ния аналитической функции f (z) в любой точке z0, лежащей внутри области

D через ее значения на границе этой области.

	Ряд Лорана
Теорема. Любая	аналитическая функция f (z) в кольце
r <| z − z0 |< R, (0 ≤ r < R ≤ ∞)	может быть разложена в этом кольце в ряд:

y
r	R
	z0

					x
			Рис. 4.5
	+∞	1		f (ξ)
	f (z) = ∑ cn (z − z0 )n , где cn =				dξ , L – окружность с центром
				n+1
	n=−∞	2πi ∫L (ξ − z0 )

в точке z0 , лежащая в кольце (рис 4.3).

Данный ряд называется рядом Лорана. Ряд Лорана состоит из двух частей:

+∞	+∞						+∞	c−n
f (z) = ∑ cn (z − z0 )n = ∑cn (z − z0 )n + ∑										.
								(z − z0 )	n
n=−∞	n=0						n=1
	+∞
Первая часть	f1 (z) = ∑cn (z − z0 )n						называется правильной частью ряда
	n=0
Лорана. Этот ряд сходится к функции							f1(z) внутри круга | z − z0 |< R .
	+∞		c−n
Вторая часть	f2 (z) = ∑						называется главной частью ряда Ло-
			− z0 )		n
	n=1 (z
рана. Этот ряд сходится к функции				f2 (z) вне круга | z − z0 |> r .

187

+∞

Внутри кольца r <| z − z0 |< R ряд ∑ cn (z − z0 )n сходится к аналитиче-

n=−∞

ской функции f (z) = f1 (z) + f2 (z) .

Особые точки

Точка z0 , в которой функция не является аналитической, называется

особой.

В кольце 0 <| z − z0 |< R разложим функцию в ряд Лорана:

+∞	+∞	+∞	c−n
f (z) = ∑ cn (z − z0 )n = ∑cn (z − z0 )n + ∑					.
			(z − z0 )	n
n=−∞	n=0	n=
	1442443	14243
	правильная часть	главная часть

При этом возможны три случая:

1)Если ряд Лорана не содержит главной части, то точка z0 называ-

ется устранимой особой точкой;

2)Если главная часть ряда Лорана содержит конечное число слагаемых, то точка z0 называется полюсом;

3)Если главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число слагаемых, то точка z0 называется существенно особой точкой.

Способы определения типа особой точки:

1)Изолированная особая точка z0 является устранимой, если суще-

ствует конечный предел: lim f (z) = A.
	z→z0
2)	Изолированная особая точка z0 является полюсом, если :

lim f (z) = ∞. Если lim(z − z0 )m f (z) = A (≠ 0, ≠ ∞) , то z0 – полюс порядка m.
z→z0	z→z0

3)Изолированная особая точка z0 является существенно особой, ес-

ли в достаточно малой окрестности точки z0 функция становится неопреде-

ленной (аналитическая функция f (z) не имеет предела при z → z0 ни конеч-

ного, ни бесконечного).

188

Вычеты

Вычетом аналитической функции f (z) в изолированной особой точке z0 (обозначают Res f (z0 ) ) называется комплексное число, равное значению интеграла:

Res f (z0 ) = 21πi ∫L f (z)dz ,

где L – окружность с центром в точке z0 , целиком лежащая в облас-

ти аналитичности функции f (z) , обход производится в положительном направлении.

Если в формуле для коэффициентов ряда Лорана взять n = −1, то полу-

чим:

c−1 = 21πi ∫L f (z)dz или Res f (z0 ) = c−1 .

Теорема (Коши) (основная теорема о вычетах). Если функция f (z)

является аналитической в замкнутой области D , ограниченной контуром L, за исключением конечного числа особых точек zk (k =1, 2,K, n) , лежащих внутри области D, то

n

∫ f (z)dz = 2πi∑Res f (zk ) .

L

k =1

Вычисление вычетов

1)z0 – устранимая особая точка: Resf (z0 ) = 0 .

2)а) z0 – простой полюс (полюс порядка 1):

			Res f (z0 ) = c−1			= lim(z − z0 ) f (z)
						z→z0
Если	f (z) =		ϕ(z)	,	где	ϕ(z0 ) ≠ 0, g(z0 ) = 0, g′(z0 ) ≠ 0 ,	то
			g(z)
Res f (z0 ) =	ϕ(z0 )	.
	g′(z0 )

189

б)	z0	– полюс порядка m:
Res f (z0 ) =			1	lim	d m−1	((z − z0 )m f (z)).
					m−1
			(m −1)! z→z0		dz
3)	z0	– существенно особая точка: Res f (z0 ) = c−1 .

190