Lineinaya_algebra_i_analiticheskaya_geometriya

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Ростовский государственный строительный университет

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ (теория, практика

и контрольное задание №1 для студентов РГСУ)

Ростов-на-Дону

2007

Линейная алгебра и элементы аналитической геометрии (теория, практика и контрольное задание №1 для студентов РГСУ) – Ростов-на-Дону: Рост. гос. строит. ун-т, 2007,– 63 с.

Изложен курс лекций по линейной алгебре и аналитической геометрии. Приводится большое число примеров с решениями, а также заданий для самостоятельной работы. Содержит варианты контрольных заданий и образцы выполнения упражнений.

Методическое пособие предназначено для студентов очной и заочной форм обучения.

Составители: к.ф.-м.н. Богачева М.Н. к.ф.-м.н. Гробер В.М. к.ф.-м.н. Гробер О.В. к.ф.-м.н. Гробер Т.А. к.ф.-м.н. Красий Н.П. к.т.н. Прянишникова Л.И.

Руководитель авторского коллектива д.т.н., проф. Белявский Г.И.

© Ростовский государственный строительный университет, 2007

3

ЧАСТЬ 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

1.1.Матрицы и определители

1.1.1. Основные понятия

Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов

		a11		a12		a1n
A		a21		a22		a2n .
				am2
		am1					amn
Каждый элемент матрицы aik		имеет два индекса: i – номер строки и k – но-
мер столбца. Например, в матрице
			5		7	4	3
	A		2		0	8	1
			3		4	9	6
размера 3 4 , a11 5 , a23 8, a34
	6 .						A (aik )m,n . Матрица называется
Часто используется краткая запись матрицы:

квадратной n -го порядка, если она состоит из n строк и n столбцов. Матрица размера 1 n называется матрицей-строкой, а матрица размера m 1 матрицей-

столбцом.

Нулевой матрицей О заданного размера называется матрица, все элементы которой равны 0.

Единичной называется квадратная матрица, элементы главной диагонали ко-

торой равны 1, а все остальные элементы равны 0:
		1	0		0
		0	1		0
Е						.
		0	0		1

Можно говорить о единичных матрицах любого порядка.

Транспонированной для матрицы A называется матрица AT , строки которой являются столбцами матрицы A, а столбцы – строками A. Например, если

		5	9	4				5	3
					, то	AT		9 2			.
	A
		3	2
				1				4
Матрицы A (aik )m,n			и B (bik )m,n						1			aik bik ,
						называются равными, если
i 1, ,m ,	k 1, ,n .

4

1.1.2. Линейные операции над матрицами

Суммой матриц	A (aik )m,n и	B (bik )m,n называется матрица
A B (aik bik )m,n .

Другими словами, для сложения матриц надо сложить элементы матриц, стоящие на одних и тех же местах. Складываются матрицы только одинакового размера.

Произведением матрицы A (aik )m,n на число	называется матрица
A ( aik )m,n .

Другими словами, для умножения матрицы на число надо каждый элемент матрицы умножить на это число. Любую матрицу можно умножить на любое число.

Для любых матриц одинакового размера и любых чисел и выполняются

свойства:	A B B A ;					4) ( A) ( )A;
1)
2)	A 0 A ;					5) (A B) A B ;
3)	A (B C) (A B) C ;					6) ( )A A A.
Пример	1. Даны матрицы		A		2	1		и		1 4				. Найти матрицу
										B
					3	0					5	2
C 2A 3B AT .
Решение.
	4		2			3 12				2 3		9		7
	C 2A 3B AT														.	
		6				15 6								6
			0							1 0		8

1.1.3. Умножение матриц

Матрицы умножаются по правилу «строка на столбец». Расшифруем, что имеется в виду.

Произведением матрицы A (aik )m, p на матрицу B (bik ) p,n называется мат-

p

рица C размера m n с элементами cik aij bjk , i 1,2, ,m , k 1,2, ,n .

j 1

Другими словами, для получения элемента, стоящего в i -той строке и k -том столбце матрицы-произведения, следует вычислить сумму произведений элементов i -той строки матрицы A (aik )m, p на k -тый столбец матрицы B (bik ) p,n .

В самом определении произведения матриц заложено, что число столбцов первой матрицы должно совпадать с числом строк второй. Это условие согласования матриц при умножении. Если оно нарушено, то матрицы перемножить нельзя.

