УМК матан

Факты с доказательством

1.	Теорема о ряде Фурье суммы равномерно сходящегося на [a, b] ряда
	∞
	nX
	cnϕn(x), ãäå {ϕn(x)}n∞=0 îñô íà [a, b]. Следствие о ряде Фурье
	=0
	линейной комбинации функций из осф.
2.	Минимизирующее свойство частичных сумм ряда Фурье функции
	f Rf[a,b]. Тождество и неравенство Бесселя.
	2	f Rf[a,b] ïî îñô ê f
3.	[a, b] в смысле средних квадратичных.
	Критерий сходимости ряда Фурье функции	2	íà

4.Лемма Римана.

5.Ядра Дирихле, их свойства.

6.Интегральное представление частичных сумм классического тригоно-

f1

метрического ряда Фурье функции f R[−π,π].

7.Лемма о связи между существованием конечных односторонних производных функции в точке и е¼ условием Липшица в этой точке.

8.Лемма о существовании конечных односторонних производных функции в точке.

9.Признак Липшица сходимости в точке классического тригонометриче- ского ряда Фурье.

10.Ядра Фейера, их свойства.

11.Теорема Фейера, следствие.

12.Теорема Ляпунова (доказательство для функции f C([−π, π])), следствие о выполнении равенства Парсеваля.

13.Теорема о единственности классического тригонометрического ряда Фурье непрерывной функции.

14.Теорема о связи классических тригонометрических рядов Фурье функ- öèé f è f0, следствие.

15.Теорема о скорости стремления к нулю коэффициентов классического тригонометрического ряда Фурье функции f в зависимости от е¼ дифференциальных свойств.

101

16.Теорема о равномерной сходимости классического тригонометрического ряда Фурье, следствие о почленном диференцировании классического тригонометрического ряда Фурье.

17.Теорема о почленном интегрировании классического тригонометриче- ского ряда Фурье непрерывной функции.

18.Мера параллелепипеда в Rn, е¼ свойства.

19.Свойства множества En.

20.Лемма о представлении элементарного множества в Rn.

21.Мера элементарного множества, лемма о корректности е¼ определения.

22.Свойства меры элементарного множества.

23.Свойства внутренней (внешней) меры Жордана ограниченного множества в Rn.

24.Мера множества, измеримого по Жордану в Rn, е¼ свойства.

25.Критерий жнм в Rn.

26.Свойства жнм.

27.Критерий измеримости по Жордану множества в Rn.

28.Свойства множеств, измеримых по Жордану.

29.Теорема об измеримости и величине меры Жордана криволинейной трапеции, следствие.

30.Теорема о необходимом условии интегрируемости функции по параллелепипеду.

31.Теорема об интегрируемости по параллелепипеду непрерывной функции.

32.Теорема об интегрируемости ограниченной на параллелепипеде функции, отличной от нуля на жнм.

33.Теорема об интегрируемости по параллелепипеду измененной на жнм функции.

34.Определение кратного интеграла по измеримому в Rn множеству, лем- ма о корректности его определения.

102

35.Критерий Лебега интегрируемости функции по измеримому множеству.

36.Характеристическая функция ограниченного в Rn множества. Крите- рий измеримости множества по Жордану в Rn в терминах его харак- теристической функкции.

37.Свойства кратного интеграла по измеримому множеству: интегрируемость постоянной функции; свойство линейности; интегрируемость произведения; интегрирование неравенства; интегрируемость модуля функции и оценка модуля кратного интеграла; интегрируемость функции по жнм; интегрируемость функции по измеримому подмножеству; свойство аддитивности; интегрируемость функции по внутренности и замыканию множества.

38.Теорема Фубини для параллелепипедов, следствия.

39.Теорема Фубини для декартова произведения измеримых по Жордану множеств, следствия.

40.Лемма о спрямляемости объединения кривых в Rn.

41.Лемма о спрямляемости дуги кривой в Rn.

42.Теорема о достаточных условиях спрямляемости кривой в Rn.

43.Теорема о непрерывной дифференцируемости функции длины спрямляемой кривой. Следствие.

44.Лемма о связи диаметров разбиений τ N[a, b] и l(τ) гладкой кривой.

45.Теорема о достаточных условиях существования криволинейного интеграла первого рода и формула его вычисления, частные случаи формулы.

46.Теорема о достаточных условиях существования криволинейного интеграла второго рода и формула его вычисления, частные случаи формулы.

47.Теорема об оценке сверху модуля криволинейного интеграла второго рода.

48.Теорема о связи криволинейных интегралов первого и второго рода.

49.Формула Грина для областей типа T .

103

50.Формула Грина для областей, представимых в виде объединения конечного числа областей типа T .

