біометрія метод

варіант (х) по класах (w) та їх частоти (f).

Варіаційні ряди можуть бути переривчастими (мають одну межу в класі (7, 8) (плодючість у свиней, несучість курей) та безперервними (мають дві межі в класі

(15-18)).

Методика виконання типового завдання

Послідовність розрахунків при складанні варіаційного ряду розглянемо на прикладі. Дано вибірку (табл.1).

1. Добовий надій молока у корів української чорно-рябої молочної породи, кг

13	9	16	19	21	22	25	28	12	14	16	19	21	23	26
15	16	19	21	24	27	14	17	20	21	24	17	20	18	20

1. Визначаємо об’єм вибірки: n=30.

2. Знаходимо ліміт (lim) вибірки: максимальне значення варіанти – х max та мінімальне - x min, тобто

lim = х max - x min

lim = 28-9=19.

3. Розраховуємо величину класового проміжку (k) за формулою:

k lim , i

де і – число класів Число класів обираємо залежно від об’єму вибірки і воно звичайно становить

при n:

30-60 варіант – 6-8 класів; 61-100 варіант – 7-10 класів; 101-200 варіант – 9-12 класів; 201-500 варіант – 12-17 класів.

Для даного прикладу обираємо 6 класів (оскільки n=30). Звідси, k=19 =3,17.

6

Одержану величину класового проміжку для зручності опрацювання заокруглюємо

(наприклад: 0,082 – до 0,1; 0,46 – до 0,5; 1,87 – до 2; 58,3 – до 60; 95,6 – до 100; 478,9

– до 500; 892,8 – до 1000).

Заокруглимо класовий проміжок до 3.

4.Встановлюємо межі першого класу. Початком першого класу може бути таке

число:

- близьке до мінімуму або дорівнює йому, але не більше мінімуму; - повинно бути цілим або круглим;

- бажано, щоб воно ділилося на величину класового проміжку без залишку.

В даному випадку це число 9, оскільки дорівнює мінімальному числу і не більше нього; є цілим; ділиться на величину класового проміжку, яке дорівнює 3, без залишку.

Закінчується перший клас числом, яке повинно бути на одиницю точності виміру ознаки менше від початку наступного класу.

В даному прикладі другий клас починається числом 12 (9+3), тому перший клас буде закінчуватись числом 11 (12-1).

5.Будуємо варіаційний ряд та записуємо класи (w). Максимум повинен увійти в

11

останній клас. Фактична кількість класів може на 1-2 відрізнятись від обраної в залежності від того, наскільки та в якому напрямку проведено заокруглення величини класового проміжку.

2. Варіаційний ряд добового надою молока

	№ п/п	Класи w	Рознесення		f	а	fa	f(a)2
1		9-11	◦		1	-3	-3	9
2		12-14	◦ ◦		4	-2	-8	16
			◦ ◦
3		15-17	◦	◦	6	-1	-6	6
			◦	◦
	4	18-20	◦	◦	7	0	0	0
			◦ ◦
5		21-23	◦	◦	6	1	6	6
			◦	◦
6		24-26	◦ ◦		4	2	8	16
			◦ ◦
7		27-29	◦		2	3	6	18
			◦
					∑f=n=30	-	∑fa=+3	∑f(a)2=71

Форма запису варіаційного ряду за даними добового надою молока у корів української чорно-рябої породи представлена у таблиці 1.

Максимальна варіанта 28 кг увійшла у останній клас (27-29). Фактична кількість класів відрізняється від розрахункової на один клас, оскільки заокруглено класовий проміжок.

6. Проводимо рознесення варіант по класах методом конверта.

Так, перша варіанта 13 входить у межі 2-го класу (12-14) – тут і ставиться крапка, друга варіанта 9 відноситься до 1-го класу (9-11), третя варіанта 16 до 3-го класу (15-17). Так розносимо усі 30 варіант по класах варіаційного ряду за формою конверта.

7.Визначаємо частоту варіант (f) для кожного класу. Для цього рознесення за методом конверта переводимо в цифри і записуємо частоти (f). Якщо рознесення варіант по класах зроблене правильно, то сума частот повинна дорівнювати об’єму вибірки (∑f=n).

Для даного прикладу рознесення варіант зроблено правильно, оскільки

∑f=n=30.

