біометрія метод

імовірності Р≥0,95 відповідає рівень вагомості Р≤0,05; Р≥0,99 відповідає Р≤0,01; Р≥0,999 - Р≤0,001. Наприклад, при рівні імовірності Р≥0,95 в 95 випадках із 100 буде підтверджуватись та ж закономірність статистичної величини у межах однієї і тієї ж генеральної сукупності. Цьому рівню імовірності відповідає рівень вагомості Р≤0,05, який за умов нормального розподілу означає, що у 5 випадках із 100 закономірність статистичної величини може не підтвердитись.

При Р≥0,999 значення критерію вірогідності необхідно підкреслити трьома лініями або ж позначення ***; при Р≥0,99 – двома лініями або **; при Р≥0,95 – однією лінією або *. Наприклад, td=3,35** (Р≥0,99).

Якщо значення критерію вірогідності для якогось показника є меншим від табличного, то таким показником користуватись не можна. Необхідно сформувати нову вибірку і зробити повторні розрахунки. Якщо значення критерію вірогідності знаходиться в межах табличного або більше нього, то основні показники розглянутої вибіркової сукупності достовірні і ними можна користуватись.

Методика виконання типового завдання

1. На прикладі завдання лабораторної роботи №1-2 встановити вірогідність одержаних величин добових надоїв молока у корів української чорно-рябої породи.

1) t

=

X

,

t

=

19,8

23,6;

2) tσ=

,

tσ=

4,6

7,7;

x

S

x

0,84

S

0,6

X

3) tCv=

Cv

,

tCv=

23

7,7;

4) v=n-1=30-1=29.

SCv

2,97

Тобто, критерій вірогідності для всіх розрахованих статистичних показників надою корів вищий від значення критерію Стьюдента (tst=2,0; 2,8; 3,7). Це дає право стверджувати, що основні показники розглянутої вибіркової сукупності достовірні з імовірністю Р=0,999 і ними можна користуватись.

2. На прикладі завдання лабораторної роботи №3 встановити чи вірогідна різниця добових надоїв між коровами дослідної та контрольної груп (td) та визначити рівень її імовірності (Р).

Критерій вірогідності різниці між добовими надоями корів дослідної та контрольної груп та рівень його імовірності становлять:

td		X1			X2				td		23	19		2,35*
		S		2	S		2				(1,09)	2 (1,3)2
			X1			X2

Число ступенів свободи v = n1+n2-2=5+5-2=8.

При v=8 стандартне значення критерію Стьюдента для трьох рівнів імовірності tst=2,3; 3,4; 5,0.

Порівнявши обчислене значення td (2,35) із стандартним, бачимо, що воно є близьким до 2,3і відповідає першому рівню імовірності Р=0,95.

Висновок. Встановлено, що добові надої у корів дослідної групи були на 4 кг вищими ніж у корів контрольної. Ця різниця є статистично вірогідною з імовірністю Р=0,95.

Отже, підвищення продуктивності у помісей чорно-рябої та голштинської порід є статистично підтвердженою.

Контрольні запитання

1. Для чого розраховують критерій вірогідності різниці між середніми

21

арифметичними двох вибіркових сукупностей і які висновки на підставі цього можна зробити?

2.Які ви знаєте рівні імовірності (Р) та відповідні їм мінімальні значення критерію вірогідності?

3.Як і для чого розраховують критерій вірогідності (t) вибіркових біометричних величин?

4.Як ви розумієте поняття “рівень імовірності” та “рівень вагомості”?

5.Як розрахувати помилку вибіркової різниці (Sd)?

Лабораторна робота №5

Тема: “Значення в селекції та розрахунок r, Sr, tr для великих вибірок”

Мета заняття: набути практичних навичок розрахунку коефіцієнта кореляції між ознаками для великих вибірок.

Теоретичні положення

При одночасному вивченні сукупності тварин за кількома ознаками часто спостерігається, що між ними існує взаємний зв’язок, наприклад між тілобудовою і напрямком продуктивності у сільськогосподарських тварин.

Взаємний зв’язок ознак при їх зміні називається кореляцією.

Зв’язок між ознаками може бути функціональним (постійним) та кореляційним (мінливим). Він може бути різним за формою (прямолінійний та криволінійний), за напрямком (прямий та зворотній) та силою (сильний, середній, слабкий).