	2	4			5	1	2
Пример 2. Найти произведение матриц A				и B				.
	1	3			2	0	6

Решение.	2 5 4 2			2 ( 1) 4 0	2 2	4 6		18	2	28		.
	A B
		1 5	3 2	1 ( 1) 3 0	1 2 3 6				1	20
								11

5

Заметим, что вполне возможна ситуация, когда A B существует, а B A нет. Именно так происходит в примере 2. Кроме того, когда существуют оба произведения, то чаще всего они не равны, т.е., вообще говоря, A B B A. Приведем еще ряд свойств операции умножения матриц. Если A, B и C - квадратные матрицы одного порядка, то справедливы равенства:

1)	A (B С) (A B) C ;	3) (A B) C A C B C ;
2)	A (B C) A B A C ;	4) A E E A A.

1.1.4.Определители

Понятие определителя вводится только для квадратных матриц. Рассмотрим

квадратную матрицу 2го порядка: A a11

a21

Определителем 2го порядка матрицы

a12 .

a22

A называется число:

(A) a11	a12 a a	22	a a		21	.
a21	11			12
	a22
Пример 3. Вычислить определитель матрицы A			11		4
							.
				5	12

Решение. (A) 11 12 4 5 152.

	a11		a12	a13
			a22	a23			– матрица 3го порядка.
Пусть	A a21
	a	31	a	a	33
			32

Минором элемента aik называется определитель Mik , составленный из эле-

ментов, оставшихся после вычеркивания из матрицы i -той строки и k -того столбца.

Алгебраическим дополнением элемента aik называется число

Aik ( 1)i k Mik .

Определителем 3го порядка (матрицы A) называется сумма произведений элементов первой строки матрицы на их алгебраические дополнения.

a11	a12	a13
(A) a21	a22	a23	a11A11 a12 A12 a13 A13 .
a31	a32	a33

6
		3	2	4
Пример 3. Вычислить определитель матрицы	A	5	1	0	.
		2	1	7

Решение. Находим миноры и алгебраические дополнения элементов 1-ой строки матрицы:

	M	11	1			0 7,	A ( 1)1 1 M			11		M			11		7 ;
				1		7	11
M	12	5			0	35,	A	( 1)1 2 M	12			M		12			35 ;
			2		7		12
M	13	5			1 7,		A ( 1)1 3 M				13		M			13		7 .
			2		1		13

Вычисляем исходный определитель

(A) 3 7 ( 2) ( 35) 4 ( 7) 63

В дальнейшем при вычислении определителей мы будем пользоваться более короткой записью:

3	2	4		1	0		5	0		5	1
(A) 5	1	0	3			( 2)			4			63.
2	1	7		1	7		2	7		2	1

Далее индуктивно вводится понятие определителей более высоких порядков.

Определителем n -го порядка называется сумма произведений элементов 1-ой строки на их алгебраические дополнения.

Свойства определителей

1.Определитель не меняется при транспонировании.

2.Если все элементы какой-либо строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен 0.

3.Если две строки (два столбца) поменять местами, то определитель меняет

знак.

4.Если элементы какой-либо строки (столбца) содержат общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

5.Если в определителе две строки (два столбца) одинаковы или пропорциональны, то определитель равен 0.

6.Справедливо равенство

a11 b11	a12 b12	a13 b13	a11	a12	a13	b11	b12	b13
a21	a22	a23	a21	a22	a23	a21	a22	a23 .
a31	a32	a33	a31	a32	a33	a31	a32	a33

7.Определитель не изменится, если к элементам какой-либо его строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

7

8.Сумма произведений элементов любой строки (столбца) на свои алгебраические дополнения равна самому определителю.

9.Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения другой строки (столбца) равна 0.

Теорема 1. Если A и B – квадратные матрицы n -го порядка, то

(A B) (A) (B) .

Следствие. (A B) (B A) .

Пример 5. (Образец решения задачи 2 из контрольной работы). Даны матри-

	2 1			0					1 4					2
цыA		1											2
			2	3		и		B		0		3			.	Проверить				справедливость равенства
		4	0	2						5		1		1
(A B) (B A) (A) (B) .
Решение.
		2	1	0				2	3 1 1					3 0 1				2
(A) 1			2	3 2															8 14 0 22
		4	0	2				0	2			4		2		4		0
	1		4	2					3 2					0	2 2			0	3 5 40 30 75
(B) 0 3				2 1							4
		5	1	1					1	1				5	1			5	1
	2 1			0 1					4 2				2		11 2
A B		1 2							3 2				16 5
				3			0										3
		4 0		2			5		1 1					6 18 10
			2	11		2		2 5				3				16	3 2			16	5 208 1985 516
(A B)			16	5		3									11
			6	18		10				18		10				6	10			6	18
1650
	1 4			2 2					1 0					2 7 16
B A													11 6 5
		0 3		2			1		2 3
		5 1		1				4	0 2					13 7 5
			2	7		16								11		5 2 11
(B A) 11				6		5	2 6			5 7										6 10 840 2480
			13	7		5			7	5				13		5			13	7
1650

Таким образом,

(A B) (B A) (A) (B) =–1650. 