8.Знаходимо та виділяємо у варіаційному ряді модальний клас (клас із найбільшою кількістю частот), який при нормальному розподілі варіант знаходиться по середині варіаційного ряду або близько до нього.

В даному випадку модальним є 4-й клас (18-20), куди увійшли 7 варіант, його і виділяємо більш контрастними лініями.

9.Записуємо у варіаційний ряд значення а, яке показує, на скільки класових проміжків кожен клас віддалений від модального класу. Відхилення а для модального класу дорівнює 0, в бік min дорівнює –1, -2, -3, ..., а в бік max відповідно

1, 2, 3 ....

10.Для наступних розрахунків необхідних статистичних показників записуємо до варіаційного ряду значення fa, f(a)2 для кожного класу і одержуємо їх суму ∑fa, ∑f(a)2.

11.На основі складеного варіаційного ряду будуємо варіаційну криву.

12

Варіаційна крива - це графічне зображення варіаційного у вигляді лінійної кривої, ординати якої пропорційні частотам варіаційного ряду (рис.1).

Узалежності від характеру розподілу варіант варіаційні криві можуть бути: нормальні, біноміальні, асиметричні, пуасонівські, ексценсивні, плосковершинні, двовершинні, трансгресивні.

Мода (М0) – це варіанта, яка найчастіше зустрічається у варіаційному ряду. Клас, в якому знаходиться мода, називається модальним. У варіаційному ряду може бути кілька модальних класів.

Усиметричному варіаційному ряді X =М0

В даному прикладі побудована нормальна варіаційна крива для безперервного варіаційного ряду.

Для переривчастих варіаційних рядів графічне зображення зручніше давати у вигляді гістограми.

Гістограма – це графічне зображення у вигляді стовпчастої діаграми результатів спостереження варіювання якоїсь кількісної ознаки.

Для переривчастого ряду класи позначаємо: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, а не 7-9, 10-12 і т.д.

Контрольні запитання

1.Що вивчає біометрія, коли і де її застосовують?

2.Що таке ознака, які ознаки бувають? Що таке варіювання? Дайте визначення варіанти.

3.Поняття про вибіркову та генеральну сукупність. Які вибірки називають великими і малими?

4.Що таке варіаційний ряд і які його основні особливості?

5.Як розраховують величину класового проміжку?

6.Від чого залежить кількість класів у варіаційному ряді?

7.Який порядок визначення меж першого класу варіаційного ряду?

8.Який клас у варіаційному ряді називають модальним і чим він характеризується?

9.Що таке варіаційна крива і порядок її побудови.

10.В яких випадках будують варіаційну криву, в яких гістограму? Які бувають типи варіаційних кривих у залежності від характеру розподілу?

13

Лабораторна робота №2

Тема: “Розрахунок X , σ, Сv та Sx , Sσ , SСν для великих вибірок”.

Мета заняття: оволодіти методом і набути практичних навиків розрахунку середнього арифметичного ( X ), середнього квадратичного відхилення (σ), коефіцієнта варіації (Сv) та їх помилок (S).

Теоретичні положення

Середня величина – значення будь-якої ознаки, яка є найбільш поширеною характеристикою сукупності.

Середня арифметична (X ) – це показник середньої величини ознаки у відібраної групи особин, який характеризує середню варіацію цієї ознаки.

Для розрахунку середньої арифметичної для великої вибірки використовують дані варіаційного ряду. Обчислення проводять методом добутків за формулою:

X =А+b·k,

де X – середня арифметична;

А – умовна середня і вона дорівнює:

А=W1+		k		- для безперервного варіювання;
2
А=	W1 W2			- для переривчастого варіювання;
2

b – поправка до умовної середньої (b fa ) n

k – величина класового проміжку;

W1, W2 - значення першої і другої межі модального класу; f – частота;

а – відхилення класів від умовної середньої; n – об’єм вибірки.

Середня арифметична вказує лише на значення ознаки, яке є найхарактернішим для даної сукупності біологічних об’єктів і сама по собі не дає повного уявлення про її особливості і відмінності від інших груп.