Функціональний (постійний) зв’язок характерний для фізичних, хімічних явищ, математичних закономірностей, де зміна однієї ознаки на якусь величину спричиняє чітко обумовлену зміну іншої величини (зв’язок між радіусом і площею кола).

Кореляційний (мінливий) зв’язок характерний для об’єктів живої природи та процесів, що в ній відбуваються, і характеризується непостійністю (мінливістю). Кожна ознака має свій ступінь мінливості, тому що по-різному реагує на вплив факторів зовнішнього середовища. Кореляційний зв’язок проявляється, наприклад, при віковій зміні ваги тіла: у одних тварин збільшується більш інтенсивно, у інших дуже повільно.

Прямолінійний – коли напрямок зв’язку не змінюється протягом усього періоду спостереження або життя тварин. Так, із збільшенням висоти тварин у холці, збільшується і їх жива маса, і ця закономірність спостерігається протягом життя тварин.

Криволінійний – коли напрямок зв’язку між ознаками періодично змінюється. Наприклад, зв’язок між віком корів та надоєм молока: надій з першої по 5-6 лактацію зростає, а потім з віком поступово знижується.

Прямий (позитивний) – обидві ознаки безперервно змінюються в одному напрямку (збільшуються або зменшуються). Показники зв’язку при цьому завжди будуть зі знаком “плюс”. Наприклад, зменшення поживності раціону викликає зниження продуктивності тварин, із збільшенням висоти тварини збільшується і жива маса.

22

Зворотний (від’ємний) – якщо ознаки змінюються в різних напрямках (із збільшенням показників однієї ознаки показники другої зменшуються і навпаки) тут показники зв’язку будуть завжди із знаком “мінус”. Наприклад, з віком середньодобові прирости знижуються, із збільшенням надою молока вміст жиру часто зменшується.

Про форму, напрямок та силу зв’язку судять за значенням величини та знаку коефіцієнта кореляції (r), який може коливатись в межах від 0 до ± 1.

В залежності від сили зв’язку між ознаками він поділяється на слабкий,

середній або задовільний, сильний або тісний. Зв’язок між ознаками вважається сильним або тісним, коли коефіцієнт кореляції досягає значення 0,75 і вище, середнім або задовільним - від 0,25 до 0,75; слабким - 0,25 і нижче. Коефіцієнт кореляції, близький до нуля або дорівнює йому, свідчить про відсутність зв’язку між ознаками, які досліджуються.

Найоб’єктивніше дані про зв’язок між ознаками коефіцієнт кореляції показує тоді, коли йдеться про прямолінійну або близьку до неї форму зв’язку. Для визначення криволінійного зв’язку користуються кореляційним відношенням η.

Методика виконання типового завдання

При роботі з великою вибіркою для розрахунку коефіцієнта фенотипової кореляції будують кореляційні гратки, які є не що інше, як два варіаційні ряди за ознаками х та у, розташовані перпендикулярно один до одного.

Техніку розрахунку коефіцієнта кореляції розглянемо на прикладі живої маси та висоти в холці свиноматок української степової білої породи, записаних в перший том ДПК за даними такої вибіркової сукупності (табл.1).

1. Вибіркова сукупність для розрахунку (Х – жива маса, кг; У – висота в холці, см)

Х	У	Х	У	Х	У
210	78	208	77	180	76
248	81	206	91	273	86
251	85	237	80	260	86
233	79	192	70	318	82
229	80	234	80	199	77
190	75	285	85	249	80
187	75	245	80	246	81
228	80	230	76	186	75
265	82	213	73	230	79
210	79	225	72	279	85

Розраховуючи коефіцієнт кореляції дотримуються такої послідовності проведення окремих операцій.

1. Визначити об’єм вибірки або кількість пар ознак: n=30. 2. Знайти:

а) ліміти живої маси: xmin=180 кг; xmax=318 кг; б) ліміти висоти в холці: уmin=70 см; уmax=91 см;

в) класовий проміжок за живою масою: kx=318 180 138 23кг( 25);

6 6

23

за висотою в холці ky=91 70 21 3,5см( 4);

6 6

3. Визначаємо за кожною ознакою кількість класів і встановлюємо їх межі, користуючись порядком складання варіаційного ряду. Креслимо форму кореляційної гратки і записуємо класи (табл.2). Кількість класів за ознаками може відрізнятися між собою на 1-2, що залежить від лімітів мінливості та взятої величини класового проміжку.