51.Применение криволинейного интеграла второго рода к вычислению площади области.

52.Теорема о независимости криволинейного интеграла второго рода от линии интегрирования.

53.Теорема о необходимых и достаточных условиях существования непре-

рывно дифференцируемой в области функции u(x, y) такой, что du =

P (x, y)dx + Q(x, y)dy.

54. Лемма об элементарной гладкой поверхности с явным заданием.

55. Теорема о квадрируемости ЭГП с явным заданием и формула вычисления е¼ площади.

56. Лемма об ориентируемости ЭГП, следствия.

57. Теорема о достаточных условиях существования поверхностного интеграла первого рода и формула его вычисления.

58. Теорема о достаточных условиях существования поверхностного интеграла второго рода и формула его вычисления.

59. Теорема о связи поверхностных интегралов первого и второго рода.

60. Лемма об элементарной гладкости Z-цилиндрической поверхности S и

ZZ

величине интеграла R(x, y)dxdy.

(S,n±)

61.Формула Гаусса-Острогорадского.

62.Формула Стокса.

104

Примеры экзаменационных билетов 4-го семестра Билет 1

I.Доказать.

1)Признак Липшица сходимости классического тригонометрического ряда Фурье в точке.

2)Понятие кратного интеграла по измеримому множеству. Интегрирование |f| и оценка модуля кратного интеграла.

3)Теорема о достаточных условиях существования криволинейного интеграла первого рода и формула его вычисления.

II. Сформулировать.

1) Сходимость ряда Фурье функции f по осф в смысле средних квадратичных, критерий сходимости, равенство Парсеваля.

2) Определение элементарного множества в Rn, лемма о его представле- нии. Мера элементарного множества, е¼ свойства.

3) Теорема Фубини для параллелепипедов.

4) Формула Гаусса-Остроградского.

√

III. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = 3 x2 + y2, z = 10 − x2 − y2.

Билет 2

I. Доказать.

1)Теорема Фейера.

2)Понятие кратного интеграла по измеримому множеству. Свойство аддитивности кратного интеграла (случай intG1 T intG2 = )

3)Теорема о независимости криволинейного интеграла второго рода от линии интегрирования.

II. Сформулировать.

1) Признак Липшица сходимости тригонометрического ряда Фурье функ-

f1

öèè f R[a,a+2T ] (a R, T > 0) в точке.

2) Понятие внешней меры Жордана ограниченного в Rn множества, е¼ свойства.

105

3)Теорема о вычислении кратного интеграла по множеству специального вида, измеримому по Жордану.

4)Формула Стокса.

IIIZ . Применяя формулу Грина вычислить криволинейный интеграл

(xy + x2 + y)dx + (xy + x − y)dy, где контур, пробегаемый в положи-

+

тельном направлении, ограничивает область D = {(x, y) R2 : y > x, y <

−x, y < 3}.

Примеры вариантов коллоквиумов 4-го семестра Коллоквиум 1 "Ряды Фурье"(модуль 20)

Билет 1

I. Доказать.

1) Минимизирующее свойство частичных сумм ряда Фурье функции

f2

f R[a,b]. Тождество и неравенство Бесселя.

2)	Теорема Фейера
II. Сформулировать.
1)	Интегральное представление частичных сумм классического тригоно-
	метрического ряда Фурье функции f Rf[−π,π].
	1

2)Условие Липшица функции в точке. Признак Липшица сходимости в точке классического тригонометрического ряда Фурье.

3)Теорема о почленном интегрировании классического тригонометриче- ского ряда Фурье непрерывной функции.

4)Пусть f, g C([−π, π]). Укажите необходимое и достаточное условие того, что f(x) = g(x), x [−π, π].

Билет 2

I. Доказать.

1) Признак Липшица сходимости классического тригонометрического ряда Фурье в точке.

106

2) Теорема о почленном интегрировании классического тригонометриче- ского ряда Фурье непрерывной функции.

II. Сформулировать.

f2

1) Критерий сходимости ряда Фурье функции f R[a,b] ïî îñô íà [a, b] ê

f в смысле средних квадратичных. Равенство Парсеваля.

2)Частичные суммы и ядра Фейера, их свойства.

3)Теорема о связи классических тригонометрических рядов Фурье функций f и f0.

4)Пусть f C([−π, π]) и коэффициенты е¼ классического тригонометри- ческого ряда Фурье равны нулю. Что можно сказать о значении f(x) на [−π, π]. Ответ обоснуйте.

Коллоквиум 2 "Мера Жордана в Rn и кратные

интегралы"(модули 21 и 22) Билет 1

I. Доказать.

1)Критерий измеримости множества по Жордану.

2)Теорема об интегрируемости ограниченной на параллелепипеде функции, отдичной от нуля на жнм.

