Диск СГЭО (Лекции_СГЭО_ВЗО_2012) / Тема 10_Кинематика поршневого ДВС

88

Тема 10. КИНЕМАТИКА КРИВОШИПНО-ШАТУННОГО МЕХАНИЗМА ПОРШНЕВОГО ДВС

[3], §14.1, с.251–255; [4], § 23.1, с.289–298.

Основные схемы и параметры КШМ.

Формула перемещения поршня (графическое представление, анализ). Способ Брикса для приближенного определения перемещения поршня.

Скорость и ускорение движения поршня, формулы и графики в функции угла п.к.в., экстремальные значения. Графический способ Толле определения зависимости ускорения поршня от его перемещения.

Кривошипно-шатунный механизм (КШМ) поршневого ДВС служит для преобразования поступательного движения поршня во вращательное движение коленчатого вала.

При работе двигателя в КШМ возникают усилия, которые определяют при помощи уравнений кинематики и динамики механизма. Эти усилия учитывают в расчетах прочности деталей КШМ, в расчетах неуравновешенности двигателя и параметров механизмов его уравновешивания.

10.1. Основные схемы и параметры КШМ

Существуют три основные схемы КШМ, показанные на рис. 10.1:

Рис. 10.1. Основные схемы кривошипно-шатунного механизма

а – центральный (аксиальный, нормальный) КШМ, в котором ось цилиндра пересекает ось коленчатого вала;

б – смещенный (дезаксиальный) КШМ, где ось цилиндра не пересекает ось коленчатого вала, а смещена на некоторое расстояние e , которое обычно не превосходит 10% хода поршня; этот КШМ применяется главным образом в автомобильных (нереверсивных) двигателях для снижения нормальных усилий, передаваемых поршнем на втулку цилиндра.

в – КШМ с прицепным шатуном, где два шатуна передают усилия на одну шейку коленчатого вала ; в этом случае шатун, шарнирно соединенный с шейкой, называется главным, а шатун, шарнирно соединенный с нижней головкой главного шатуна – прицепным; такая схема применяется в V-образных двигателях, обладающих уменьшенными габаритами по сравнению с рядными двигателями.

В дальнейшем будет рассмотрен только центральный КШМ.

89

Параметры КШМ (см. рис. 10.1а): А′В = L – длина шатуна;

OB = R – радиус кривошипа;

λ = R L – постоянная КШМ (принимают в пределах от 1/5 до 1/2);

S – ход поршня;

Sϕ – текущее перемещение поршня от положения ВМТ;

ϕ– угол поворота кривошипа (колена вала – угол п.к.в.);

β– угол отклонения шатуна.

Чем меньше λ (то есть чем длиннее шатун), тем меньше боковое усилие, передаваемое поршнем на втулку цилиндра. Однако с увеличением длины шатуна L возрастают масса движущихся частей КШМ и высота двигателя.

Угол β считается положительным при отклонении шатуна от оси цилиндра в сторону вращения коленчатого вала и отрицательным – при отклонении шатуна

впротивоположную сторону.

10.2.Формула перемещения поршня (графическое представление, анализ). Способ Брикса для приближенного определения перемещения

поршня

Кинематические зависимости представим преимущественно в функции угла поворота коленчатого вала ϕ .

Если текущее перемещение поршня Sϕ выразить в виде функции углов ϕ и β в

′
треугольниках А ВС и OBС , то можно получить точную формулу (см. [4], с.291):
S	ϕ	= R	1 − cos ϕ +	1	(1 − cosβ) .	(10.1)
				λ

Формула (10.1) не вполне удобна, так как для ее применения необходимо наряду с углом п.к.в. ϕ предварительно определить угол отклонения шатуна β . Между тем эти углы некоторым образом связаны между собой. Поэтому в формуле (10.1) функцию угла β целесообразно выразить через функцию угла ϕ (см. [4], с.291–292 ). В результате получен один из наиболее распространенных вариантов приближенной формулы текущего перемещения поршня:

Sϕ	= R (1 − cos ϕ) + λ (1 − cos 2ϕ) .			(10.2)
		4			λ и
Погрешность определения Sϕ		по формуле (10.2) зависит от значения
составляет: ≈1%	при λ =1/3 и	≈0,1% при	λ =1/4 (по	сравнению с точной
формулой (10.1)).