4. Методом конверта проводимо рознесення пар ознак по комірках кореляційних граток. Перша пара ознак (210-78) потрапляє в комірку на перетині класу 205-229 за живою масою і 78-81 за висотою в холці, де і ставиться крапка. Друга пара ознак (248-81) – відповідно на перетині класів 230-254 і 78-81.

2. Форма кореляційної гратки з рознесенням пар та допоміжними розрахунковими даними

	Х/У	70-73	74-77	78-81	82-85	86-89	90-93	fx	ax	fxax	fx(ax)2
180-204		14 I	52			II		6	-2	-12	24
205-229		22	11	4			1-3	8	-1	-8	8
	230-254		1	8	1			10	0	0	0
	255-279				21	22		4	1	4	4
280-304		III			12	IV		1	2	2	4
305-329					13			1	3	3	9
	fy	3	7	12	5	2	1	Σf=30	-	-11	49
	ay	-2	-1	0	1	2	3	-	-	-	-
	fyay	-6	-7	0	5	4	3	-1	-	-	-
	fy(ay)2	12	7	0	5	8	9	41	-	-	-

Таким методом проводиться рознесення всіх 30 пар ознак. Дані рознесення пар ознак методом “конверта” проставляють у лівій частині комірок кореляційної гратки зверху донизу. Потім розшифровують “конверти” і записують частоти цифрами в нижню частину правої сторони комірки. Визначення частот за Х та У ознаками (fx, fy) проводять спочатку для кожного класу. За живою масою для першого класу 180204 fx становитиме 1+5=6; для другого класу – 205-229 відповідно 2+1+4+1=8 і т.д. По висоті в холці для першого класу 70-73 fy становитиме 1+2=3, для другого класу

74-77 – 5+1+1=7.

Після цього підсумовують значення fx та fy у всіх класах. У даному прикладі як Σfx так і Σfy дорівнюють 30, що свідчить про те, що рознесення пар ознак по комірках кореляційної гратки здійснено без помилок, оскільки об’єм вибірки n=30.

5.Модальними класами складеної кореляційної гратки будуть: за живою масою (Х) 3-й клас з межами 230-254 кг, в який увійшло 10 варіант; за висотою в холці (У) 3-й клас з межами 78-81 см, частота варіації якого становить 12.

У відповідності з цим контурними лініями виділяємо модальні класи за Х та У ознаками і тим самим розбиваємо кореляційну гратку на квадранти: І, ІІ, ІІІ, ІV.

6.Записуємо значення відхилень від модальних класів (ах, аy), потім розраховуємо значення fxах, fyау, fx(ах)2, fy(ау)2 для кожного класу і знаходимо їх суми. У даному прикладі вони становлять: Σfxах=-11, Σfx(ах)2=49, Σfyау=-1, Σfy(ау)2=41. Ці суми будуть використані для розрахунку окремих елементів формули коефіцієнта кореляції.

7.Над кожною частотою в комірках кореляційної гратки записуємо значення

24

добутку відхилень від модальних класів ахау з урахуванням знаку. Так для частоти 1 комірки першого квадранта, яка знаходиться на перетині класів 180-204 і 70-73, ахау=(-2)∙(-2)=4. Для частоти комірки другого квадранта на перетині класів 205-229 і 90-93 ахау=(-1)∙3=-3. Для частот третього і четвертого квадранту розрахунок аналогічний.

8.У комірках кореляційної гратки з правої сторони внизу маємо значення частот (f), а над ними записаний добуток відхилень від модальних класів ахау. Перемноживши одне число на друге з урахуванням знака, одержимо величини fахау, які виписують окремо і підсумовують по кожному квадранту.

Значення fахау для окремих квадрантів:

І квадрант: 4+10+4+1=19; ІІ квадрант: 1∙(-3)=-3;

ІІІ квадрант: 0;

ІV квадрант: 2+4+2+3=11;

Σ f axay І, ІІ, ІІІ, ІV кв. = 19+(-3)+0+11=27.

Величина Σ f axay як елемент входить у формулу коефіцієнта кореляції.

9.Користуючись формулами, розраховуємо інші елементи формули коефіцієнта кореляції:

1) b

=

fx ax ;

bx

11

0,37;

2) b = fyay

;

b =

1

0,033;

x

n

30

y

n

y

30

fx (ax )2

3) σх=

bx

2

=

49

( 0,37)2

=1,22 кг;

30

n

fy (ay )2

4) σу=

by

2

=

41

( 0,033)2 =1,17 см.

n

30

10. Одержані значення підставляємо у формулу для розрахунку коефіцієнта

кореляції: r faxay bxby n ,	r	27 ( 0,37) ( 0,033) 30	0,62*** .
x y n		1,22 1,17 30

На основі проведених розрахунків можна зробити висновок, що зв’язок між живою масою свиноматок та висотою в холці позитивний, близький до тісного.

