Lineinaya_algebra_i_analiticheskaya_geometriya

											11
A		2	1		3; A					1		2 3 ;						A		1		2		3;
11		3 3						21		3 3								31		2 1
A 2				1 11;			A 3						2 1;				A 3				2 7 ;
	12	5	3					22		5			3					32	2		1
A 2			2 16;					A 3					1 4;				A 3				1 8.
	13	5		3				23		5			3					33	2		2
Определитель матрицы найден выше (фактически это ) и равен -12.
			1			3	3		3
Следовательно, A 1								1	7			. Тогда
			12		11
							4		8
					16
				1		3		3				3			1			1	24					2
X A 1 B												7			11					36
					12	11 1												12						3 .
								4				8			2					12
						16																		1
Ответ: x 2,	y 3,		z 1.

Замечание 1. Метод Крамера и матричный метод применимы для систем любого конечного порядка при двух условиях: количество уравнений совпадает с количеством неизвестных и определитель системы отличен от нуля.

Замечание 2. Если определитель системы равен нулю, то система либо не имеет решений вообще, либо имеет бесконечное множество решений.

1.2.3. Метод Гаусса

Как было отмечено выше, метод Крамера и матричный метод имеют один существенный недостаток: они неприменимы, если определитель системы равен нулю. В связи с этим, рассмотрим еще один, наиболее универсальный метод решения систем линейных алгебраических уравнений – метод Гаусса.

Пусть число уравнений системы совпадает с числом неизвестных1.

a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1 a22 x2 a2n xn		b2	(1.2)
	..................................
		bn
an1x1 an2 x2 ann xn

Расширенной матрицей системы (1.2) называется матрица системы, дополненная столбцом свободных членов:

1 Это требование необязательно для метода Гаусса

				12
a11		a12		a1n
a21		a22		a2n
		an2		ann
an1

b1

b2 (1.3) bn

Расширенная матрица системы называется верхнетреугольной, если в матрице системы все элементы ниже главной диагонали равны нулю:

a		a
	11	12
	0	a
		22
	0	0

a1n

a2n

ann

b1 b2

(1.4) bn

Расширенную матрицу системы мы будем называть диагональной, если матрица системы представляет собой единичную:

1		0		0	b1
0		1		0	b2		(1.5)
	0	0		1
					bn

К элементарным преобразованиям расширенной матрицы системы относятся преобразования трех типов:

1) Перемена местами любых двух строк:

Ci C j , i j .

2) Умножение любой строки на любое число, отличное от нуля

Ci , R, 0.

3) Прибавление к любой строке любой другой, умноженной на произвольное число:

Ci C j ,

i j,

R .

Известно, что элементарные преобразования расширенной матрицы системы приводят к эквивалентной матрице, т.е. система линейных алгебраических уравнений, соответствующая полученной матрице, имеет те же решения, что и исходная.

Идея метода Гаусса заключается в том, чтобы с помощью элементарных преобразований от расширенной матрицы системы вида (1.3) перейти вначале к верхнетреугольной матрице (1.4) (прямой ход метода Гаусса), а затем и к диагональной (1.5) (обратный ход метода Гаусса).

Если при переходе к верхнетреугольной матрице в матрице системы не возникло ни одной нулевой строки (это соответствует тому, что определитель исходной

13

системы отличен от нуля), то система имеет единственное решение. Его легко най-

ти, исходя из диагонального вида:
	x1 b1,	x2 b2	, , xn bn .

Продемонстрируем на примерах технику использования элементарных преобразований.

2x y 3z 8

Пример 8. Решить систему уравнений 3x 2y z 5 .

x 3y 5z 10

Решение. Запишем расширенную матрицу системы:

	2	1	3	8
	3	2	1	5
	1	3	5 10		.

