- •Красноярск 2006
- •Предисловие
- •1. Неопределенный и определенный интегралы
- •1.1. Определение неопределенного интеграла. Методы интегрирования
- •Решение:
- •Применяя указанные формулы, получим
- •1.2.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
- •Понятие определенного интеграла
- •Свойства определенного интеграла
- •Формула Ньютона-Лейбница
- •Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то имеет место следующая формула:
- •Метод замены переменной в определенных интегралах
- •Метод интегрирования по частям в определенных интегралах
- •Вычисление площадей плоских фигур
- •Параметрические функции
- •Вычисление длины дуги плоской кривой
- •Вычисление площади поверхности вращения
- •Объем тела вращения
- •1.3 Несобственные интегралы
- •2.3 Задания на контрольную работу
- •3.1.Общая методология интегралов
- •3.2. Двойной интеграл
- •Правила вычисления двойного интеграла в полярной системе координат
- •3.3. Тройной интеграл
- •3. 4. Криволинейные интегралы
- •3.5. Поверхностные интегралы
- •7. Элементы теории поля
- •Понятие функции комплексного переменного
- •Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •Производная ФКП. Условия Коши-Римана
- •Интегрирование ФКП
- •Ряд Лорана
- •Особые точки
- •Вычеты
- •Преобразование Лапласа
- •4.2.Решение типовых примеров и задач
- •4.3.Задания на контрольную работу
- •5.1.1.Классификация линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка
- •5.1.2.Начальные и краевые условия
- •5.1.3.Уравнение колебаний струны
- •5.1.4.Уравнение теплопроводности
- •5.1.5.Уравнение Лапласа
- •5.2. Решение типовых примеров и задач
- •5.3. Задания на контрольную работу
- •10. Ряды
- •Задание 2. Найти область сходимости рядов:
- •Практикум по математике
- •4.1.Краткие сведения из теории
- •Комплексные числа
3. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля
3.1.Общая методология интегралов
Кратные (двойные, тройные), криволинейные и поверхностные интегралы, как и обыкновенный однократный (определённый) интеграл служат для вычисления различных величин. Всех их объединяет общий метод определения как пределов соответствующих интегральных сумм.
Суть метода:
•искомая величина разбивается произвольно на большое число малых элементов;
•определяется приближённое значение каждого элемента и путём суммирования всех элементов находится приближённое значение всей искомой величины в виде интегральной суммы;
•находится предел этой интегральной суммы, который и даёт точное значение искомой величины.
Для обыкновенного однократного (определённого) интеграла определение сводилось к нахождению предела интегральной суммы, распространяющейся на прямолинейный отрезок изменения одной переменной. В более сложных задачах вычисление какойлибо величины сводится к определению предела интегральной суммы, распространяющейся или на плоскую область изменения двух переменныхдвойной интеграл, или на пространственную область изменения трёх переменныхтройной интеграл, или вдоль дуги некоторой кривойкриволинейный интеграл, или по некоторой поверхностиповерхностный интеграл.
При дальнейшем изложении мы будем возвращаться к данному методу определения указанных интегралов в интересах выяснения их
54
геометрических или физических смыслов, т.е. выяснения величин, которых они вычисляют.
Из общего метода определения перечисленных интегралов как предела интегральной суммы следуют их общие свойства. Отметим самые основные, необходимые для вычисления этих интегралов:
1.Интеграл от суммы равен сумме интегралов:
∫(U1 ±U 2)dp = ∫U1dp ± ∫U 2dp .
( P) ( P) ( P)
2.Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
∫ CUdp = C ∫Udp , (c = const).
( P) |
( P) |
3.Область интегрирования можно делить на части:
∫Udp = |
∫Udp + |
∫Udp +... + |
∫Udp , p = p1+p2+...+pn. |
( P) |
( p1) |
( p2) |
( pn) |
4.Интеграл от единицы равен мере области интегрирования:
∫dp = P .
( P)
Мера области интегрирования P есть мера длины, площади или объёма, в зависимости от того, рассматривается однократные (линейные, криволинейные), двойные (поверхностные) или тройные (объёмные) интегралы.
5.Если рассматриваемые переменные размерны, то
|
|
|
= [U ][P] . |
|
∫Udp |
||
( P) |
|
|
|
|
|
|
|
55