Помилка коефіцієнта кореляції становитиме:

Sr		1	r	2	Sr=	1	0,62	2	0,112.
			n		30

Розраховуємо критерії вірогідності обчисленого коефіцієнта кореляції:

tr	r			tr	0,62	5,54.
					0,112
	S	r
11. Число ступенів свободи становитиме:
v = n-2					v = 30-2 = 28.

За таблицею стандартного значення критерію t за Стьюдентом (дод.1) при 28 ступенях вільності, які входять у розряд 25-28, знаходимо і записуємо tst=2,1; 2,8; 3,7, які знаходяться в колонках, що відповідають рівням імовірності: Р=0,95; Р=0,99;

Р=0,999.

Порівнюючи розрахований tr з табличним, бачимо, що його значення більше від будь-якої табличної величини. Це означає, що коефіцієнт кореляції достовірний з

25

імовірністю Р≥0,999. Тобто, якби ми дане дослідження повторили 1000 разів, то в 999 випадках спостерігалась би ця ж закономірність (із збільшенням висоти в холці збільшується жива маса) і лише в одному випадку могли одержати дані якогось іншого характеру.

Оскільки коефіцієнт кореляції достовірний з імовірністю Р≥0,999, то це дає право підкреслити його трьома лініями або поставити над ним справа три зірочки.

Контрольні запитання

1.На що вказує коефіцієнт кореляції? Як ви розумієте функціональні та корелятивні типи зв’язку і для яких явищ вони характерні?

2.Які типи зв’язку між ознаками можуть бути за формою, за напрямом та за силою?

3.Яким показником виражається зв’язок між ознаками і в яких межах він може коливатись?

4.Що таке кореляційні гратки і як вони складаються?

5.За якою формулою і в якій послідовності розраховується коефіцієнт кореляції для великих вибірок?

6.Чим відрізняється σ варіаційного ряду від σ кореляційних граток?

7.За якою формулою визначають вірогідність коефіцієнта кореляції та його помилку?

Лабораторна робота №6

Тема: “Розрахунок r, Sr, tr для малих вибірок”

Мета заняття: освоїти методи розрахунку коефіцієнта фенотипової кореляції між кількісними ознаками при малих вибірках та набути практичних навиків використання показників кореляції в селекції тварин.

Теоретичні положення

На відмінну від великої вибірки при малому числі спостережень кореляційні гратки не складаються.

Запропоновано велику кількість формул для розрахунку коефіцієнта кореляції при n<30. У біологічних дослідженнях найчастіше використовуються такі формули:

	Cx	Cy Cd			xy		x y
r				(1) та r			n		(2),
	2 Cx Cy					Cx Cy

де Сх – сума квадратів центральних відхилень за ознакою х; Су – сума квадратів центральних відхилень за ознакою у; Сd – сума квадратів центральних відхилень для різниці х-у; n – об’єм вибірки.

Перша формула застосовується для роботи як з малозначними, так і з багатозначними варіантами. Друга формула, як правило, застосовується при роботі з вибірками, які складені тільки з малозначних варіант.

Сума квадратів центральних відхилень у випадку роботи із малозначними варіантами розраховується за такими формулами:

26

x

2

( x )2

y

2

( y )2

d

2

( d )2

Cx

;

Cy

;

Cd

n

n

n

Для багатозначних варіант сума квадратів центральних відхилень

розраховується за формулами:

x

2

( x)2

y

2

( y)2

Cd d

2

( d)2

Cx

;

Cy

;

n

n

n

Помилку коефіцієнта кореляції (Sr) в малочисельній вибірці розраховують за формулою:

Sr	1 r2	.
	n 2

Для розрахунку критерію вірогідності коефіцієнта кореляції використовується формула:

r tr Sr .

Методика виконання типового завдання

Приклад №1. Розрахувати величину зв’язку r, його помилку Sr, критерій достовірності tr між вмістом жиру (х) і білка (у) в молоці 10 корів джерсейської породи (табл.1).