Выберем в первом столбце ведущий элемент, т.е. элемент, с помощью которого удобно будет сделать нули под ним. Таким числом является единица. Поменяем местами первую и третью строки (C1 C3 элементарное преобразование 1-го вида):

	1	3	5 10
	3	2	1	5
	2	1	3	8

С помощью элементарных преобразований 3-го типа делаем нули под ведущим элементом (C2 3C1; C3 2C1 ):

	1	3	5	10
			14	25
	0	11			.
	0	5	7	12

Теперь выбираем ведущий элемент во втором столбце. Поскольку пока единицы нет, то её желательно создать. Для этого из второй строки вычтем удвоенную третью (C2 2 C3 ):

	1	3	5	10
				1
	0	1	0		.
	0	5	7	12

Делаем нуль под ведущим элементом (C3 5 C2 ):

	1	3	5	10
				1
	0	1	0		.
	0	0	7	7

Умножим третью строку на 17 ( 17 C3 – элементарное преобразование 2-го типа):

		14
	1	3	5 10
	0	1	0	1 .
	0	0	1	1

Мы получили матрицу верхнетреугольного вида. Переходим к обратному ходу метода Гаусса. В качестве ведущего элемента выбираем единицу, стоящую в третьем столбце. Делаем нули над ней (C1 5 C3 ):

	1		3	0	5
	0		1	0 1 .
	0		0	1
					1
Последний шаг. С помощью единицы во втором столбце зануляем элемент над
ней (C1 3 C2 ):
1			0	0	2
		0	1	0 1 .
		0	0	1
					1
Получена матрица диагонального вида. Проверку полученного решения сде-
лайте самостоятельно. Ответ: x 2,			y 1,		z 1.

Если при переходе к верхнетреугольной матрице в матрице системы возникает хотя бы одна нулевая строка (это означает, что определитель исходной системы равен нулю), то система либо не имеет решения вовсе, либо имеет бесчисленное множество решений.

										3x 2y z 4
Пример 9. Решить систему уравнений
								2x 5y 2z 1
											x 3y 3z 5
Решение.																				2C1
3				4 C						1		3				C2
		2	1				C		3					3	5 C				3	3C
	2	5			1						2	5									1
			2	1			~							2	1					~
	1	3	3								3		2	1	4
				5
	1		3 3				5 C			3	C	1		3		3		5
			11 8									2		11 8
	~	0					9				~		0					9			.
		0	11 8										0	0 0						2
						11

Распишем последнюю строку полученной матрицы в виде уравнения:

0 x 0 y 0 z 2

Очевидно, что это уравнение, а значит и вся система, решений не имеет. 

15

x1 x2 2x3 1
		2x2		x3		2.
Пример 10. Решить систему уравнений 4x1
	5x	x	2	x	3	3
	1

Решение.

	1	1	2	1	C2	4C1		1	1	2 1	C	3	C	2		1	1	2	1
					C3	5C1
4 2			1 2			~	0 6			9 2			~		0 6			9 2 .
	5	1	1	3				0	6	9 2						0	0	0	0

В отличие от предыдущего примера, последняя строка непротиворечива. Она указывает на то, что третье уравнение системы является следствием первых двух. Таким образом, мы, фактически, получили систему из двух уравнений с тремя неизвестными. Такая система имеет бесчисленное множество решений. Для того чтобы их найти, одну из переменных (её называют свободной) переносят в правую часть расширенной матрицы, а остальные переменные (их называют базисными или связными) выражают через эту свободную. Имеем

								C			1								1 2x						C		C					2						1
1		1		1 2x					2		6			1			1							3					2		1 0									x		3
									~											1 3						1	~					3 2											.
					3
				2 93																				x3										1					3
	0 6												0				1														0 1										x3
																				3			2
								2			1 x											1		3 x ,										3					2
Таким образом, x																,	x										x		x .
			1					3			2				3			2				3		2	3			3			3

Это общее решение системы. Присваивая свободной переменной x3 конкретные значения, можно получать частные решения, например,

									2	;	1;0	,			1;8;2		и т.д.
											3				3 3
									3
2		1	x3	;	1		3	x3; x3
Ответ:		2			3		2		.
3

Отметим ещё одно достоинство метода Гаусса. Для систем линейных уравнений 4-го порядка и выше метод Гаусса оказывается эффективнее метода Крамера и матричного метода и приводит к решению гораздо быстрее.

