2)

Относительная погрешность более наглядно характеризует качество выполненных измерений. Например, абсолютная погрешность, равная 1 мм, при измерении длины комнаты (10 м) приводит к относительной погрешности =10^-2 %, однако если с такой же абсолютной погрешностью измерить толщину шариковой ручки (5 мм), то относительная погрешность получается уже значительной (20%).

Очень малая величина относительной погрешности характерна для воспроизводства первичных эталонов. Так, первичный эталон метра, существовавший до 1983 года, воспроизводится с относительной погрешностью 510^-7%. Однако, относительная погрешность воспроизводства эталона времени еще в 500 раз меньше – 10^-9%. Именно поэтому более целесообразно, полагая, что скорость света равна 299792458 м/с, определить эталон метра мерой расстояние, которое проходит свет за время 1/299792458 с, как это и установлено действующим в настоящее время эталоном длины. В этом случае относительная погрешность воспроизводства эталона длины такая же, как и эталона времени. Следует отметить, что формулы (1) и (2) необходимо рассматривать лишь как определения абсолютной и относительной погрешностей. Использовать их для расчета величин погрешностей невозможно, поскольку входящее в них истинное значение физической величины х_ист известно никогда не бывает (иначе отпала бы необходимость измерений). На практике искомое значение физической величины х оценивают по измеренному значению, а достоверность такой оценки характеризуют соответствующей погрешностью измерений, представляя конечный результат в форме:

(3)

Запись результата в виде (3) показывает, что значение физической величины х точно не известно. Оно может оказаться любым в интервале [].

В процессе оценки величины погрешности х необходимо учитывать, условия проведения эксперимента, особенности выбранной методики измерений, качество используемых средств измерений и характер проявления погрешности. При этом следует исходить из принятой классификации погрешностей измерений.

Классификация погрешностей измерений

В основе классификации погрешностей лежат признаки, по которым она производится.

По закономерности проявления погрешности делятся на случайные, систематические и грубые.

Погрешность называется случайной, если ее величина или знак непредсказуемо (хаотически) изменяются при многократном повторении одного и того же опыта.

Погрешность называется систематической, если ее величина и знак остаются неизменными при многократном повторении одного и того же опыта, или изменяются по известному закону.

Грубые погрешности, возникают при неправильном считывании экспериментатором показаний приборов, неисправности средств измерений, резких изменениях условий эксперимента. Как правило, грубая погрешность имеет большую величину и может быть легко обнаружена при внимательном анализе полученных результатов.

По источнику возникновения погрешности делятся на инструментальные и методические.

Составляющая погрешности, обусловленная свойствами применяемых средств измерений, называется инструментальной погрешностью.

Следует различать несколько составляющих

инструментальной погрешности: основную, дополнительную и обусловленную взаимодействием средств и объекта измерений.

Погрешности, имеющие место при нормальных условиях применения средств измерений (температуре 296 К, определенной влажности, атмосферном давлении 760 мм рт. ст. и т.п.), называются основными; погрешности, вызванные отклонениями от нормальных условий, влияющих на результат измерений, называются дополнительными.

Подключение к исследуемому объекту средства измерений во многих случаях приводит к изменению значения регистрируемой величины. Например, амперметр, включаемый в электрическую цепь для измерения силы тока, всегда обладает конечным внутренним сопротивлением, что изменяет полное сопротивление цепи и силу тока, текущего в ней. Эта составляющая инструментальной погрешности зависит от свойств средства и объекта измерений.

Методическая погрешность возникает вследствие пренебрежения теми или иными особенностями физических процессов в изучаемом объекте, неточного соответствия объекта измерений и его идеализированной модели. Например, при измерениях размеров тела обычно полагают, что оно точно совпадает с каким-либо идеальным телом (параллелепипедом, шаром, конусом и т.п.). Отличие реальной формы тела от идеальной способно привести к погрешностям. Допустим, противоположные грани тела, имеющего форму, близкую к параллелепипеду, не строго параллельны. Тогда при измерениях

его длины будут получаться несколько различающиеся результаты в зависимости от выбора точек приложения линейки или штангенциркуля.

Обработка результатов прямых измерений

Как оценить величину случайной погрешности

Для того, чтобы оценить величину случайной погрешности, один и тот же опыт необходимо повторить несколько раз. Предположим, что выполнена серия из девяти измерений некоторой физической величины х и получены несколько отличающиеся друг от друга результаты. Обозначим результат одного из измерений х_i , где i - номер соответствующего измерении. Очевидно, что в данном случае i может принимать значения от 1 до N. Расположим результаты измерений на числовой оси, как это показано на рис.1.

рис 1

В качестве наилучшего приближения измеряемой величины x используют среднее арифметическое числовой последовательности {х_i}:

(4)

где N - число измерений (в данном случае N=9).

Выделим на числовой оси (рис.1а) интервал 2х, в который попадают 2/3 общего числа точек, соответствующих экспериментальным результатам. Существует аналитическая формула, позволяющая по результатам измерений

оценить размер этого интервала:

(5)

Результат вычислений по формуле (5) тем точнее совпадает с графическим, чем больше N. Расчет основан на вычислении среднего квадрата отклонения точек от <х>. Поэтому интервал, в который попадает 2/3 от общего количества точек, называется среднеквадратичным. Как правило, достаточно около десяти измерений, чтобы рассчитанный по формуле (5) среднеквадратичный интервал оказался очень близок к результату графического построения.

Возникает вопрос: в какой степени средние значения величины х, определенные по результатам нескольких серий измерений по N отсчетов в каждой, будут отличаться друг от друга? На рисунке 1б на числовой оси показаны средние значения 9 серий измерений по 9 отсчетов в каждой и выделен интервал 2х, в который попадают 2/3 от общего числа средних значений (т.е. 6 из них). Половина величины этого интервала и принимается равной случайной погрешности х_сл. при оценке истинного значения путем усреднения результатов N измерений, по формуле (4).

Если увеличивать количество отсчетов N в каждой серии измерений, то величина х_сл. характеризующая степень разброса средних значений, будет изменяться как N^-1/2. Поэтому величина случайной погрешности при оценке истинного значения измеряемой величины по среднему значению серии из N отсчетов в случае достаточно большого N может быть рассчитана по формуле:

(6)

Формула (6) используется для расчета, случайной погрешности оценки истинного значения величины х по среднему значению результатов серии из N измерений. Если систематическая погрешность отсутствует, то можно утверждать, что истинное значение х_ист. с вероятностью 2/3 находится в интервале <х>х_сл.. Погрешность, определенную таким образом, называют иначе среднеквадратичной.

Как показывает формула (6), величина случайной погрешности тем меньше, чем больше количество измерений N, по которым проводится усреднение. Следовательно, увеличивая количество опытов, можно уменьшить величину случайной погрешности.

Пример расчета случайной погрешности.

Предположим, что необходимо измерить пульс человека. Подсчет количества ударов сердца в минуту, повторенный шесть раз, дал следующие значения:

Таблица 2

№ опыта (i)	1	2	3	4	5	6
Количество ударов в минуту (х)	75	77	73	74	78	76

Порядок обработки результатов.

1) Находим среднюю частоту пульса по формуле (3); <х>= (76+77+73+74+78+76)/6 =76.6 (ударов/мин.)

2) Определяем случайную погрешность по формуле (6): х_сл.= (((75-75.5)² +(77-75.5)²+(73-75.5)²+(74-75.5)²+(78-75.5)²+(76-75.5)²)/30)^1/2=0.8 (ударов/мин.)

3) Окончательный результат записываем в виде: х = 75.5  0.8 (ударов/мин.)