Доронин Ю.П. Физика океана

Библиотека сайта www.fluger.org

Соотношение между P и колебательной скоростью v				выражается
формулой
P =	iρ0	ωrv		(8.34)
			.

1 + ikr

Как и в цилиндрических акустических волнах, на расстоянии kr>>1 формула (8.34) упрощается до вида (8.30), и сферическая волна

приобретает свойства плоской волны, но P и v убывают, как и φ, обратно пропорционально расстоянию. В ближней к источнику звуков зоне P и v сдвинуты по фазе друг к другу и убывают с расстоянием поразному, что видно из формул (8.33).

8.3. Энергетические характеристики акустической волны

Под энергетическими характеристиками продольной волны, как и поперечной, понимается кинетическая Ек, потенциальная Еп и механическая Е энергии, поток энергии или интенсивность звука. Все они определяются относительно невозмущенного состояния океана. Кинетическая энергия единичного объема воды в волне определяется кинетической энергией колеблющихся элементарных объемов воды и выражается формулой

	Е		=	1	ρ		v2 .	(8. 35)
		к		2		0
Ее размерность в системе СИ будет Дж/м.
Потенциальная	энергия			единичного объема				воды в волне

определяется работой, которая происходит при его деформации в пределах относительного изменения плотности:

	δ
	Еп = ∫ Рdδ ,	(8.36)
	0
где	δ = δρ / ρ0 .

Поскольку по определению Р = χδ , то при χ =Сonst из (8.36) следует

			δ 2			Р2		Р2
Еп	= χ			=			=			.	(8.37)
								2ρ0 С	2
	2					2χ
Если учесть соотношение (8.30), то
Еп	=	1	ρ0 v2 .								(8.38)
	2

Потенциальная энергия оказывается равной кинетической. Это о6условлено тем, что не принят во внимание расход энергии на трение. Следовательно, механическая энергия акустической волны будет характеризоваться формулой

270

Библиотека сайта www.fluger.org

Библиотека сайта www.fluger.org

Е = Ек + Еп = ρ0 v	2	P	2	.	(8.39)
	=
		ρ0 C 2

Поток механической энергии, переносимой в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны, называется интенсивностью (силой) звука. Поскольку механическая энергия волны распространяется со скоростью С, то

J = EC = P 2 = Pv . (8.40)

t

ρ0 C

Интенсивность звука, называемая также плотностью потока акустической энергии, в системе СИ имеет размерность Вт/м2.

Вследствие колебаний как Р, так и v не всегда удобно использовать переменную величину Jt для характеристики силы звука. Поэтому вместо колеблющейся Jt часто пользуются его средней за период волны величиной.

Если излучатель генерирует плоскую синусоидальную волну, то мгновенные значения Pt и ut выражаются формулами

P = P sin(ωt − kx) , u

t

= u

m

sin(ωt − kx) ,

(8.41)

t

m

где Pm и um

- амплитуды колебаний давления и скорости.

В этом случае

J =

1

∫

Pm um sin 2 (ωt − kx)dt =

Pm um

.

(8.42)

τ

2

Обычно вместо амплитуд Pm

и um

используют так называемые

эффективные значения

Pe = Pm /

2 и

ue = um / 2 .

В этом

случае форма записи интенсивности звука как мгновенной, так и осредненной не меняются

2

J = Pe ue = Pe = ρ0 Cue2 (8.43)

ρ0 C

Из формулы (8.43) видно, что интенсивность звука в плоской волне с расстоянием от излучателя не меняется, если не меняется скорость звука и не учитывается его поглощение.