Пример 11. Решить систему уравнений

2x1 3x2 4x3 x4 7

x1 2x2 2x3 3x4 6 .3x1 5x2 x3 4x4 15x1 4x2 2x3 x4 2

Решение.

10

00

																												16
																																															C2 2C1
					2 3						4				1			7 C1 C2											1			2 2								3		6 C3 3C1
						1	2 2								3				6												2 3						4			1		7								5C1
																										~																				C4
						3 5 1									4						1										3 5					1				4		1								~
						5 4					2					1					2										5 4						2			1		2
		1				2 2								3				6 C4 C3 1														2 2								3					6 C2 2C4
													5																											5
		0 7							0							5										~		0 7								0											5				~
			0 11				7						5						19											0 11						7				5 19
			0 14				8						16						32											0 3						1				11 13
		1			2		2						3			6			C 3 11C 2										1			2				2				3							6			C3 ( 1)
						1	2					17										C		4	3C		2					1				2				17							21			C	4	( 1)
	0														21										~			0																								~
		0			11		7					5				19													0			0		29						192
																																															250
		0				3	1						11 13																0			0			7					62						76
		1				2 2								3 6 C3 4C4 1																		2 2								3				6 C4 7C3
									2				17
		0 1														21									~				0 1 2											17 21										~
				0		0		29					192			250															0	0				1			56				54
				0 0					7				62			76															0 0 7									62 76
														1																							C1			3C4															C 2C
2	2				3		6			C		4			454 1										2		2				3			6			C	2		17C				4	1					2		2	0 3					3
																																							56C																	1
1 2 17 21																				0 1 2											17 21					C		3						4			0			1 2 0 4				C		2	2C	3
														~																										~																	~
0 1 56 54																				0 0 1										56				54													0 0 1 0 2
0	0			454 454																0					0		0				1			1													0			0		0	1 1
									1				2					0 0 1 C1										2C2 1 0 0												0 1
											0			1		0 0									0								0 1 0							0 0
																													~
											0			0		1 0 2																	0 0 1							0 2						.
											0			0		0 1									1								0 0 0							1 1

Проверку сделайте самостоятельно.

Ответ: x1 1, x2 0, x3 2, x4 1.

1.3. Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу A размера m n. Вычеркиванием каких–либо строк или столбцов можно вычленить квадратные подматрицы k -го порядка, где k min(m;n).Определители таких подматриц называются минорами k -го порядка

матрицы A.

17

Рангом матрицы A называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Обозначают ранг матрицы обычно rang A или r(A) .

	Свойства ранга матрицы
1) Ранг	матрицы Am n не превосходит меньшего из ее размеров, т.е.
rang	A min(m;n).
2) rang	A 0 тогда и только тогда, когда A– нулевая матрица.
3) Если	A– квадратная матрица n -го порядка, то rang A n тогда и только то-

гда, когда матрица A невырожденная.

Нахождение ранга матрицы, используя непосредственно определение, довольно громоздко и трудоемко.

Теорема 4. Ранг матрицы не изменяется при ее элементарных преобразованиях.

С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к верхнетреугольному виду:

	a11		a12 a1r
A	0		a22 a2r
		0	0	arr

a1n a2n ,

arn

где aii 0 , i 1,2,...,r ; r n . Ранг верхнетреугольной матрицы равен r .

		1	2	1	4
Пример 12. Найти ранг матрицы	A	3	5	2	1	.
		4	7	1	5

Решение. Используя технику элементарных преобразований (как в методе Гаусса), получим верхнетреугольную матрицу:

				C2 3C1						4 C3 C2
1 2		1 4 C			4C	1		2 1				1		2	1	4		1		2 1	4
	3 5	2	1	3	1		0	1	5		~		0	1	5
					~					11						11 ~
	4 7	1	5				0	1	5	11			0 0		0	0			0	1 5	11
Таким образом,					rang A 2 .

Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк (столбцов).

18

Строка (столбец) называются линейно зависимыми, если хотя бы одна из строк (столбцов) линейно выражается через остальные. В противном случае, строки (столбцы) называются линейно независимыми (подробнее читайте в п. 1.6.1).