Формула (10.2) представляет перемещение поршня как сумму двух гармонических перемещений первого и второго порядков:

Sϕ = SI + SII ,

где	SI = R (1 − cos ϕ)			–	функция	1-го	порядка; ее период составляет один	оборот
коленчатого вала;
SII	=	Rλ	(1 − cos 2ϕ)	–	функция	2-го	порядка; за один оборот коленчатого	вала ее
	4

изменение соответствует двум периодам.

90

На рис. 10.2 представлены графики
перемещения поршня Sϕ и его двух
составляющих SI	и SII .
Заметим,	что	при
гипотетическом		шатуне
бесконечной	длины	( L = ∞ )

	постоянная		КШМ	λ =		R	= 0 .
						∞		Рис. 10.2. Перемещение поршня
	Поэтому SII		= 0 . То есть в этом
	случае			перемещение
	определяется только гармоникой
	1-го порядка. Другими словами,
	наличие гармоники 2-го порядка
	вызвано	конечностью				длины
	шатуна. Поясним это рисунком
	10.3.
	На рисунке		штриховой		линией
	условно	показана шатунно-
	поршневая группа			деталей			при
	бесконечной длине шатуна. При
	этом для положения колена вала
	ϕ =90º	п.к.в.		перемещение
	поршня	Sϕ = R , то есть равно
	половине хода поршня				S		(или	Рис. 10.3. Влияние конечности длины шатуна на
	амплитуде		гармоники				1-го	перемещение поршня. Бицентровая диаграмма
	порядка).							Брикса

При конечной длине шатуна, изображенного сплошной линией, для того же положения ϕ =90º п.к.в. перемещение

составляет R + OO ,	где OO = Rλ			, то есть расстояние	OO равно двойной
1	1		2		1
амплитуде гармоники 2-го порядка (см. также рис. 10.2).
Таким образом, при повороте коленвала на угол
ϕ =90º п.к.в. от ВМТ поршень совершает более
половины своего хода на	OO = Rλ	2	(см. рис.
	1

10.2, 10.3а). Расстояние OO1 называют поправкой Брикса.

На рис. 10.3б представлена бицентровая диаграмма проф. Брикса, которая используется для графического определения перемещения поршня Sϕ при любом заданном угле ϕ .

Способ Брикса для приближенного определения

Рис. 10.4. К посторению диаграммы Брикса

Sϕ = f (ϕ) иллюстрирован рисунком 10.4. Суть

построения диаграммы Брикса состоит в том, что вращение кривошипа (колена) OB заменяют вращением радиуса O1B1 с центром в точке O1 . Для некоторого заданного угла

91

ϕ определяют точку C – проекцию точки B1 на вертикальный диаметр окружности.

Тогда отрезок DC представляет искомое текущее перемещение поршня Sϕ ,

соответствующее указанному углу ϕ .

При этом предполагается, что хорда BB1 перпендикулярна радиусу OB . Это

допущение вносит некоторую ошибку в результат построения, однако указанная погрешность тем меньше, чем меньше поправка Брикса, то есть чем меньше λ . В любом случае обсуждаемая погрешность обычно не имеет существенного значения при решении практических задач.

На рис. 10.5 показан пример построения Sϕ = f (ϕ) способом Брикса.

Рис. 10.5. Построение диаграммы перемещения поршня способом Брикса

Из точки O1 проведены лучи через каждые 30º. На правой части рисунка показано построение кривой перемещения поршня Sϕ в функции угла ϕ ,ºп.к.в.

Порядок построения пояснений не требует.

