Метрология В01 1400 руб

Задача 1 Оценка случайных погрешностей и обработка результатов многократных равноточных измерений

С помощью моста постоянного тока произведено 20 равноточных измерений сопротивления Ri резистора (табл. 1).

Таблица 1.1 Числовые значения для задачи 1

Измеренные значения		1
сопротивлений, Ом
Последняя цифра шифра

	R1	9,8
	R2	9,9
	R3	10,5
	R4	10,1
	R5	10,2
	R6	9,4
	R7	15,0
	R8	9,8
	R9	9,7
	R10	10,1
	R11	10,3
	R12	10,7
	R13	9,6
	R14	9,9
	R15	9,8
	R16	10
	R17	9,7
	R18	10,2
	R19	10,1
	R20	10,3
	Предпоследняя цифра	шифра 0
	Доверительная	0,90
	вероятность
	tn	1,83

1

Полагая, что в приведенном ряду отсутствуют систематические погрешности, а случайные погрешности распределены по нормальному закону, требуется определить:

1.Среднее арифметическое значение Rср (математическое ожидание, результат измерения).

2.Среднеквадратическое отклонение σ результата отдельного измерения в данном ряду.

3.При наличии грубой погрешности (промаха) исключить результат измерения с грубой погрешностью, пользуясь правилом «3σ», и повторить расчёты по п. 1 и 2 для нового значения числа измерений n1 = n – m , где n = 20 – количество измерений, m – количество промахов.

4.Среднеквадратическое отклонение S среднего арифметического.

5.Доверительный интервал R ( R = tn·S) при заданной доверительной вероятности P (табл. 1.1). Коэффициент Стьюдента tn взять из табл. 1.1 по заданной доверительной вероятности P и количеству n измерений. Доверительный интервал R округлить до двух значащих цифр.

6.Записать результат измерения в виде

R = Rcp ± R при P = ____ (значение P – из табл. 1.1).

7.Построить гистограмму распределения случайных погрешностей, взяв ширину интервалов 1 = 0,5σ, где σ – среднеквадратическое отклонение, определённое в п. 2.

8.Составить алгоритм (схему) обработки результатов измерения.

2

Решение

1. Заполним следующую таблицу.

Таблица 1.2

Копределению среднего арифметического

исреднеквадратического отклонения (n = 20)

№	Ri,	i = Ri – Rср,	Ri Rср 2 ,
измерения	Ом	Ом	Ом2
1	9.8	-0.455	0.207
2	9.9	-0.355	0.126
3	10.5	0.245	0.06
4	10.1	-0.155	0.024
5	10.2	-0.055	0.003
6	9.4	-0.855	0.731
7	15	4.745	22.515
8	9.8	-0.455	0.207
9	9.7	-0.555	0.308
10	10.1	-0.155	0.024
11	10.3	0.045	0.002
12	10.7	0.445	0.198
13	9.6	-0.655	0.429
14	9.9	-0.355	0.126
15	9.8	-0.455	0.207
16	10	-0.255	0.065
17	9.7	-0.555	0.308
18	10.2	-0.055	0.003
19	10.1	-0.155	0.024
20	10.3	0.045	0.002
Сумма	205.1	–	25.57

Среднее арифметическое значение Rср

Rср 1	Ri	205.1 10,255 Ом.
	n
n	i 1	20

Среднеквадратическое отклонение σ результата отдельного измерения в данном ряду

		n	Rср 2
		Ri			25.57	1,160 Ом.
		i 1
		n 1			20 1

3

2.Исключим результат 7-го измерения с грубой погрешностью (промахом), пользуясь правилом «3σ»: 7 R7 Rср 4,745 Ом 3 3,480 Ом.

3.Повторим расчёты по п. 1 (табл. 1.3) для нового значения числа измерений n1 = n – m = 20 – 1 =19.

Таблица 1.3

Копределению среднего арифметического

исреднеквадратического отклонения (n = 19)

№	Ri,	i = Ri – Rср,	Ri	Rср 2 ,
измерения	Ом	Ом		Ом2
1	9.8	-0.205		0.042
2	9.9	-0.105		0.011
3	10.5	0.495		0.245
4	10.1	0.095		0.009
5	10.2	0.195		0.038
6	9.4	-0.605		0.366
7	9.8	-0.205		0.042
8	9.7	-0.305		0.093
9	10.1	0.095		0.009
10	10.3	0.295		0.087
11	10.7	0.695		0.483
12	9.6	-0.405		0.164
13	9.9	-0.105		0.011
14	9.8	-0.205		0.042
15	10	-0.005		0
16	9.7	-0.305		0.093
17	10.2	0.195		0.038
18	10.1	0.095		0.009
19	10.3	-0.205		0.087
Сумма	190.1	–		1.869

Среднее арифметическое значение Rср
	Rср		1 Ri	190.1 10.005 Ом.
			n
			n i 1	19
Среднеквадратическое отклонение σ результата отдельного измерения в
данном ряду
		n
		Ri Rср 2				1.869
		i 1						0.322 Ом.
			n 1			19	1

4

4. Пользуясь правилом «3σ»:

Ri Rср 3 ,

заключаем, что исправленные наблюдения не имеют грубых погрешностей (промахов).

