I. Самостоятельная работа студентов во внеаудитороное время

Задание 1.

Изучить теоретический материал занятия, используя рекомендуемую литературу, по следующей логической структуре учебного материала:

1. Статистические зависимости между случайными величинами.

2. Понятие генеральной и выборочной совокупности.

3. Корреляционная зависимость:

а) определение;

б) уравнение.

4. Коэффициент корреляции:

а) определение;

б) уравнение.

5. Анализ корреляционной зависимости по величине и знаку коэффициента корреляции.

6. Линейная регрессия:

а) определение;

б) уравнения;

в) графики.

7. Оценка тесноты связи случайных величин по корреляционному полю и графикам уравнения регрессии.

8. Понятие доверительной вероятности или уровня значимости.

Задание 2. Подготовить реферативные сообщения на темы, полученные у

преподавателя на предыдущем занятии.

Примечание: список тем реферативных докладов см. в

Приложении №1.

Учебная и методическая литература

1. Лобоцкая Н.Л. Высшая математика: Учеб. пособие для вузов / Н.Л.Лобоцкая, Ю.В.Морозов, А.Л.Дунаев. – М.: Высшая школа, 1987. – 235 с.

2. Ремизов А.Н. Медицинская и биологическая физика: Учебник для вузов / А.Н.Ремизов. – М.: Высшая школа, 1987. – 636 с.

3. Ремизов А.Н. Медицинская и биологическая физика: Учебник для вузов / А.Н.Ремизов. – М.: Высшая школа, 1996. – 606 с.

4. Быкадорова Г.В. Статистическая обработка медико – биологической информации: Метод. указания для студ. / Г.В.Быкадорова. – Воронеж: Изд-во ВГМИ, 1987. – 51 с.

5. Дмитриев Е.В. Элементы корреляционного анализа: метод. указания / Е.В.Дмитриев, А.В.Плетнев, Т.В.Шаева, В.В.Бельчинский. – Воронеж: ВГМА, 2009. – 25 с.: ил.

Теоретический материал по теме занятия

Математический аппарат используется для описания зависимо­стей между величинами, связанными не только функционально, но также и статистически.

Строгая функциональная зависимость реализуется редко, так как обе величины или одна из них подвержены еще действию случайных факторов, причем среди них могут быть и общие для обеих величин (под «общими» здесь подразумеваются такие факторы, которые воздействуют и на Y и на X). В этом случае возникает статистическая зависимость.

Под статистической зависимостью величины Y от величины X понимают такую зависимость, при которой каждому значению ве­личины X из множества ее возможных значений соответствует не­которое множество возможных значений величины Y, характери­зуемое определенным законом распределения. При этом измене­ние X приводит к изменению распределения величины Y , являю­щейся случайной при каждом фиксируемом значении X.

Например, если X – количество вводимого препарата, то его концентрация в крови Y в произвольный момент времени статистически зависит от величины X, так как определяется не только количеством введенного препарата, но и многими другими факторами (масса больного, скорость выведения вещества из организма, количество других веществ в крови и т. д.).

Известно, что закон распределения случайной величины ха­рактеризует ее наиболее полно, поэтому для полного описания ста­тистической связи между величинами следует указать связь между распределениями, что достаточно сложно.

Чаще ограничиваются рассмотрением частного случая стати­стических зависимостей, а именно, корреляционных зависимостей между величинами, когда изменение одной из величин (например, X) влечет изменение математического ожидания другой (Y).Другими словами, корреляционная зависимость заключается в том, что каждому значению случайной величины X соответствует несколько значений случайной величины Y, которые образуют некоторое распределение. В этом случае устанавливается связь между величиной X и средним значением величины Y.

Примерами корреляционных зависимостей являются рассмотренная выше статистическая зависимость между дозой лекарственного препарата и содержанием его в крови, зависимость между ростом человека и его массой и т. д.

Следует отметить, что если корреляционная зависимость явля­ется частным случаем статистической зависимости, то не всякая статистическая зависимость является корреляционной, так как при изменении одной величины (например, X) среднее значение другой (Y) может оставаться неизменным, но могут изменяться другие характеристики распределения величины Y, например, дисперсия.

Пусть в результате эксперимента получены случайные значения одновременно измеряемых величин X и Y. Выборка {x}n состоит из значений x1, x2, x3,…, xn, а выборка {y}n – из значений y1, y2, y3,…, yn. Если попарно нанести на плоскость точки, соответствующие {x}n и {y}n, то они займут определенную область, называемую корреляционным полем.

