Lineinaya_algebra_i_analiticheskaya_geometriya

	41
z1		2	3i .
z2		3	5i

Умножая числитель и знаменатель на сопряженное делителю комплексное число 3 5i , получаем:

z1		2 3i 3 5i		2 3 3 3i 2 5i 3 5i2		21 19i		21 19 i .
z2		3 5i 3 5i		9 25i2		34		34 34

Пример 24. Решить квадратное уравнение x2 2x 37 0 .

Решение.

Используя, хорошо известную формулу нахождения корней квадратного уравнения, получим:

x	2	4 148 2	144	2 12i 1 6i .
1,2		2	2	2

Проверить правильность решения можно с помощью теоремы Виета:

x1 x2 2x1 x2 37

Действительно,

x1 x2 1 6i 1 6i 2

x1 x2 1 6i 1 6i 12 6i 2 1 36 37.

Если для геометрического изображения действительных чисел используются точки числовой прямой, то для представления комплексных чисел служат точки координатной плоскости xOy .

Плоскость называется комплексной, если	каждому комплексному числу
z x iy ставится в соответствие точка плоскости	z x, y , причем это соответствие

взаимно однозначное. Оси Ox и Oy , на которых расположены действительные числа z x 0i x и чисто мнимые числа z 0 iy iy , называются соответственно

действительной и мнимой осями (рис. 4).

y

y Im z	z
	r z
0	x Re z	x

Рис. 4

42

С каждой точкой z x, y комплексной плоскости связан радиус-вектор этой

точки Oz , длина которого r называется модулем комплексного числа z и обозначается z:

r zx2 y2 .

Угол , образованный радиус-вектором Oz с осью Ox , называется аргументом комплексного числа z и обозначается Argz : Argz .

Очевидно, что

x r cos , y r sin .

Следовательно, комплексное число z x iy можно представить как: z r cos isin .

Данное представление комплексного числа, где r z 0, Argz , называет-

ся тригонометрической формой комплексного числа.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Решить квадратные уравнения

1. x2 1 0 ,

2. x2 4 0 ,

3. x2 16 0

4. x2 20 0,

5. x2 4x 13 0,

6. x2 2x 5 0 ,

7. x2 4x 8 0 .

8. x2 6x 25 0.

Построить на комплексной плоскости

9.

z 3,

10.

z 7 ,

11.

arg z

,

12. arg z

3

,

13. z 2 i ,

14. z 4 3i

4

Даны комплексные числа z

и z

2

. Найти: a) z

z

2

, b) z z

2

, c) z

z

2

,d) z1 .

1

1

1

1

z2

15.

z1 3 4i

,

16. z1 5 2i ,

17. z1 4 3i

, 18. z1

2 4i

z2 2 3i

z2 7 i

z2 6 2i

z2 3 5i

Найти z

19.z 5 4i ,

20.z 1 3 i ,

21.z z1 z2 , где z1 3 4i , z2 9 5i

22.z z1 z2 , где z1 6 2i , z2 5 3i

43

Найти Argz

23.z 1 3 i

24.z 2 2i

25.z 1 3 i

Решить уравнение

26.x4 1 0

27.x4 16 0

28.x4 2x2 8 0

29.x4 5x2 36 0

30.x4 5x2 4 0

44

ЧАСТЬ 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

2.1. Прямая в пространствеR2

Всякая прямая в R2 определяется уравнением первой степени относительно переменных x и y и, обратно, каждое линейное уравнение

Ax By C 0

2.1

выражает прямую линию. Уравнение 2.1 называется общим уравнением прямой. Любая невертикальная прямая описывается также уравнением

y kx b ,

где k tg - угловой коэффициент прямой, а b- отрезок, отсекаемый прямой на оси

ординат (рис. 5)

y

b

x

Рис. 5

Совокупность прямых, проходящих через данную точку M0 x0; y0 называется пучком прямых (рис.6).

y

M0 x0; y0

x

Рис. 6

Пучок прямых имеет уравнение

y y0

k(x x0 )

(2.2)

Каждая прямая пучка обладает своим угловым коэффициентом. В частности, для горизонтальной прямой k 0 ; поэтому ее уравнение: y y0 . Пучок не содержит

вертикальной прямой, уравнение которой x x0 (рис.7).