5. Среднеквадратическое отклонение среднего арифметического

	n		2
S	Ri	Rср					0,322
	i 1							0.0739 Ом.
	n n 1				n		19

6. Доверительный интервал при заданной доверительной вероятности

R tn S 1.83 0.0739 0.135 0.14 Ом,

где коэффициент Стьюдента tn = 1.83 взят из табл. 1.1 по заданной доверительной вероятности P = 0.90 и количеству n измерений. Доверительный интервал округлили до двух значащих цифр.

7. Результат измерения

R = 10.01 Ом ± 0.14 Ом, при P = 0.90.

8. Построим гистограмму распределения случайных погрешностей, взяв ширину интервалов 1 = 0,5σ, где σ – среднеквадратическое отклонение, определённое в п. 3.

5

			Таблица 1.4
Распределение случайной погрешности на интервалах
Интервал случайной	Средина интервала
погрешности	k, Ом	x	p(x)
( ; 3, 25 ]			0
( 3,25 ; 2,75 ]	3	–3	0.014
( 2,75 ; 2,25 ]	2,5	–2,5	0.054
( 2,25 ; 1,75 ]	2	–2	0.168
( 1,75 ; 1,25 ]	1,5	–1,5	0.402
( 1,25 ; 0,75 ]		–1	0.751
( 0,75 ; 0,25 ]	0,5	–0,5	1.092
( 0,25 ; 0,25 ]	0	0	1.238
(0,25 ;0,75 ]	0,5	0,5	1.092
(0,75 ;1,25 ]		1	0.751
(1, 25 ;1,75 ]	1,5	1,5	0.402
(1,75 ;2, 25 ]	2	2	0.168
(2,25 ;2,75 ]	2,5	2,5	0.054
(2,75 ;3,25 ]	3	3	0.014
(3,25 ; )			0

6

		p( )
		1.3
3		1.2		3
		1.1
		1
		0.9
		0.8
		0.7
		0.6
		0.5
		0.4
		0.3
		0.2
		0.1
1	0.5	0	0.5	1	, Ом
Рис. 1.1 Гистограмма и график распределения случайной погрешности

7

9. Составим схему алгоритма обработки результатов измерения (рис. 1.2).

Начало

Rср

1 Ri

n

n

i 1

n n m

n

Ri Rср 2

i 1

n 1

Нет

R R

3

i

ср

Да

S

n

R tn S

R Rср

R, при P ___

Конец

Рис. 1.2 Схема алгоритма обработки результатов измерения

8

Задача Вероятностные оценки погрешности результата измерений на основании ряда наблюдений

Проведено пять независимых наблюдений одного и того же напряжения U. Найдите результат измерения и доверительную вероятность того, что абсолютная погрешность измерения не превышает по модулю U. Систематической погрешностью можно пренебречь.

Исходные данные приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1 Числовые значения для задачи 2

Наименование	Единица		1
величины	измерения
Последняя цифра шифра
U1	мВ		2781
U2	мВ		2836
U3	мВ		2807
U4	мВ		2763
U5	мВ		2858
Предпоследняя цифра шифра 0
U	мВ		50

Полагая, что в приведенном ряду систематической погрешностью можно пренебречь, а случайные погрешности распределены по нормальному закону, в данной задаче требуется определить:

1.Среднее арифметическое значение Uср (математическое ожидание, результат измерения).

2.Среднеквадратическое отклонение σ результата отдельного измерения в данном ряду.

3.При наличии грубой погрешности (промаха) исключите результат измерения с грубой погрешностью, пользуясь правилом «3σ», и повторить расчёты по п. 1 и 2 для нового значения числа измерений n1 = n – m , где n = 5 – количество измерений, m – количество промахов.

4.Среднеквадратическое отклонение S среднего арифметического.

5.Доверительный интервал U ( U = tn·S) при заданной доверительной вероятности P (табл. 1.1). Коэффициент Стьюдента tn взять из табл. 1.1 по

9

заданной доверительной вероятности P и количеству n измерений. Доверительный интервал U округлить до двух значащих цифр.

6. Записать результат измерения в виде

U = Ucp ± U при P = ____ (значение P – из табл. 1.1).

7. Определить, не превышает ли абсолютная погрешность по модулю U.

Решение

Заполним следующую таблицу.

Таблица 1.2

Копределению среднего арифметического

исреднеквадратического отклонения (n = 20)

№	Ui,	i = Ui – Uср,	Ui Uср 2 ,
наблюдения	мВ	мВ	мВ2
1	2781	-28	784
2	2836	27	729
3	2807	-2	4
4	2763	-46	2116
5	2858	49	2401
Сумма	14045	–	6034

1. Среднее арифметическое значение

Uср 1	Ui	14045 2809 мВ.
	n
n	i 1	5

2. Среднеквадратическое отклонение σ результата отдельного измерения в данном ряду

		n	Uср 2
		Ui			6034		38.84 мВ.
		i 1
		n 1			5	1

3. Пользуясь правилом «3σ»:

Ui Uср 3 ,

заключаем, что наблюдения не имеют грубых погрешностей (промахов). 4. Среднеквадратическое отклонение среднего арифметического

	S			38.84	17.37 мВ.
		n		5

5. Доверительный интервал при заданной доверительной вероятности

10