На рис. 1(а,б,в) показаны три возможных варианта корреляционных связей (корреляционные поля). Рис.1а и рис.1б соответствуют наиболее выраженной корреляционной связи между величинами X и Y, а на рис. 1в связь отсутствует совсем.

Количественным показателем связи между исследуемыми явлениями служит коэффициент корреляции r, который показывает величину силы связи и ее направленность.

Если имеется ряд значений {x}n и соответствующий ему ряд значений {y}n , то коэффициент корреляции определяется по формуле:

Когда число наблюдений мало, то коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

Вероятная ошибка коэффициента корреляции при больших выборках (n30) равна:

;

при малых выборках (n<30):

.

Коэффициент корреляции – величина безразмерная и может принимать значения по абсолютной величине 0r1.

Если r = 1, то связь практически функциональная;

если r = 0, то корреляционная связь между изучаемыми явлениями отсутствует;

если 0.7 < r 0.999 – сильная зависимость;

если 0.3 < r 0.7 – средняя зависимость;

если 0.0 < r 0.3 – слабая зависимость.

Положительный знак коэффициента корреляции соответствует прямой зависимости между случайными величинами, когда они одновременно либо возрастают, либо убывают (Рис.1а). Отрицательный знак коэффициента корреляции соответствует обратной связи, когда с увеличением одной величины другая убывает (Рис.1б).

Рис. 1а Рис. 1б

Рис. 1в

Примерами корреляционных связей с различной теснотой являются, например, связи между возрастом и годом обучения у учащихся средней школы и студентов. Ясно, что в школе эта связь более тесная, чем в институте, так как среди студентов одного и того же года обучения обычно наблюдается больший разброс в возрасте, чем у школьником.

Корреляционную зависимость Y от X можно описать с помощью уравнения вида:

M(Y)x = f(x),

где M(Y)x – математическое ожидание величины Y, соответствующее данному значению х; х – отдельные значения величины Х; f(x) – некоторая функция.

Выборочный коэффициент корреляции r вследствие случайности выборки является случайной величиной. Поэтому утверждение о том, что выборочный коэффициент корреляции характеризует всю генеральную совокупность, может быть сделано лишь с определенной доверительной вероятностью или уровнем значимости. Характеристики статистического распределения выборки применяются для оценки неизвестных параметров теоретического распределения вероятностей. Оценки чаще всего задаются математическими формулами, выбор которых определяется требованиями практики. При этом различают оценки точечные и интервальные. Точечная оценка, особенно при малой выборке, может значительно отличаться от истинных параметров генеральной совокупности. Поэтому при небольшом объеме выборки пользуются интервальными оценками. В этом случае указывается интервал (доверительный интервал или доверительные границы), в котором с определенной (доверительной) вероятностью р находится истинное значение исследуемой или измеряемой величины.

Кроме доверительной вероятности используют «противоположное» понятие – уровень значимости: β = 1 – р.

Статистические методы позволяют получить лишь те интервальные оценки, доверительная вероятность которых близка к единице. Наиболее часто доверительная вероятность равна 0.9; 0.95; 0.99; 0.999.

Критические значения коэффициента корреляции rp сведены в таблицу при заданных уровнях значимости 10%, 5%, 1%.

Если рассчитанный коэффициент корреляции по абсолютной величине больше критического значения коэффициента корреляции ), то предложение о связи между исследуемыми величинами считается верным, а если, то предположение о связи между исследуемыми величинами отвергается.

При расчете и анализе коэффициента корреляции необходимо учитывать следующее:

1. Предполагается, что связь между случайными величинами линейная.

2. Если зависимость между несколькими случайными величинами, то считается, что зависимость только между двумя исследуемыми, а другие не влияют.

3. Случайные величины подчиняются нормальному закону распределения.

Если на графике (рис. 2) отметить средние значения yk, соответствующие каждому значению xk, то получится график функциональной зависимости, приближенно отражающий связь между X и Y и являющийся линией уравнения регрессии.

Рис. 2

То есть, корреляционная связь заменяется функциональной. В общем случае регрессия – зависимость усредненного значения одной случайной величины от значений другой случайной величины.

В зависимости от вида уравнений регрессии и формы соответ- ствующих линий регрессии говорят о различной форме корреля- ционной зависимости между изучаемыми величинами — линейной, квадратичной и т. д.

Самый распространенный вид регрессии – линейная регрессия, когда линии регрессии имеют вид прямых.

Уравнение прямой регрессии Y на X имеет вид:

= ax + b.

Обратную корреляционную зависимость (если она существует) можно описать уравнением прямой регрессии X на Y:

= cy + d,

где a, b, c, d – параметры линейной регрессии.