13.3. Ряды Фурье и интегралы Фурье
Если на интервале [-,] функция f(t) удовлетворяет условию Дирихле: функция непрерывна с конечным числом экстремумов или имеет конечное число точек разрыва первого рода - то ряд Фурье этой функции сходится в точках непрерывности к самой функции f(t), а в точках разрыва первого рода - к полусумме левого и правого пределов функции f(t).
, где n=1,2,3,… ,
; ;.
Если функция f(t) периодична с периодом 2, удовлетворяет условию Дирихле, то ряд Фурье данной функции сходится к ней для любого t. То же самое относится и к случаям, если функция f(t) периодична с периодом T или 2l. Соответствующие формулы имеют вид:
,
где ;;.
,
где ;;.
Если функция f(t) четная, то ; если нечетнаяи ряд Фурье упрощается.
Если f(t) задана на полуинтервале, то ее можно разложить в ряд Фурье по косинусам или синусам, продлив функцию соответственно четным или нечетным образом на весь период.
Если рядом Фурье представлялась функция периодическая или заданная на периоде и удовлетворяющая условиям Дирихле на этом периоде, тоинтегралом Фурье представляется функция непериодическая, к которой предъявляются два условия:
должна быть кусочно-гладкая, т.е. должна быть на некотором интервале непрерывной и иметь непрерывную производную во всех точках этого интервала , за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых функция имеет разрыв 1 рода (это аналог условия Дирихле);
должна быть абсолютно интегрируема на всей числовой оси, т.е. должен быть сходящимся На электротехническом языке это означает одиночный импульс тока или напряжения, имеющий начало и конец.
Тогда функция представляется несколькими видами интеграла Фурье:
а)
где .
Здесь и- одна и та же функция с аргументамиx и t. В частных случаях может быть четной и нечетной.
Если - чётная, тои тогда
, где .
Иногда вводят функцию
тогда В этом случае функциюназываюткосинус- преобразованием Фурье.
Если - -нечетная, тои тогда
;
Если ввести функцию
- синус-преобразование Фурье,
то .
Второй вид интеграла Фурье :
.
с) Третий вид интеграла Фурье – в комплексной форме – здесь не рассматривается.
Представить функцию интегралом Фурье значит:
Вид а) - найти функцию иилиилии подставить в соответствующую формулу.
Вид b) - посчитать внутренний интеграли подставить в формулу.
Пример 13. Разложить функцию в ряд Фурье на интервале (-,).
Решение. Продолжим функцию периодическим образом с периодом 2 ( рис. 13.1. ).
-t
-
Рис. 13.1.
Функция нечетная, поэтому коэффициенты.
Ряд Фурье: .
Равенство справедливо всюду, кроме точек разрыва (на концах интервала), где ряд сходится к 0, т.к. сумма ряда равна :
. . Пример 14 . Разложить в ряд Фурье функцию на интервале (,).
Решение. Продолжим функцию периодическим образом с периодом 2π (рис.13.2.)
Рис. 13.2.
Функция четная, поэтому коэффициент.
Ряд Фурье: .
Пример 15. Разложить в ряд Фурье функцию .
Решение. Продолжим функцию периодическим способом с периодом 2π (рис. 13.3.)
Рис.13.3.
.
; k=0,1,2,…
Ряд Фурье:
Пример 16. Разложить функцию на интервале;в ряд косинусов.
Решение. Чтобы в разложении были только косинусы, необходимо иметь четную функцию, поэтому продолжим функцию на интервале;четным, периодическим образом ( рис. 13.4.) .
f(t)
t
0
Рис. 13.4.
Чтобы разложить ту же функцию на интервалев ряд синусов, нужно продолжить эту функцию нечетным, периодическим образом (рис.13.5.).
Рис. 13.5.
Еще раз обратим внимание на то, что указанные в примерах функции раскладываются в соответствующий ряд Фурье только в указанных интервалах. За пределами интервалов этого разложения нет.
Если интервалы заданы или, то разложение в ряд Фурье производят по приведенным выше формулам.
Пример 17. Найти косинус-преобразование Фурье и написать интеграл Фурье для функции: (рис.13.6).
Решение. Построим график функции (рис. 13.6.)
Рис.13.6.
Проверим функцию f(x) на абсолютную интегрируемость:
Несобственный интеграл существует и конечен, значит f(x) абсолютно интегрируема на всей числовой оси.
Найдем косинус-преобразование :
Интеграл Фурье для функции:
Задание 13.1. Исследовать на сходимость числовые ряды (для знакочередующихся рядов провести исследование на абсолютную и условную сходимость).
1.
-
а)
б)
в)
г)
д)
е)
2.
-
а)
б)
в)
г)
д)
е)
3.
-
а)
б)
в)
г)
д)
е)
4.
-
а)
б)
в)
г)
д)
е)
5.
-
а)
б)
в)
г)
д)
е)
6.
-
а)
б)
в)
г)
д)
е)
7.
-
а)
б)
в)
г)
д)
е)
8.
-
а)
б)
в)
г)
д)
е)
9.
-
а)
б)
в)
г)
д)
е)
10.
-
а)
б)
в)
г)
д)
е)
11.
-
а)
б)
в)
г)
д)
е)
12.
-
а)
б)
в)
г)
д)
е)
13.
-
а)
б)
в)
г)
д)
е)
14.
-
а)
б)
в)
г)
д)
е)
15.
-
а)
б)
в)
г)
д)
е)
16.
-
а)
б)
в)
г)
д)
е)
17.
-
а)
б)
в)
г)
д)
е)
18.
-
а)
б)
в)
г)
д)
е)
19.
-
а)
б)
в)
г)
д)
е)
20.
-
а)
б)
в)
г)
д)
е)
21.
-
а)
б)
в)
г)
д)
е)
22.
-
а)
б)
в)
г)
д)
е)
23.
-
а)
б)
в)
г)
д)
е)
24.
-
а)
б)
в)
г)
д)
е)
25.
-
а)
б)
в)
г)
д)
е)