В случае симметрично-цилиндрической акустической волны, меняющейся по синусоидальному закону, мгновенные значения давления и колебательной скорости в дальней зоне (kr>>1) по аналогии с формулой (8.41) можно представить выражениями

	Pm	sin(ωt − kr)	, v		v			− kr) .
P =				=		m	sin(ωt		(8.44)
t	r		t			r
Представленная зависимость Pt				и		vt от расстояния следует из

Библиотека сайта www.fluger.org

Библиотека сайта www.fluger.org

				271
формул (8.27 ) и (8.28).	При тех же рассуждениях,			как и для
плоской волны, получается
	J ц =	Pe ve	.	(8.45)
		r

В отличие от плоской волны интенсивность звука в цилиндрической волне убывает обратно пропорционально расстоянию, даже если нет поглощения и рассеяния звука. Это связано с расхождением акустической волны.

При синусоидально колеблющихся Pt и vt простых сферических волн в дальней зоне однородной среды на основании формул (8.32) и (8.33) можно записать

P =	Pm	sin(ωt − kr),			v =		vm		sin(ωt − kr).
t	r				t			r
Откуда следует
		J	c	=	Pe ve	,				(8.46)
					r 2

т.е. интенсивность звука убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от источника звука из-за увеличения поверхности, на которую приходится звук, как поверхности шара.

Поскольку при переходе к Ре и ve формулы для осредненной интенсивности звука остаются такими же, как и при мгновенных значениях Jt , то на практике значки t и e в обозначениях J, Р и

v обычно не используются. Это будет учитываться в дальнейшем изложении.

Диапазон интенсивностей звука, который встречается на практике, составляет величину в несколько порядков. Чтобы его сжать, а также для удобства решения ряда задач гидролокации, используют логарифмическую шкалу J. При задании некоторого реперного

значения силы звука Jp вводится соотношение
N = 10lg(J/Jp).	(8.47)
Вычисленная по этой формуле безразмерная величина N выражается
в децибеллах (дБ).
Поскольку J = P 2 / Cρ0 , то при неизменных	С и ρ0 формула
(8.47) может быть представлена в виде
N = 20lg(P/Pp).	(8.48)

В качестве реперных значений Jp и Pp используются разные величины. В океанологии часто принимается Pp = 0.1 Па. Однако при оценке отраженного акустического сигнала в качестве Pp принимается акустическое давление волны, поступающей к препятствию. В этом случае давление отраженной волны обычно меньше, давления поступающей. Тогда оказывается, что N < 0.

272

Библиотека сайта www.fluger.org

Библиотека сайта www.fluger.org

Для того, чтобы различать интенсивность звука в размерных единицах и в децибеллах, в последнем случае ее принято называть уровнем интенсивности, или силы звука.

8.4.Прохождение звука через границу сред разной

плотности

При переходе из среды с одной плотностью и скоростью распространения в другую с другой плотностью и скоростью акустическая волна, как и всякая волна претерпевает частичное отражение, а прошедшая волна отклоняется по направлению от исходной. Отчасти это было видно из рис.8.3, хотя при его составлении предполагалось непрерывное изменение скорости звука. При лучевом подходе к описанию акустических характеристик океана обычно полагается, что последний разделен на слои, в которых плотность воды и скорость распространения звука постоянны. Важно также знать особенности прохождения звука через поверхность океана и его дно, поскольку во многих случаях акустическая волна доходит до этих границ.

Чтобы охарактеризовать трансформацию акустической волны на границе раздела двух сред с ρ1 и С1 , в одной из них и ρ2 и С2 в другой среде обычно исходят из представления о плоской волне, луч которой поступает под углом падения α1 к границе слоев (рис. 8.4).

Рис.8.4. Схема отражения и преломления акустического луча на границе раздела слоев с различными плотностями и скоростями распространения.

Акустическое давление исходной волны Р1			на границе частично
отражается под тем же	самым	углом α1’	на величину P1’ , а
остальная часть давления P2 проходит во второй слой, отклоняясь на
угол α2. На границе (z = 0 ) должны выполняться условия
Р + Р' = P			(8.49)
1	1	2

и

273

Библиотека сайта www.fluger.org

Библиотека сайта www.fluger.org

1		∂Р		∂P'			1		∂P
		1	+	1		=			2	.	(8.50)
ρ1 ∂z				∂z			ρ2		∂z

Это означает, что на границе отсутствует разрыв акустического давления и гидростатического ускорения.