1.Форма запису для розрахунку коефіцієнта кореляції між вмістом жиру і білка в молоці корів (малозначні варіанти), %

№ п/п	х	у	ху	х2	у2
1	4,5	3,6	16,2	20,25	12,96
2	4,0	3,2	12,8	16,00	10,24
3	4,6	3,5	16,1	21,16	12,25
4	5,0	3,6	18,0	25,00	12,96
5	4,0	3,3	13,2	16,00	10,89
6	4,1	3,3	13,53	16,81	10,89
7	4,5	3,5	15,75	20,25	12,25
8	4,8	3,6	17,28	23,04	12,96
9	4,9	3,7	18,13	24,01	13,69
10	5,2	3,8	19,76	27,04	14,44
	Σх=45,	Σу=35,1	Σху=160,75	Σх2=209,56	Σу2=123,53
	6

Об’єм вибірки становить 10 варіант. Після проведення необхідних математичних розрахунків одержуємо підсумковий ряд цифр у всіх стовпчиках, які використовуються для розрахунків окремих елементів формули коефіцієнта кореляції.

Сума квадратів центральних відхилень становить:

Cx	(45,6)				2			Cy	(35,1)			2
	209,56					1,62;			123,53				0,33.
	10								10
		xy x y								160,75					45,6 35,1
Звідси r						n			r=					10				0,951***.
				Cx Cy									1,62 0,33
									27

Аналогічне значення коефіцієнта кореляції можна одержати використавши

формулу: r Cx Cy Cd . При цьому необхідно додати до таблиці 1 колонки для

2Cx Cy

розрахунку значень: d=x-y і d2 для визначення Cd.

Розрахований коефіцієнт фенотипової кореляції (r=0,951) вказує на існування позитивного і тісного зв’язку між вмістом жиру і білка в молоці корів. Така кореляція між ознаками дозволяє проводити селекцію, тобто відбір корів по жирномолочності буде приводити і до підвищення вмісту білка в молоці.

Але остаточно судити про силу та напрямок зв’язку між ознаками можна лише тоді, коли підтверджена вірогідність (tr) розрахованого коефіцієнта кореляції, яка залежить від об’єму вибірки і величини його помилки (Sr).

Користуючись формулою розраховуємо помилку коефіцієнта кореляції (Sr):

Sr	1 r2	=	1 (0,951)2		0,1%.
	n 2			10 2

Визначаємо критерій вірогідності коефіцієнта кореляції (tr):

tr		r	=	0,951	9,51.
		Sr
			0,1

Знаходимо число ступенів свободи: v=n-2=10-2=8.

За таблицею Стьюдента при v=8 tst=2,3; 3,4; 5,0.

Порівнюючи розраховане значення tr із стандартним tst, робимо висновок, що розрахований коефіцієнт кореляції достовірний з імовірністю Р≥0,999.

Приклад №2. При розрахунку коефіцієнта кореляції для вибірок, складених із багатозначних варіант, відмінність лише у тому, що будують дещо іншу форму запису розрахунків і за іншими формулами розраховують суми квадратів центральних відхилень (Сх, Су, Сd).

2. Форма запису для розрахунку коефіцієнта кореляції для багатозначних варіант

№ п/п	х	у	d=x-y	d2	∆x=x-	∆y=y-	∆x2	∆y2
					Ax	Ay
Σ

При роботі із багатозначними варіантами необхідно взяти якусь умовну величину (Ах), близьку до середньої арифметичної. Наприклад, при X =84,35 за умовну середню може бути число 80, тобто Ах=80.

Коефіцієнт кореляції в даному випадку розраховується за формулою (1). Приклад №3. При кореляційному аналізі різнойменних ознак для багатозначних

варіант коефіцієнт кореляції можна розрахувати також користуючись формулою:

r

ax

ay

; (3)

x y n

де ах і ау – відхилення варіант від середньої арифметичної:

(ах=Хх- X х); (ау=Ху-X у);

n – об’єм вибірки;

σх і σу – середнє квадратичне відхилення, яке розраховується за формулою:

28

x		ax	2	y		ay	2
		n 1	;			n 1

Розрахувати r, Sr, tr між живою масою (х) та висотою в холці (у) свиноматок української степової білої породи, записаних в 1 том ДПК для такої вибіркової сукупності (табл.3).