						45
			y
						x x0
										x
			0		x0					Рис.7
Угол между прямыми y k1x b1						и y k2 x b2 определяется соотношением
					tg	k2 k1				,
						1 k k			2
							1
если 1 k k	2	0	. Равенство 1 k k	2	0 , т.е. k		2	1 является условием перпендику-
1			1							k1

лярности двух прямых. Условие параллельности двух прямых: k1 k2 .

2.1.1. Нахождение углового коэффициента по двум точкам

Если известны две точки на прямой M1 x1; y1 и M2 x2; y2 , то угловой коэффициент k этой прямой вычисляется по следующей формуле:

k y2	y1	(2.3)
x2	x1

2.1.2. Координаты середины отрезка

Пусть известны координаты концов отрезка: A x1; y1 , B x2; y2 . Тогда точка O - середина отрезка AB находится следующим образом:

x		x	2 ;	y	y	2
O	1	2		1			.
					2

Пример 25. Найти уравнение прямой, проходящей через точки A(3;5) и B( 1;7) .

Решение. Запишем уравнение пучка прямых, проходящих через точку A, воспользовавшись формулой (2.2):

y 5 k(x 3).

Остается найти угловой коэффициент прямой AB , применяя формулу (2.3):

k	AB	yB yA 7 5		2	1
		xB xA	1 3	4	2

46

Таким образом, уравнение прямой AB выглядит так:

y 5 12 (x 3)

или, после упрощений,

y 12 x 132 .

Пример 26. (Образец выполнения задачи 5 из контрольной работы). Даны вершины треугольника A(1;1), B( 3;5), C(3;7) . Найти

a)уравнение стороны AB ;

b)уравнение высоты AH ;

c)уравнение медианы BM ;

d)точку пересечения высоты AH и медианы BM .

Решение. a) Уравнение пучка прямых, проходящих через точку A:

		y 1 k(x 1) .
Находим угловой коэффициент прямой AB по двум заданным точкам
k	AB	yB yA	5 1	4 1,
		xB xA	3 1	4

(AB) : y 1 1(x 1) y x 2.

b) Используем уравнение пучка того же, что и в пункте a):

y 1 k(x 1) .

Для нахождения углового коэффициента высоты AH воспользуемся условием перпендикулярности прямых (рис. 8):

				1				B
	kAH							H
				kBC				O
	k	BC	yC yB 7 5			1
			xC xB		3 3	3
							A		C
	значит,			kAH 3, и тогда				M

(AH ) : y 1 3(x 1) y 3x 4	Рис. 8

c) Для нахождения медианы BM используем уравнение пучка прямых, проходящих через точку B :

y 5 k(x 3)

47
Найдем точку M . Т.к. M - середина отрезка	1	3	;	1		7	. То-
	AC , то M	2			2	, т.е. M (2;4)

гда

k	BM	yM yB		4 5 1 ,
		xM	xB	2 3	5
(BM ) :	y 5		1 (x 3) y 1 x			22 .
			5		5	5

d) Для того, чтобы найти точку пересечения прямых													AH и BM (назовем эту точку
O ), следует решить систему:
y 3x 4						1			22		14			2		2		1
	1		22	3x 4				x					x		x				,
		x				5			5		5			5		14		7
y	5		5
				y 3(	1)		4		3	4		31.
					7				7			7

Таким образом, О 17 ; 317 .

Пример 27 (Образец выполнения задачи 6 из контрольной работы). Построить многоугольники вычислить значение функции z в его вершинах:

	x 0
	y 0		z 2x 3y .
	y x	4
	y 2x 27
Решение. Построим данные в условии прямые (рис.9): x 0				уравнение оси Oy ;
y 0	уравнение оси Ox ; y x 4 .