Из выражений (8.21) и (8.22) следует, что акустическое давление может быть описано формулами

		P1 = Aei(ωt − xk1sinα1 − zk1cosα1 ) ,
		P1' = AR0ei(ωt − xk1sinα1 +zk1cosα1 ) ,
		P =		AR		e	i(ωt − xk2sinα2 −zk2cosα2 )	,	(8.51)
					n
		2
где А - амплитуда акустического давления,
R0= Р'	/ P ,	R	n	= P			/ P - коэффициенты отражения и пропускания
1	1					2	1

акустической волны,

k1 и k2 - модули волновых векторов в смежных средах, z = 0 - граница раздела сред.

Подстановка выражений (8.51) при z=0 в уравнение (8.49) дает

(1 + R0 ) = Rn eix(k1sinα1 −k2sinα2 ) .

Поскольку левая часть формулы (8.52) не зависит от часть также не должна зависеть от x, что может иметь

k1sinα1 − k2 sinα 2 = 0.

Это выражение обычно переписывается в виде

(8.52)

x, то и правая ее место при

(8.53)

	k1			=		sinα 2		.
	k	2				sinα1
Или, поскольку k=ω/C, то получится известный закон Снеллиуса
			C2		=		sinα 2		.	(8. 54)
			C1				sinα1

В ряде случаев удобнее его записывать не через углы падения, а через углы скольжения χ

С2	=	cosχ 2		.	(8.55)
С
		cosχ	1
1

Эта формула является основой, по сути, всей лучевой акустики и широко используется на практике.

Если продифференцировать выражения (8.51) по z, а затем принять z=0 и подставить результаты в уравнение (8.50), то получается

	1 − R0	=	Rn	,	(8.56)
	Z1		Z2

274

Библиотека сайта www.fluger.org

~ 5 10-4

Библиотека сайта www.fluger.org

Ci ρi

где Zi = - акустический импеданс. cosα i

Из формулы (8.52) при учете соотношения (8.53) и (8.56)следует

R =	Z2	− Z1	,	R =	2Z2		.	(8.57)
0	Z2	+ Z1		n	Z2	− Z1

Эти формулы можно преобразовать, входя в них только через угол падения, отношение скоростей n=C1/C2 и плотностей m=ρ2 / ρ1

	R0 =	mcosα	1	−	n 2	− sin 2 α1	,
		mcosα1		+	n 2	− sin 2 α1

	Rn =	2mcosα1		.	(8.58)
		mcosα1 +	n 2 − sin 2 α1

Итак, при переходе акустической волны из одной среды в другую с разными плотностями жидкости и скоростями распространения волны происходит частичное отражение акустического давления. В том случае, если плоская волна подходит к границе раздела под углом

α1 = arcsin (m2 − n 2 ) / (m2 − 1) , то R0 = 0 и отражение отсутствует.

Это значение угла получено из условия равенства нулю числителя в формуле для R0 .

В случае подхода акустической волны к плоской границе раздела океан-атмосфера оказывается, что Rn и R0 = −1, т.е. акустическое давление практически из воды в воздух не переходит, а все отражается обратно.

Отражение акустической волны от дна и прохождение ее в грунт происходит иначе, чем на граница океан-атмосфера. Это обусловлено тем, что в грунте возникает не только продольная, но и поперечная волна. Закономерности распространения этих волн в грунте рассматриваются в специальной акустической литературе [1]. Следует лишь отметить, что при описании направления распространения поперечной волны в грунте закон Снеллиуса также справедлив. Если скорость поперечной волны Cr , а угол между вертикалью и нормалью к фронту этой волны γ, то

Cr / C1 = sinγ / sinα1

(8.59)

где C1 и α1 - скорость и угол падения плоской волны из океана ко дну.