По формуле (10.2) перемещение поршня зависит от радиуса кривошипа R , определяемого размерами конкретного двигателя, то есть вычисляется в размерном виде. Для получения кинематических зависимостей общего вида, применимых к двигателям любых размеров, целесообразно определить перемещение в безразмерном виде. Для этого рассчитанное по формуле (10.2) перемещение Sϕ отнесем к радиусу кривошипа R :

s =	Sϕ	=	R	(1 - cos j) + l		(1 - cos 2j)	= (1 - cos j) + l (1 - cos 2j). (10.3)
	R R				4		4

10.3. Скорость и ускорение движения поршня, формулы и графики в функции угла п.к.в., экстремальные значения

СКОРОСТЬ ПОРШНЯ

Выражение для скорости поршня находят, дифференцируя по времени зависимость для перемещения поршня. В общем виде скорость, м/с

	V =	dSϕ	=	dSϕ	×	dj	=	dSϕ	× w,	(10.4)
		d t		dj		d t		dj

где τ – время, с; ω – угловая скорость движения коленчатого вала, с-1, причем

92

ω =	dϕ	=	2πn	= πn ,	(10.5)
	d τ
		60 30

где n – частота вращения коленчатого вала, мин–1 .

Учтем (10.4) и после дифференцирования зависимости (10.2) получим выражение для размерной скорости поршня, м/с:

	λ		(10.6)
V = Rω sin ϕ +	2	sin 2ϕ .

Видим, что при конечной длине шатуна ( l ¹ 0 ) функцию (10.6) также как зависимость (10.2) можно представить в виде суммы двух гармоник:

V = VI + VII

где	VI = Rω(sin ϕ)		–	гармоника 1-го порядка;	ее период составляет один оборот
коленчатого вала;
II			–	гармоника 2-го порядка;	за один оборот коленчатого вала ее
V	= Rω λ sin 2ϕ
	2

изменение соответствует двум периодам.

Графически скорость поршня показана на рис. 10.6.

На рисунке функция V = f (ϕ)

изображена штриховой линией, а гармоники 1-го и 2-го порядков – сплошной линией.

Заметим, что максимум скорости достигается при некотором угле п.к.в.

ϕ<90º.

Винтервале ϕ от 0 до 180º

скорость положительна, а в интервале ϕ от 180 до 360º Рис. 10.6. Скорость движения поршня скорость отрицательна.

	Безразмерная скорость		= sin ϕ + λ sin 2ϕ .
	v =	V		(10.7)
		Rω
			2
	Текущее значение размерной скорости (м/с) определяется по формуле
			V = vRw.	(10.8)

УСКОРЕНИЕ ПОРШНЯ

Ускорение поршня (м/c2) определим дифференцированием выражения (10.6) по времени:

J =

dV

=

dV

×

dϕ

=

dV

× w

(10.9)

d t

dj

d t

dj

d

λ

= Rω2 (cos ϕ + λ cos 2ϕ).

или

J = Rω2

sin ϕ +

sin 2ϕ

(10.10)

dϕ

2

93

Аналогично зависимостям (10.2) и (10.6) выражение ускорения (10.10) может быть

представлено в виде суммы двух гармоник:
J = J I + J II ,	(10.11)

J I = Rω2 cos ϕ – гармоника 1-го порядка; ее период составляет один оборот коленчатого

	вала;
	J II = Rω2λ cos 2ϕ –			гармоника 2-го		порядка; за один оборот коленчатого вала ее
	изменение соответствует двум периодам.
	Графически ускорение поршня показано на рис. 10.7.
	На рисунке функция			J = f (ϕ)
	изображена	штриховой			линией,
	а гармоники 1-го и 2-го
	порядков – сплошной линией.
	Видно,		что		кривая
	ускорения		симметрична
	относительно вертикальной
	оси,	проходящей			через
	ϕ =180ºп.к.в.
	При ϕ =0…		≈80ºп.к.в. и при
	ϕ ≈280… 360ºп.к.в.					Рис. 10.7. Ускорение движения поршня
	значения J		положительны,
	а	в		диапазоне
	ϕ ≈80…	≈280ºп.к.в. –			отрицательны.
	Значения углов ϕ ,				при которых J	получается экстремальным, находят, приравняв
	нулю производную по ϕ от правой части уравнения (10.10). Экстремумы имеют

место при ϕ =0º; ϕ =180 º и ϕ = arccos( 14λ).