Для будь-якої сукупності біологічних об’єктів характерною є наявність різноманітності між її членами за різними ознаками. Навіть при однакових середніх арифметичних двох або кількох вибірок у них можна встановити суттєві відмінності в характері варіювання. Найбільш поширеними показниками, які характеризують ступінь варіювання або мінливості ознак в сукупності є ліміт (lim), середнє квадратичне відхилення (σ) та коефіцієнт варіації (Сν).

Ліміт – це найбільш простий показник мінливості ознаки і характеризує мінімальне і максимальне значення досліджуваної ознаки у вибірковій сукупності.

lim = xmax - xmin

Середнє квадратичне відхилення (σ) – це основний найпоширеніший показник мінливості, який показує на скільки в середньому відхиляється кожна варіанта від середньої арифметичної даної вибірки. Середнє квадратичне відхилення – величина завжди позитивна, пойменована і виражається в тих же одиницях, в яких виміряна ознака.

За числовим значенням σ відносно X можна робити висновки про ступінь

14

мінливості ознаки. Чим більша σ, тим більша мінливість і навпаки.

У багаточисельній вибірковій сукупності при розрахунку середнього квадратичного відхилення користуються даними з таблиці варіаційного ряду, і розрахунок здійснюється за формулою:

k	f (a)2	b	2	,
	n

де k – величина класового проміжку; f – частоти;

a – відхилення класів від умовної середньої; n – об’єм вибірки;

b – поправка до умовної середньої (b fa ) n

∑ - знак суми.

Коефіцієнт варіації (Cv), як і середнє квадратичне відхилення, також характеризує ступінь мінливості ознак. Його використовують для порівняння ступеня варіювання різнойменних ознак однієї вибіркової сукупності або однойменних ознак різних вибіркових сукупностей.

Коефіцієнт варіації – це відношення середнього квадратичного відхилення до середньої арифметичної, виражене у відсотках.

Cv = 100%

X

Розрахунок Cv проводять за цією формулою незалежно від того велика вибірка чи мала.

В залежності від числового значення коефіцієнта варіації виділяють мінливість сильну (Cv≥ 15%), середню (Cv>5%< 15%) та слабку (Cv<5%).

Помилки середніх величин розраховують для того, щоб середні величини, одержані у вибірці, перенести для характеристики всієї генеральної сукупності, а також для оцінки достовірності розрахованих статистичних показників вибірки.

Характеристика генеральної сукупності на основі вибірки, складеної за принципом випадковості, буде завжди неточною, тому що ціле характеризується на основі даних його частини. Помилки, які виникають при цьому, називають

помилками репрезентативності.

Якщо дослідженням охоплено всю сукупність, то помилки репрезентативності не розраховують.

Помилки записують через знак “±” поряд з тим біометричним показником, для якого вони розраховані ( X ±Sx ; Cv±SCv ; σ±Sσ).

Статистичні помилки для біометричних показників розраховують за формулами:

- для середньої арифметичної

S

;

x

n

- для середнього квадратичного відхилення

S

;

Cv

2n

- для коефіцієнту варіації

SCv

.

2n

15

Методика виконання типового завдання

Для розрахунку біометричних показників використовуємо дані завдання №1 (див. лаб. роб. №1).

1.Розраховуємо середню арифметичну. Для цього спочатку обчислюємо поправку до умовної середньої та умовну середню:

b

fa

b = 3/30=0,1.

n

А=W1+

k

A =18 + 3/2= 18 + 1,5 =19,5

2

=А+b·k

= 19,5 + 0,1 х 3 = 19,8 кг

X

X

2. Середнє квадратичне відхилення становить:

f (a)2

2

k

b

σ =3 (71:30 0,01) =3∙1,53=4,6 кг

n

3.Коефіцієнт варіації:

Cv =

100%

Cv =(4,6:19,8)100=0,23∙100=23,2% - мінливість ознаки “надій”

X

сильна.

4.Статистичні помилки для розрахованих біометричних показників становлять:

Sx =4,6:5,5=0,84 кг

Sσ=4,6:7,75=0,59 кг

SCv=23,2:7,75=2,99%

5. Зведені дані за цим прикладом:

X ±Sx =19,8±0,84 кг;

σ±Sσ =4,6±0,59 кг; Cv±SCv = 23,2±2,99%.

Контрольні запитання

1.Що означає середня арифметична і в яких одиницях вона виражається? 2.Охарактеризуйте основні біометричні показники, які вказують на ступінь мінливості ознак у вибірковій сукупності?