При описании законов отражения волны от дна и прохождения ее в грунт также, как и для океана, используется понятие импеданса поперечной волны Zr= Cr ρr / cosγ и входного импеданса для

275

Библиотека сайта www.fluger.org

Библиотека сайта www.fluger.org

твердого полупространства Zb = Zr sin 2 2γ + Z2 cos2 2γ . В данном случае под Z2 понимается импеданс продольной волны в грунте, т.е.

Z2 = C2 ρ2 / cosα 2 .

Использование понятий импеданса позволяет в краткой форме

выразить коэффициент отражения от дна
R =	Zb	− Z1	.	(8.60)
0	Zb	+ Z1

и прохождения акустического давления в грунт, приводя к образованию продольной

		1			2Z2 cos2γ					(8.61)
	R2	=
			m		Zb + Z1
	и поперечной волн
	Rr = −				1 2Zr sin2γ				.	(8.62)
					m Zb + Z1

Индексы 1 в данном случае обозначают характеристики океана. Приведенные формулы показывают, что при нормальном падении

волны на дно (α1 = 0) α2 = γ = 0, т.е. Rr = 0 и поперечные волны в грунте не возбуждаются. Коэффициент отражения (8.60) при этом совпадает с R0 формулы (8.57). Если волна подходит ко дну под

углом падения α1 = arcsin(C1 / Cr 2 ), то оказывается, что γ = 450.В

этом случае R2 = 0, т.е. продольная волна в грунте не возбуждается.

8.5.Рефракция акустического луча

Поскольку скорость звука в океане меняется, изменяется и угол скольжения акустического луча при переходе от одного слоя к другому. Соотношение между скоростями звука и направлением луча выражено формулой (8.55). При ее применении на практике океан представляется состоящим из слоев с постоянными плотностями воды и скоростями звука. Так как океан в горизонтальном направлении более однороден, чем в вертикальном, слои обычно выделяют по глубине. Они могут быть разной толщины, и чем она меньше, тем точнее аппроксимируется непрерывный профиль скорости звуков и точнее описывается направление акустического луча. Из формулы (8.55) следует

cosχi	=	cosχi +1	=	cosχ	= const ,	(8.63)
Ci		Ci +1		C

где i - номер слоя.

На основании этой формулы следует, что увеличение скорости звука

276

Библиотека сайта www.fluger.org

Библиотека сайта www.fluger.org

приводит к уменьшению угла скольжения луча и наоборот, т.е. при переменной скорости звука акустический луч искривляется − рефрагирует. Характер этой рефракции показан на рис.8.5 .

Рис.8.5. Вертикальные профили скорости звука С и акустического луча r.

Из формулы (8.63) следует и из рисунка видно, что акустический луч изгибается в сторону уменьшения С. Из треугольника oab

следует δr / δz = ctgχ . Если считать треугольник	бесконечно
малым, то
dr = ± dz ctgχ .	(8.64)

Знак + используется в том случае, если луч направлен вниз, а знак − если он идет вверх.

Эта формула позволяет вычислить проекцию луча на горизонталь, если он заглубляется от точки z0 до z

	z	z	dz
	r = ± ∫ctgχ dz = ±cosχ	0 ∫		.	(8.65)
			n 2 (z) − cos2 χ 0
	z	z
	0	0

При получении окончательного выражения (8.65) использована

формула (8.63) и обозначения n(z) = C / C(z)	, C0 и χ0 -
0

скорость и угол скольжения луча на горизонте z0. Оно удобнее в том отношении, что переменной является только скорость

распространения звука. Из того же треугольника oab следует ob=δl=δz/sinχ. Так же при переходе к бесконечно малому

треугольнику можно записать

Библиотека сайта www.fluger.org

Библиотека сайта www.fluger.org

	277
dl = dz / sinχ.	(8.66)