3)Определение кратного интеграла по измеримому множеству, его свойство аддитивности.

II. Сформулировать.

1)Определение элементарного множества в Rn, лемма о его представле- нии. Свойства множства En.

2)Определение внутренней меры Жордана ограниченного в Rn множе- ства, е¼ свойства.

3)Критерий Лебега интегрируемости функции по измеримому множеству.

4)Теорема Фубини для параллелепипедов.

107

Билет 2

I. Доказать.

1)Критерий жнм в Rn.

2)Характеристическая функция ограниченного в Rn множества. Крите- рий измеримости множества по Жордану в Rn в терминах его харак-

теристической функции.

3) Определение кратного интеграла по измеримому множеству, его свойство линейности.

II. Сформулировать.

1)Определение элементарного множества в Rn и его меры. Свойства меры элементарного множества.

2)Определение внешней меры Жордана ограниченного в Rn множества, е¼ свойства.

3)Теорема об интегрируемости по параллелепипеду измененной на жнм функции.

4)Теорема Фубини для декартова произведения измеримых по Жордану множеств.

Пример индивидуальной работы 4-го семестра "Ряды Фурье"(модуль 20)

ложении	f		f(π − x) = f(x). Докажитие, что тогда при раз-
1) Пусть f	R[01	,π] è

этой функции в тригонометрический ряд Фурье по синусам b2n = 0 (n N).

2) Разложите функцию f(x) = sgn(sin πx) в тригонометрический ряд Фурье.

3) Разложите функцию f(x) =		0, x [0, 1]				(1, 2]	в тригонометрический
	x		−	1, x
ряд Фурье по косинусам.

4 Разложите функцию f(x) = cos x в тригонометрический ряд Фурье по синусам на (0, π).

108

Примеры контрольных работ 4-го семестра. Контрольная работа 1

"Приложения определенного интеграла"(модуль 21)

1) Найти площадь области, ограниченной линиями или заданной неравенствами:

à) xy = 4, x + y = 5, y ≤ 3;

á) r ≥ 1 − cos ϕ, r ≤ cos ϕ;

â) x = 3t2, y = 3t − t3

2) Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями: 2y = x2, 2x + 2y = 3.

Контрольная работа 2 "Приложение кратных интегралов"(модуль 22)

Вариант 1

ZZ

1) В интеграле f(x, y)dxdy перейти к полярным координатам и рас-

D

ставить пределы интегрирования в том и другом порядке, где D =

√

{(x, y) R2 : y ≤ −x, y ≤ 3x, −1 ≤ y ≤ 0}.

Ñпомощью двойного интеграла найти площадь области, ограниченной линиями:

à) y2 = 2x, y2 = 3x, xy = 2, xy = 1; á) (x + y)4 = ax2y (x, y ≥ 0, a > 0).

2) Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

à) x2 + y2 = 4√

y, z = x2 + y2 − 16, z = 0 (z ≥ 0);

2

x2

y2

z

x2

y2

x

y

á)

+

=

,

+

=

+

, z = 0 (a, b, c > 0)

a2

b2

c

a2

b2

a

b

109

					Вариант 2
		√
1) В интеграле Z0				1+y
	dy		Z			f(x, y)dx изменить порядок интегрирования.
−		√1			y2
1				−

2) С помощью двойного интеграла найти площадь области, ограниченной

линиями:

√

à) xy = 2, xy = 4, y = x, y = 3x;

á) (x2 + y2)2 = 4xy, x2 + y2 = 1 (x2 + y2 ≥ 1).

3) Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

à) z = x + y − 2, y = x2, x = 0, z = 0;

á) z = 8(x2 + y2) + 3, z = 16x + 3.

Контрольная работа 3 "Длина дуги кривой и криволинейные интегралы"(модуль 23)

Вариант 1

1)Вычислить длину дуги кривой r = a(1 − cos ϕ) (a > 0).

2)Вычислить криволинейные интегралы:

à) Z	xyzdl, где линия L : x2 + y2 + z2 = a2, y = x, лежит в III-ем
Lоктанте;
á) Z	ydx − (y + x2)dy, где линия L : y = 2x − x2, от точки A(2, 0) до
L
точки B(0, 0)
3) Вычислить с помощью формулы Грина криволинейный интеграл
3	x2

Z

y2(x2 − 2)dx + (1 + xy)dy, где L граница области

+ 4 2

L

G = {(x, y) R2 : y > x2, x + y < 6}.

Проверив, что подынтегральное выражение представляет собой полный дифференциал, восстановить функцию u(x, y) и вычислить интеграл

(1Z,−2)

(3x2 − 2xy + y2)dx + (2xy − x2 − 3y2)dy.

(−1,2)

110