Подставляя два первых значения ϕ в уравнение (10.10), найдем следующее: в положении ВМТ,

	то	есть	при	ϕ =0º		ускорение
	JВМТ = Rω2 (1 + λ) ; в положении НМТ, то есть
	при	ϕ =180º ускорение		JНМТ = −Rω2 (1 − λ).
	Третье экстремальное			значение	J	возможно
	только в том случае, когда 1				≤ 1,0 , то есть
	при l ³ 0, 25 .			4λ
	Характер кривых ускорения поршня					J в КШМ
	при	l =1/3; 1/4;	1/5 в	функции	перемещения
	поршня s представлена рис. 10.8. Штриховыми
	линиями показано направление касательных к
	кривым ускорения в НМТ.
Безразмерное ускорение

Рис. 10.8. Влияние λ на форму диаграммы ускорения поршня

j =	J	= cos ϕ + λ cos 2ϕ .	(10.12)
	Rω2

Рис. 10.10. Установление соотношения между ϕ и J при построении диаграммы ускорения поршня способом Толле

94

Текущее значение размерного ускорения (м/с2) определяется по формуле
J = jRω2 .	(10.13)

10.4. Графический способ Толле определения зависимости ускорения поршня от перемещения

Графическое построение кривой J = f ( s) показано на рис. 10.9.

На прямой линии отметим точки А

иВ, представляющие

соответственно		ВМТ	и	НМТ
поршня ( АВ –		ход поршня).
На перпендикулярах в точках				А и
В, восстановленных к отрезку АВ,
откладываем ускорение			поршня		в
ВМТ	JВМТ = Rω2 (1 + λ)			и	в
НМТ	JНМТ = −Rω2 (1 − λ) .					Рис. 10.9. Построение кривой ускорения поршня
Получаем точки С и D .						способом Толле
Прямая, соединяющая точки С и
D , пересекает АВ в точке E .
На перпендикуляре, восстановленном						к отрезку АВ в точке E , откладываем вниз
отрезок EF = 3λRω2 .
Отрезки CF и		FD делим на равное количество частей и точки деления нумеруем так,

как это указано на рисунке.

Соединим одноименные точки прямыми линиями 1–1'; 2–2' и т.д.

Проводим к полученному семейству прямых огибающую, которая и дает искомую зависимость J = f ( s ) .

Заметим, что способ Толе рекомендуется к использованию при λ до 0,26.

Для установления соответствия между углом поворота кривошипа ϕ и ускорения поршня J в случае, если последнее строится графически способом Толе, необходимо использовать построение Брикса.

В верхней части рис. 10.10 способом Толе построена кривая J = f ( s ) .

Под этой кривой строят бицентровую диаграмму Брикса и таким образом устанавливают соответствие между ϕ и J .

95

НЕКОТОРЫЕ ВЫВОДЫ

Анализ кинематики кривошипно-шатунного механизма показывает, что ускорение движения поршни (и других поступательно движущихся элементов механизма) можно рассматривать как функцию угла поворота коленчатого вала, состоящую из двух основных гармоник – гармоник первого и второго порядков. Как увидим далее, эти гармоники ускорения вызывают соответствующие силы инерции (первого и второго порядков) от поступательно движущихся масс. Действие указанных сил инерции вызывает неуравновешенность двигателя, которая проявляется в виде вибрации судового фундамента и корпуса судна в целом. Раздельное рассмотрение сил инерции первого и второго порядков необходимо, в частности, потому, что средства борьбы с их проявлениями несколько различаются.