Рис. 9

48

Для того, чтобы построить прямую, достаточно взять две точки: x 0 y 4, y 0 x 4 , т.е. прямая y x 4 проходит через точки (0;4) и (-4;0). Прямая

y 2x 7 проходит через точки (0;7) и (72 ;0).

Итак, мы получили многоугольник OABC . Координаты вершин O, A,C мы знаем, а координаты вершины B найдем, решая систему

y x 4	: x 4 2x 7 x 1 y 5.
y 2x 7

т.е.B(1;5).

Вычислим значения функции z 2x 3y в полученных вершинах многоугольника:

z O(0;0) 2 0 3 0 0;			z A(0;4) 2 0 3 4 12;
z	B(1;5)	2 1 3 5 17;	z	7	;0)	2	7	3 0 7.
			C(	2			2

2.2 Прямая в пространстве R3

Пусть заданы вектор b (b1,b2 ,b3 ) и точка M 0 (x0 ; y0 ; z0 ) (рис. 10)

z

M 0 (x0 ; y0 ; z0 )

b (b1,b2,b3)

y

Рис. 10

x

Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M 0 (x0 ; y0 ; z0 )в направлении вектора b (b1,b2 ,b3 ) имеют вид:

x b1t x0
			(2.4)
y b2t y0
z b t z		0
	3

Здесь x, y, z - координаты текущей точки M прямой, а t - параметр, принимающий все значения от - до . При этом существует взаимно однозначное со-

ответствие между значениями t и точками прямой. Вектор b называют направляю-

щим (или базисным) вектором прямой.

49

Иногда используют также канонические уравнения прямой:

x x0		y y0	z z0 .
b		b	b
1		2	3

Пример 28. (Образец выполнения задачи 7(a) из контрольной работы). Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через две данные точки A(2; 4;5) и B(4;1; 2) .

Решение. В качестве направляющего возьмем вектор b AB (2;5; 7) (рис. 11),

B

A

Рис. 11

а в качестве фиксированной точки – точку A и запишем искомые параметрические уравнения

x 2t	2
	4	,	t
y 5t
z 7t 5

Канонические уравнения данной прямой будут иметь вид:

x 2		y 4	z 5 .
2		5	7
Пример 29. При каких и прямые
x 3t 2			x 9t 5
		и
y 2t 1			y t 7
				9
z t 1			z t

параллельны? Составить уравнение прямой, параллельной данным и проходящей через точку P(4; 4;3).

Решение. Прямые параллельны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы b1 (3; 2; 1) и b2 ( 9; ; ) коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты пропорциональны

9					,
3		2		1

		50
откуда 6, 3. Прямая, параллельная данным			и проходящая через точку
P(4; 4;3) , имеет тот же направляющий вектор (3;-2;-1); ее параметрические уравне-
ния таковы
x 3t 4
	,	t .	
y 2t 4
z t 3

2.3 Плоскость

Вектором нормали к плоскости называется вектор, перпендикулярный к этой плоскости. Уравнение плоскости по точке M 0 (x0 ; y0 ; z0 ) и заданному вектору нор-

мали N (A; B;C) (рис. 12)

N

M 0 (x0 ; y0 ; z0 )

Рис. 12

имеет вид:

A(x x0 ) B(y y0 ) C(z z0 ) 0

(2.5)

Это линейное уравнение относительно переменных x, y, z . Верно и обратное: всякое линейное уравнение

Ax By Cz D 0

(2.6)

выражает плоскость, причем коэффициенты при переменных являются координата-

ми вектора нормали N этой плоскости. Данное уравнение называется общим уравнением плоскости.

Пример 30. (Образец выполнения задачи 7(b) из контрольной работы). Найти уравнение плоскости, проходящей через точки A(3;2;1), B( 2;5;2) и C(4;0;1).

Решение. Из точки A выпустим два вектора AB и AC . Тогда в качестве нормали искомой плоскости можно взять векторное произведение векторов AB и AC (рис.

13),

N

A B

C

Рис. 13