3.В яких випадках характеристики ступеня мінливості ознак застосовують σ, а в яких Сv ?

4.В яких одиницях визначається коефіцієнт мінливості, середнє квадратичне відхилення?

5. З якою метою розраховують помилки статистичних величин?

16

Лабораторна робота №3

Тема: “Розрахунок X , σ, Сv та SX , Sσ , SСν для малих вибірок”

Мета заняття: вивчити мінливості кількісних показників ознак методом варіаційної статистики для малих вибірок; оволодіти методом і набути практичних навиків розрахунку середнього арифметичного, середнього квадратичного відхилення, коефіцієнта варіації та їх помилок.

Теоретичні положення

При роботі з малочисельною вибіркою для розрахунку статистичних величин варіаційний ряд не складається. Середнє арифметичне розраховують методом сум, тобто одержують суму всіх варіант і ділять її на їх кількість.

X x1 x2 x3 ...xn x , n n

де, х1, х2, х3, хn – значення окремих варіант; n – кількість варіант.

Середнє квадратичне відхилення (σ) при малому числі спостережень розраховуються за формулою:

	(X X)2
	,
	n 1

де Х-Х – відхилення варіант від середньої арифметичної; ∑ (Х-X )2 – сума квадратів відхилень.

Розраховані значення σ показують, на скільки в середньому кожна варіанта вибірки відхиляється від середньої арифметичної.

Коефіцієнт варіації (Cv) незалежно від об’єму вибірки розраховується за формулою:

Cv = 100%.

X

Помилку середньої арифметичної для малої вибірки розраховують за

формулою:

Sx

.

n 1

Розрахунок помилок середнього квадратичного відхилення та коефіцієнта

варіації аналогічний великій вибірці:

Cv

S

,

SCv

.

2n

2n

Методика виконання типового завдання:

Приклад. Схрещування корів чорно-рябої породи із голштинською привело до підвищення молочної продуктивності помісних тварин. При цьому добовий надій у п’яти корів дослідної групи (помісі) становив: 21, 22, 26, 24, 21 кг. У контрольній групі (чистопорідні) відповідно – 18, 23, 16, 19, 20 кг.

Необхідно встановити:

1.Значення біометричних показників X , , Сv, їх помилок (S).

2.В якій групі корів була вищою мінливість ознаки (надою)?

3.За якими статистичними показниками зроблено цей висновок?

17

Розв’язання:

1.Визначити об’єм вибірок (n), тобто кількість варіант, що їх складають. У кожній групі n1=5, n2=5.

2.Знайти ліміти вибірок:

Х1max=26 кг; X1min=21 кг; lim1= 26-21=5 кг; Х2max=23 кг; X2min=16 кг; lim2= 23-16=7 кг.

Розмах варіювання надоїв більший у корів контрольної групи. 3. Розрахувати середні арифметичні груп:

- контрольна група -				X1				96		19кг
		X1			X1
				n			5
- дослідна група -				X2					114		23кг
	X2				X2
				n			5

Добові надої корів дослідної групи були на 4 кг вищими, ніж у контрольній.

4. Розрахувати середнє квадратичне відхилення (σ) для контрольної та дослідної груп.

а) контрольна група

Номер тварини								Х				Х-			X				(Х-		X		)2
1						18						-1							1
2						23						4							16
3						16						-3							9
4						19						0							0
5						20						-1							1
	n=5						ΣX=96					-							Σ(Х-			)2=27
																				X
							(X		)2
								X
		2											27						σ2=2,6 кг.
							n 1				2
б) дослідна група												4
Номер тварини								Х				Х-			X				(Х-		X		)2
1						21						-2							4
2						22						-1							1
3						26						3							9
4						24						1							1
5						21						-2							4
	n=5						ΣX=114					-							Σ(Х-			)2=19
																				X

1		(X X)2	1	19		σ1=2,2 кг;
		n 1		4

Більш висока мінливість добових надоїв була у корів контрольної групи, оскільки σ2>σ1, але остаточний висновок про ступінь мінливості зробити не можна, тому що середні арифметичні груп різні.