Из этой формулы по аналогии с формулой (8.65) можно получить длину луча l при его проходе от горизонта z0 до z. Но чаще формулу (8.66) используют для определения времени пробега звукового импульса

		dt=dl/C =dz/(Csinχ).									(8.67)
Из этой формулы следует
z	dz		1	Z				n 2 dz
t = ∫		=		∫							(8.68)
	Csinχ						2		2
z0			C0			n		(z) − cos	χ 0
				Z 0

В ряде случаев изгиб акустического луча при рефракции оценивается изменением угла скольжения вдоль траектории луча, т. е. производной dχ/dl. Ее значение можно получить, продифференцировав формулу Снеллиуса по z

− C0	sin χ	dχ	= cos χ 0	dC	.
		dz		dz

Использование формулы (8.66) позволяет последнее выражение

преобразовать к виду
	dχ		cosχ0		dC
		= −				.	(8.69)
	dl		C0		dz

Видно, что кривизна луча пропорциональна градиенту скорости звука. При его положительном значении угол скольжения уменьшается, а при отрицательном - растет.

Кривизна луча на каком-то горизонте может быть такой, что χ = 0. При этом акустический луч меняет направление, а точка, где это происходит, называется точкой полного внутреннего отражения

(ПВО) (Рис. 8.6).

Рис.8.6. Схема рефракции акустических лучей в подводном звуковом канале. А,В- зоны акустической тени, 1- точки полного внутреннего отражения лучей.

Библиотека сайта www.fluger.org

Библиотека сайта www.fluger.org

278

В этом случае из формулы Снеллиуса следует
С0/С(z) = cosχ0 .	(8.70)

То есть в зависимости от профиля C(z) при условии, что левая часть формулы меньше 1, можно определить угол χ0 , под которым должен быть выпущен луч, чтобы на заданном горизонте было его полное внутреннее отражение.

Следует иметь в виду, что все приведенные в данном разделе формулы для расчета углов скольжения, расстояний и времени прохождения сигнала пригодны при расчете до точки ПВО. Далее вычисления проводятся по тем же формулам, но с учетом изменения знака из-за поворота акустического луча. Если по горизонтали скорость звука не меняется, то кривая луча оказывается зеркальным отображением рефракционного луча до точки ПВО.

При убывании скорости звука с глубиной луч глубже источника звука не может испытывать полного внутреннего отражения. Это характеризуется тем, что для отмеченного условия левая часть формулы (8.70) оказывается больше единицы и не соответствует правой ее части. Область (А,В), в которую не попадают лучи, не испытавшие отражения от поверхности моря или его дна, называется зоной тени. Интенсивность звука в ней понижена из-за потерь при отражении луча.

Если существует минимум в вертикальном профиле скорости звука, как это показано на рис. 8.6, то создаются условия, при которых не все акустические лучи испытывают отражение от поверхности моря или его дна. Слой моря, выделенный лучами, которые испытывают полное внутреннее отражение у поверхности моря или у дна и определенные как граничные лучи, называется подводным звуковыми каналом (П3К). Поскольку в его пределах нет потерь силы звука на отражение от другой среды или уход в нее, то звук в нем с расстоянием ослабляется слабее, чем за его пределами. Горизонт, на котором скорость звука минимальна, называется осью подводного звукового канала.

Впределах ПЗК за граничными лучами могут образовываться зоны геометрической тени (зоны А,В на рис.8.6), а около точек ПВО происходит сгущение лучей, называемое зоной конвергенции. По мере приближения источника звуков к оси канала протяженность зон тени уменьшается, а зон конвергенции растет. Если источник звука находится на оси П3К, то зоны тени не возникают (рис.8.7).

Всвязи с тем, что в умеренных и экваториальнотропических районах океанов на некоторой глубине существует минимум скорости звуков, то в них выделяется и подводный звуковой канал. Из-за особенностей распространения в них звука они во многих отношениях

подро6но изучены и описаны в специальной литературе [1,5].

279

Библиотека сайта www.fluger.org