ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Забайкальский институт железнодорожного транспорта

Кафедра «Электроснабжение»

К. В. Менакер

М. А. Павленко

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ

Методические указания по выполнению контрольной работы для студентов 3 курса заочной форм обучения специальности 190401.65 «Электроснабжение железных дорог»

Чита

2011

УДК 621.3

ББК 3-2

Рецензент:

доцент кафедры «Электроснабжение»

Забайкальского института железнодорожного транспорта,

канд.техн.наук.

Д. А. Яковлев

Менакер К.В.,(Павленко М. А.)

Математическое моделирование систем и процессов: методические указания по выполнению расчетно-графических работ № 1,2,3 и контрольной работы для студентов 2 курса очной и 3 курса заочной форм обучения специальности 190401.65 «Электроснабжение железных дорог» – Чита: ЗабИЖТ, 2011. – 27 с.

Менакер К.В., Павленко М.А., Математическое моделирование систем и процессов: Методические указания к расчетно-графическим работам № 1,2,3 и контрольной работе - Чита: ЗабИЖТ, 2011.

Настоящие указания являются учебным пособием для выполнения расчетно-графических работ № 1,2,3 и контрольной работы по курсу «Математическое моделирование систем и процессов» студентами специальности 190401.65 "Электроснабжение железных дорог".

Указания не ставят своей целью заменить учебники и конспекты и поэтому содержат минимальный объем теоретических сведений по вопросам, которые по мнению авторов наиболее трудны для понимания студентами.

Забайкальский институт железнодорожного

транспорта (ЗабИЖТ), 2011

Введение

Задачи моделирования систем и процессов многообразны. Моделирование делится на имитационное, математическое, физическое и статистическое.

При физическом моделировании модель воспроизводит изучаемый процесс (систему) с сохранением его физической природы. При математическом моделировании исследование различных явлений осуществляется при использовании математических зависимостей на каком-либо формальном языке.

При имитационном моделировании (стендовые испытания) имитируются условия различных реальных режимов работы системы и требуемые воздействия сигналов. При статистическом моделировании к условиям моделирования добавляются случайные изменения параметров системы, возмущения и шумы измерений физических величин.

Целью работ является описание процесса математическими моделями, с последующей проверкой их путем вычислительного эксперимента на ЭВМ.

Общие методические указания по выполнению расчетно-графических и контрольной работ

В расчетно-графических и контрольной работах студенты выполняют следующие задачи:

1. Составление регрессионной модели с использованием метода наименьших квадратов;

2. Проведите регрессионный анализ, используя режим работы "Регрессия" в MS Еxcel;

3. Посчитать и построить графически, меру ошибки регрессионной модели.

Исходные расчетные данные к задачам определяют по двум последним цифрам учебного шифра студента. При оформлении контрольной работы следует руководствоваться основными требованиями Единой системы конструкторской документации (ЕСКД). Студенты обязаны тщательно изучать все материалы этих методических указаний, соблюдать изложенные в них требования при выполнении и оформлении работы.

Все расчеты должны сопровождаться краткими пояснени­ями. Вначале записывается формула в общем виде (с бук­венными обозначениями), затем подставляется числовое зна­чение каждой величины в том же порядке и в той же форме записи, как и в общей формуле, и только после этого можно приводить готовый результат вычислений.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Создание уравнения регрессионной модели с использованием метода наименьших квадратов

Задание на расчетно-графическую работу:

Для проведения регрессионного анализа и прогнозирования необходимо:

1. определить численные коэффициенты функции регрессии методом наименьших квадратов;

2. оценить силу найденной регрессионной зависимости на основе коэффициента детерминации ;

3. сделать прогноз (при) или вывод о невозможности прогнозирования с помощью найденной регрессионной зависимости.

4. построить уравнение регрессии;

5. повторить все расчеты с помощью надстройки пакета анализа «Регрессия» программы MS Excel и сравните с результатами, полученными ранее;

6. С помощью вкладки «Мастера диаграмм» программы MS Excel построить график линейной регрессии;

7. Определить параметры пятой координаты.

Исходные данные для расчета:

Исходные данные в соответствии с двухзначным вариантом даны в таблице 1.