5. Коефіцієнт варіації (Сv):

	Cv1 =			2		100%	Cv1=	2,6	100 13,7%.
								19
			X 2
									18

	Cv2 =			1		100%	Cv2=	2,18	100 9,5%	;
								23
			X1

Числове значення коефіцієнта варіації показує, що ступінь мінливості ознаки середній, але в контрольній групі на 4,2% вищий, ніж у дослідній.

6. Помилки статистичних величин:

S

1

S

2,6

1,3кг;

X1

X1

n 1

5 1

S

1

S

2,6

0,82кг ;

1

2n

1

10

SCv1

Cv

SCv 1

13,7

4,33% ;

1

2n

10

S

2

S

2,2

1,1кг;

X2

X2

n 1

5 1

S

2

S

2,2

0,69кг;

2

2n

2

10

SCv 2

Cv2

SCv2

9,5

3,00%.

2n

10

7. Зведені дані за прикладом:

1±S

=23±1,1 кг;

2 ±S

=19±1,3 кг;

X

X

X1

X2

σ1±Sσ1 =2,2±0,69 кг;

σ2±Sσ2 =2,6±0,82 кг;

Cv1 ±SCv1 = 9,5±3,00%.

Cv2 ±SCv2 = 13,7±4,33%.

Висновок 1. Більш висока мінливість добових надоїв спостерігалась у корів контрольної групи. Цей висновок зроблено на основі таких статистичних показників:

Показники	Дослідна	Контрольна
lim	5 кг	7 кг
σ	2,2 кг	2,6 кг
Cv	9,5%	13,7%

Основним статистичним показником, за яким порівнюють ступінь мінливості однойменних ознак різних груп, є коефіцієнт варіації, який у контрольній групі на 4,2% більший ніж у дослідній.

Контрольні питання:

1.За якою формулою визначають середню арифметичну для малих вибірок?

2.Як розраховують середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації для малих вибірок?

19

Лабораторна робота №4

Тема: “Значення та розрахунок критерію вірогідності різниці (td) та визначення

рівня імовірності (Р)”

Мета заняття: освоїти методику розрахунку достовірності одержаних статистичних величин, рівень їх вірогідності (td) та імовірність (Р) при проведенні наукових або науково-виробничих експериментів у зоотехнії.

Теоретичні положення

При проведенні наукових або науково-виробничих експериментів для визначення ефективності застосування біостимуляторів, мікроелементів, нових лікувальних препаратів, зоогігієнічних прийомів при утриманні тварин та в інших випадках завжди формують дві або декілька груп тварин, одна з яких є контрольною, а інші – дослідними. Середні дані показників, які одержують в експерименті, можуть відрізнятися між собою. Виникає необхідність методами варіаційної статистики довести, чи випадкова різниця між дослідною та контрольною групами, чи, може, це закономірне явище. Тобто, необхідно довести достовірність (вірогідність) різниці між одержаними середніми арифметичними.

Про вірогідність різниці між середніми арифметичними двох вибіркових сукупностей судять за їх значенням критерію вірогідності різниці (td), який розраховують за формулою:

td

X1

X2

, або td

d

Sd

2

2

S

X1

S

X2

де d – різниця між двома середніми арифметичними

X1

X2

Sd – помилка вибіркової різниці

S

2 S

2

X2

X1

Одержану величину критерію вірогідності різниці порівнюють із стандартним

значенням критерію Стьюдента (дод. 1). При цьому спочатку необхідно визначити

число ступенів свободи:	v=n1 + n2 – 2,
де n1 і n2 - об’єми порівнюваних вибірок.
Для однієї вибірки	достовірність одержаних величин визначають,

використовуючи помилки статистичних величин (SX , Sσ, SСν), шляхом розрахунку критерію вірогідності (t) за формулами:

-	для середньої арифметичної t			=		X			;
			x			S
							X
-	для середнього квадратичного відхилення tσ=										;
		Cv								S
-	для коефіцієнта варіації tCv=				.
		SCv

Число ступенів свободи в даному випадку визначають за формулою: v=n-1. Оцінюючи ступінь вірогідності різниці, розрізняють три рівні імовірності:

Р≥0,95; Р≥0,99; Р≥0,999. Їм відповідають мінімальні значення критерію вірогідності, які знаходять за таблицею Стьюдента в залежності від числа ступенів свободи.

Окремим рівням імовірності відповідають певні рівні вагомості. Рівню

20