Визначивши середні арифметичні за х та у ознаками, розраховуємо значення ах, ау, ах · ау, ах2, ау2 і заносимо в таблицю. Підсумкові дані стовпчиків ах2, ау2 використовуємо для розрахунку x та у .

x			ax	2					4585,8										22,57кг .
																	509,5
			n 1							10 1
			ay	2
y										48,9								2,32см.
																5,4
								10,1
			n 1
		Xx					2268				226,8 кг.
	Xx
			n					10

X у Xу 801 80,1см.

n10

3.Форма запису для розрахунку r між живою масою (х) та висотою в холці (у) свиноматок (3)

№ п/п	х		у						ах									ау										ахау					ах2	ау2
1	200	78						-26,8									-2,1									56,28							718,24	4,41
2	190	75						-36,8									-5,1									187,68							1354,24	26,01
3	230	82						3,2									1,9									6,08							10,24	3,61
4	210	79						-16,8									-1,1									18,48							282,24	1,21
5	225	81						-1,8									0,9									-1,62							3,24	0,81
6	235	80						8,2									-0,1									-0,82							67,24	0,01
7	242	83						15,2									2,9									44,08							231,24	8,41
8	222	80						-4,8									-0,1									0,48							23,04	0,01
9	251	82						24,2									1,9									45,98							585,64	3,61
10	263	81						36,2									0,9									32,58							1310,44	0,81
n=10
Σ	2268	801									0						0									389,2							4585,8	48,9
Одержані дані використовуємо для розрахунку r, Sr, tr
			r		ax ay										389,2											389,2				0,74*.
													22,57 2,32 10
			x			y 10																	523,6
			1 r2				1 0,742
	Sr															1 0,55									0,45								0,237.
																															0,056
			n 2					10 2							8								8
														r
								t	r									0,74				3,12.
														Sr
															0,237
При	10 2 8 tst становить: 2,31; 3,36; 5,04.

Порівнюючи tr, розраховане (3, 12) із стандартними значеннями, бачимо, що воно відповідає першому рівні імовірності (Р>0,95).

Висновок: зв’язок між живою масою та висотою в холці свиноматок позитивний і тісний. Коефіцієнт кореляції достовірний з імовірністю (Р>0,95).

29

Контрольні запитання

1.За якими формулами і в якій послідовності розраховується коефіцієнт кореляції для малих вибірок?

2.У чому особливість методики розрахунку коефіцієнта кореляції для малих та великих вибірок?

3.Яка характеристика сили і напрямку зв'язку між ознаками?

4.Як визначити критерій достовірності коефіцієнта кореляції?

Лабораторна робота №7

Тема: “Застосування в селекції та розрахунок коефіцієнта прямолінійної регресії

(R) для великих та малих вибірок”

Мета заняття: освоїти методику розрахунку коефіцієнта прямолінійної регресії та зробити висновок про використання його у селекції.

Теоретичні положення

Коефіцієнт прямолінійної регресії (R), який також належить до показників зв’язку, характеризує його динаміку та кількісно конкретизує взаємозв’язок між х та у ознаками. Він показує, на скільки в середньому змінюється одна ознака при зміні іншої, взаємопов’язаної з нею на одиницю виміру, і навпаки.

Знаючи коефіцієнт регресії однієї ознаки щодо іншої, взаємопов’язаної з нею, можна прогнозувати розвиток величини цієї ознаки, безпосередньо її не вивчаючи.

Наприклад, користуючись регресійним аналізом, можна визначити живу масу тварин (без зважування) за промірами висоти в холці або за обхватом грудей.

Коефіцієнт регресії в кожній конкретній вибірці має два значення: Rx/y та Ry/x і розраховується для великих вибірок за формулами:

Rx/ y	r	x		;	Ry / x	r	y		.
			y					x

При розрахунку R береться повна σ варіаційного ряду, тому сигму, одержану при розрахунку коефіцієнта кореляції необхідно помножити на величину класового проміжку:

σх=σх·kх;

При розрахунку коефіцієнта регресії формули:

		xy	x y
	Rx/ y					n
					( y)2
	2
		y
							n
	або R						axay
				x/ y			ay		2

σy=σy·kу.

для малої вибірки використовують

	xy			x		y
Ry / x						n
			2		( x)2
		x
						n
	R			axay			.
		y / x		ax		2

Коефіцієнт регресії має велике значення в генетичних і в селекційних дослідженнях. Найбільш широко його використовують для визначення коефіцієнта успадковуваності (h2) для кількісних ознак (наприклад, визначають регресію надою

30