Таблица 1

Исходные данные

Координата	Последняя цифра учебного шифра
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Первая	1	8	2	9	5	13	15	17	9	55
Вторая	2	5	4	10	4	9	11	26	5	38
Третья	3	3	6	12	3	8	8	37	3	25
Четвертая	4	2	8	14	1	7	6	41	2	11
Пятая	2,4	3,9	5,0	12,2	2,7	6,5	10,5	15,0	2,6	41,0
Координата	Предпоследняя цифра учебного шифра
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Первая	10	2	15	7	4	3	50	7	15	9
Вторая	8	4	10	8	7	5	39	9	12	10
Третья	7	6	7	9	8	7	28	14	7	11
Четвертая	5	8	4	11	14	9	17	17	3	12
Пятая	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?

Методические указания по выполнению контрольной работы

Уравнение линейной парной регрессии выглядит следующим образом:

(1)

где - угловой коэффициент (коэффициент регрессии);

- переменная;

-константа.

При помощи этого уравнения переменная выражается через константуи угол наклона прямой (или угловой коэффициент), умноженный на значение переменной. Константутакже называют свободным членом, а угловой коэффициент - коэффициентом регрессии. Параметры уравнения могут быть определены с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ ВРУЧНУЮ

Метод наименьших квадратов (в справочных системах англоязычных программ - Least Squares Мethod, LS) является одним из основных методов определения параметров регрессионных уравнений, дающий наилучшие линейные несмещенные оценки. Именно он используется в программе MS Excel. Линейные – относится к характеру взаимосвязи переменных. Несмещенные значит, что ожидаемые значения коэффициентов регрессии должны быть истинными коэффициентами. То есть точки, построенные по исходным данным , должны лежать как можно ближе к точкам линии регрессии:

(2)

где – значение, вычисленное по уравнению регрессии;

–отклонение (ошибка, остаток);

–количество пар исходных данных.

На рисунке 1 представлен графический пример отклонения .

Рис. 1. Понятие отклонения для случая линейной регрессии

В регрессионном анализе предполагается, что математическое ожидание случайной величины равно нулю и ее дисперсия одинакова для всех наблюдаемых значений. Отсюда следует, что рассеяние данных возле линии регрессии должно быть одинаково при всех значениях параметра.

Проведя необходимые преобразования, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и_, которые находятся по следующим выражениям:

(3)

(4)

Направление связи между переменными определяется на основании знаков (отрицательный или положительный) коэффициента регрессии (коэффициента ).

Если знак при коэффициенте регрессии - положительный, связь зависимой переменной с независимой, будет положительной. В нашем случае знак коэффициента регрессии положительный, следовательно, связь также является положительной.

Если знак при коэффициенте регрессии - отрицательный, связь зависимой переменной с независимой, является отрицательной (обратной).

Для анализа общего качества уравнения регрессии используют обычно множественный коэффициент детерминации , называемый также квадратом коэффициента множественной корреляции.

Величина называемая также мерой определенности, характеризует качество полученной регрессионной прямой. Это качество выражается степенью соответствия между исходными данными и регрессионной моделью (расчетными данными). Мера определенности всегда находится в пределах интервала [0;1].

Если значение близко к единице, это означает, что построенная модель объясняет почти всю изменчивость соответствующих переменных. И наоборот, значение -квадрата, близкое к нулю, означает плохое качество построенной модели.

Коэффициент детерминации показывает, на сколько процентов (·100%) найденная функция регрессии описывает связь между исходными значениями факторовии определяется как:

(5)

где – объясненная вариация;

–общая вариация.

На рисунке 2 представлена графическая интерпретация коэффициента детерминации для случая линейной регрессии

Рис. 2. Графическая интерпретация коэффициента детерминации для случая линейной регрессии

Соответственно, величина ·100% показывает, сколько процентов вариации параметраобусловлены факторами, не включенными в регрессионную модель. При высокомзначении коэффициента детерминации можно делать прогноздля конкретного значения.

Множественный - коэффициент множественной корреляции - выражает степень зависимости независимых переменных и зависимой переменнойи равен квадратному корню из коэффициента детерминации, эта величина принимает значения в интервале от нуля до единицы.

Если функция регрессии определена, интерпретирована и обоснована, и оценка точности регрессионного анализа соответствует требованиям, можно считать, что построенная модель и прогнозные значения обладают достаточной надежностью.