Теорема 5. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк (столбцов).

1.4. Собственные векторы и собственные значения матрицы

Вектор x 0 называется собственным вектором матрицы A, если найдется такое число , что

	Ax x	(1.6)
Число называется собственным значением матрицы A, соответствующим век-
тору x .
Равенство (1.6) можно записать в развернутом виде:
a11x1 a12 x2 a1n xn x1
a21x1 a22 x2 a2n xn x2 .
	..................................
an1x1 an2 x2 ann xn xn
Откуда получим
(a11 )x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1 (a22 )x2 a2n xn 0
	..................................
	an2 x2 (ann )xn 0
an1x1

или в матричном виде

A E x 0 .

Полученная система всегда имеет нулевое решение. Для существования ненулевого решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы обращался в нуль:

	a11	a12		a1 n
A E	a 21	a 22		a 2 n	0	(1.7)
	a n 1	a n 2	a nn

19

Определитель A E является многочленом n -ой степени. Он называется характеристическим многочленом матрицы A, а уравнение (1.7)– характеристическим уравнением матрицы A.

Теорема 6. Корни характеристического уравнения матрицы A (если они существуют) и только они являются собственными значениями этой матрицы.

Пример 13. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы:

						2		4
				A				.
						1
								3
Решение.	Составим характеристическое уравнение
		A E	2		4		0	или		2 2 0 ,
			1	3
откуда собственные значения матрицы A:							2, 2 1.
								1
Находим собственный вектор x1 , соответствующий											собственному значению
1 2. Для этого решаем матричное уравнение:
			x1		или			4	4 x			0
		A E		0						1			,
		1						1
			x2							1 x2		0
откуда x1		x2 0, т.е. x1	x2 . Положив					x2 C , мы				получим, что		вектор
x1 C;C		при любом C 0 является собственным вектором матрицы A с собст-
венным значением 1 2. Аналогично, получим, что вектор x2													4C;C	при лю-
бом C 0	является собственным вектором матрицы									A с собственным значением
2 1.
Пример 14. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы:
					1		4	8
					4			4
				A			7
					8		4	1

Решение. После преобразований (проделайте это самостоятельно) характеристическое уравнение примет вид:

3 9 2 81 729 0 .

Имеем далее

2 9 81 9 0

9 2 81 0 ,

откуда 1 9, 2 9.

Найдем собственный вектор x1, соответствующий собственному значению

1 9:

8		4	8 x				0
				1
	4	2	4	x2			0
	8	4	8				0
				x3

								20
		Решая				полученную		систему	методом	Гаусса,	получим
x1			1	C1	C2	;C1;C2		и C2 произвольные числа не равные нулю одно-
			2				, где C1

временно.

Аналогично находим, что x2 C3; 12 C3;C3 при любом C3 0 есть собствен-

ный вектор матрицы A с собственным значением 2 9.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Найти 2A 3B BT , A B , B A

1.		4	1					5	2
	A		,				B
		2						1	4
			3
	3		0	2						1 2	3
		1
2.	A		4	1		,		B		0 4 5
		5	3	2
										2 1 3

Вычислить определители:

	1 2 3												7 1 4								3 2 1
3. 5 1 4											4. 2 3 2								5. 0 4 2
	0	4		2									5	1		2					0	0	1
	1 3 2 5												4 3 0 1								2 3 1 2
6.	0 4 1 3										7.		1 1			2 5			8.		1 0 1 3
	0	0		5		6							0	4		0		3			3	1	2	0
	0 0 0 2												7 1 0 1								0 5 0			0
Проверить справедливость равенств AB BA A B :
		2		3				2			4					10.			1	2			5	1
9. A					, B													A			,	B
				1					3										0 4
		5									1												3	2
				4 1 2								2	1			3
	A											2
11.				3	5		1		,	B				5		4
				0	7		2					0		3		2
				1		2 3					6		2		4
	A
12.				5		1	4	,		B		3	1		0
				2		0	1					4	2		1