8

1.1.5. Обратные матрицы

Матрица A 1 называется обратной к квадратной матрице A, если

A A 1 A 1 A E .

Матрица A называется вырожденной, если (A) 0; в противном случае

A – невырожденная матрица.

Для того, чтобы матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т.е. (A) 0.

В таком случае,

		A11		A21	An1
A 1 1		A12		A22	An2			,
(A)
			A1n	A2n
						Ann

т.е. обратная матрица есть разделенная на (A) транспонированная матрица алгебраических дополнений элементов матрицы A.

		5	1	1
			1			. Найти A 1 .
Пример 6. Дана матрица	А	2		3
		2	4	7

Решение.

		A				1		3	19 A									1	1		11 A			1 1 2
		11					4	7							21			4		7			31	1		3
	A					2 3			20						A			5		1 33 A				5 1			17
		12			2 7										22		2 7						32	2 3
		A					2 1				6 A							5 1			22 A			5 1			7
		13				2 4									23		2 4						33	2 1
								(A) 5 ( 19) 1 ( 20) ( 1) 6 121
				1			19				11				2
и тогда,	A 1											33			17
			121				20									.
								6			22				7
Проверка.
																						19	11
											1				5	1			1					2
				A A 1											2 1				3			20 33		17
										121
															2	4 7						6	22	7

				9
	1	121		0	0		1		0	0
			0	121	0			0	1	0		E .
	121
			0	0	121			0	0	1
Аналогично убеждаемся, что A 1 A E . Значит, матрица A 1													найдена верно. 
Справедлива следующая теорема:

Теорема 2. Если A и B невырожденные квадратные матрицы одинакового порядка, то

(A B) 1 B 1 A 1.

1.2. Системы линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим систему из 3-х алгебраических уравнений с 3-мя неизвестными:

a11x a12 y a13z b1
				(1.1)
a21x a22 y a23z b2
a x a	32	y a	z b
31		33	3

1.2.1. Метод Крамера

Теорема 3. Если определитель матрицы системы (1.1)

a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33

отличен от нуля ( 0), то система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:

x

x , y

y

, z

z ,

где

b1

a12

a13

a11

b1

a13

a11

a12

b1

x b2

a22

a23

, y a21

b2

a23

, z a21

a22

b2 .

b3

a32

a33

a31

b3

a33

a31

a32

b3

1.2.2. Матричный метод

Обозначим через A матрицу системы (1.1), т.е. матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных:

a11		a12
		a22
A a21
a	31	a
		32

a13 a23 , a33

		10
	x		b1
через	X y	– матрицу-столбец из неизвестных и через	B b2		– матрицу-
	z		b
			3

столбец правых частей.

Принимая во внимание правило умножения матриц, можно систему линейных уравнений (1.1) записать в виде матричного уравнения:

A X B ,

решение которого имеет вид

X A 1 B .

Пример 7. (Образец выполнения задачи 1 из контрольной работы) Решить систему уравнений двумя способами:

								3x y 2z 1
								2x 2y z 11 .
							5x 3y				3z 2
Решение. Используем метод Крамера:
			3		1		2						1	1		2
2					2		1 12,				x	11		2		1	24,
			5		3		3						2	3		3
				3	1		2						3	1		1
	y		2		11		1	36,			z 2			2		11 12.
				5	2		3						5	3		2
Тогда									y
x		x		24		2, y					36		3,	z		z	12	1.
				12							12						12

Проверим правильность полученных решений, для чего подставим их в условие:

		3 2 3 2 1			1			6 3 2 1 верно
		2 2 2 ( 3) 1 11						4 6	1 11 верно
	5	2 3 ( 3)		3 1	2		10 9		3 2 верно.
	Теперь решим ту же систему матричным методом. Найдем обратную матрицу
			3	1	2
А 1				2
	к матрице системы A		2		1		. Вычислим все алгебраические дополне-
			5	3	3

ния: