4. Элементы теории функции комплексного переменного. Операционное исчисление

4.1.Краткие сведения из теории

Комплексные числа
Комплексными числами называются числа вида
z = x +iy ,	(4.1)

где x и y – действительными числа, а i – мнимая единица, определяемая

равенством

i =

−1

или

i2 = −1.

Множество

комплексных

чисел

обозначают C.

Числа x и y называются соответственно действительной и мнимой

частями комплексного числа z и обозначаются: x = Re z,

y = Im z.

Два комплексных числа

z1 = x1 + iy1

и z2 = x2 + iy2

считаются равными

z1 = z2 , если равны их действительные и мнимые части: x1 = x2 ,

y1 = y2 .

Два комплексных числа

z = x +iy

и

z

= x −iy ,

отличающиеся только

знаком мнимой части, называются сопряжёнными.

При сложении и вычитании комплексных чисел складываются и

вычитаются их действительные и мнимые части:

z1 ± z2 = (x1 + iy1 ) ± (x2 + iy2 ) = (x1 ± x2 ) + i( y1 ± y2 ) .

Умножение комплексных чисел осуществляется по правилам:

z z

2

= (x + iy ) (x + iy

) = x x + x y i + x y

i + y y

i2 = (x x − y y

) + (x y

2

+ x y )i

1

1

1

2

2

1

2

2

1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

Здесь учтено, что i2 = −1.

Отметим, что произведение двух сопряженных комплексных чисел всегда есть действительное число: z z = (x + iy)(x −iy) = x2 + y2 .

Деление комплексных чисел производится следующим образом

179

z1		=	x1 + iy1		=	(x1 + iy1 )(x2 −iy2 )					=	x1x2 + y1 y2		+ i	x2 y1 − x1 y2		,
						(x + iy		)(x −iy		)
z	2		x + iy	2			2		2			x2	+ y2		x2	+ y2
			2			2		2			2		2	2		2

т.е. сначала числитель и знаменатель умножается на число, сопряжённое знаменателю, а после этого производятся алгебраические преобразования.

				Любое комплексное число (4.1) в декарто-
	y=Imz			вой системе координат можно изобразить в виде
				точки M(x,y) на плоскости. Такая плоскость на-
	M(x,y)
				зывается комплексной, ось Ox – действительной
	r			осью, ось Oy – мнимой осью (рис. 4.1).
	ϕ
				Соединив точку M(x,y) с началом коорди-
	x=Rez
				uuur
				нат, получим вектор OM . Длина этого вектора
	Рис. 4.1			называется модулем комплексного числа z и обо-
	значается |z| или r:			uuur
		z	= r =	x2 + y2 . Угол ϕ, образованный вектором OM с

осью Ox называется аргументом z и обозначается Argz: ϕ = Arg z = arctg							y	.
							x
Тогда комплексное число (4.1) можно представить в тригонометриче-
ской форме:
	z = r(cosϕ + i sinϕ) .					(4.2)
Использование тригонометрической формы комплексных чисел во
многих случаях значительно упрощает вычисления. Пусть
z1 = r1 (cosϕ1 + i sinϕ1 ) , z2 = r2 (cosϕ2 + i sinϕ2 ) .
Тогда
		z1z2 = r1r2 [cos(ϕ1 +ϕ2 ) + isin(ϕ1 +ϕ2 )],				(4.3)
	z1		=	r1	[cos(ϕ1 −ϕ2 ) + isin(ϕ1 −ϕ2 )].	(4.4)
	z	2		r
			2

zn = rn (cos nϕ + isin nϕ),

или

180