Labaratorni_z_fiziki__vidpovidi_na_kontrolni

Лабораторна робота 1.7 Визначення прискорення вільного падіння за допомогою

математичного та фізичного маятників

Мета роботи. Освоїти методи визначення прискорення вільного падіння за допомогою фізичного та математичного маятників.

Прилади і матеріали. 1. Оборотний фізичний маятник. 2. Математичний маятник. 3. Лінійка. 4. Секундомір.

Теоретичні відомості

Фізичним маятником називають тверде тіло, яке може здійснювати коливання навколо нерухомої точки Î , яка не збігається з його центром мас С (рис. 2.7.1). При відхиленні

	маятника		від	положення
	рівноваги		на	кут	β під	O
	дією	складової			сили
						L
	земного				тяжіння
						β
	F = mg sin β				виникає
	обертальний				момент

	M = F L = mgL sin β . Він			C
	намагається		повернути
							′
	маятник	у	положення	R	β	O
	рівноваги.		Запишемо	F
	рівняння	руху	маятника,
	виходячи	з	основного	Рис. 2.7.1	m g
	рівняння		динаміки

обертального руху (вважаємо, що сили тертя відсутні):

L′

R

F ΙΙ

	I	d 2β	= −mgL sinβ ,	(2.7.1)
		dt 2

де I – момент інерції тіла відносно горизонтальної осі, що проходить через точку підвісу О. Знак мінус в лівій частині

61

(2.7.1) вказує на те, що момент сили M = mgl sin β прагне

повернути маятник у положення рівноваги, а кут відхилення відраховується у протилежному напрямі. У цій системі координат сила тяжіння відіграє роль квазіпружної сили. Оскільки на маятник не діють інші сили, крім квазіпружної, то його коливання можна вважати вільними або власними.

Поділимо рівняння (2.7.1) на I та візьмемо до уваги, що для малих кутів відхилення β ≈ 0.01÷ 0.015 рад. ( b » 5 ¸ 7o ) від положення рівноваги sinβ ≈ β , одержимо:

d 2b

+

mgL

b = 0

(2.7.2)

dt 2

I

Перевіримо розмірність множника, який знаходиться перед

β у рівнянні (2.7.2):

mg

кг

м

м

= с−2 = Гц2 ,

L

2

=

с

кг × м

2

I

і отримаємо, що розмірність цього виразу дорівнює розмірності квадрату частоти.

Оскільки m > 0 , g > 0 , L > 0 , I > 0 , то і mgL > 0 .

					I
	Очевидно, що можна ввести таке позначення:
		w02 =		mgL		(2.7.3)
				I
	Із рівнянь (2.7.2, 2.7.3) маємо:
		d 2b	+ w02b = 0 .			(2.7.4)
		dt 2

Ми одержали диференційне рівняння вільних коливань фізичного маятника. Його розв’язком буде гармонічна функція

b = b0 cos( w0t + j0 ) ,	(2.7.5)
62

де β0 – амплітудне значення кута відхилення, t – час, ϕ0 – початкова фаза коливань.

У рівнянні (2.7.5) величина ω0 повинна бути кратна 2π ,

тому що період функції cos x дорівнює 2π . Таким чином ω0 – циклічна частота власних коливань фізичного маятника.

ω0 = 2πν	(2.7.6)
Із рівняння (2.7.3) випливає

ω0 =					mgL		.			(2.7.7)
					I
Відповідно, власна частота та період коливань дорівнюють
	1
ν =					mgL			,		(2.7.8)
	2π				I
T = 2π					I		.			(2.7.9)
			mgL

Математичним маятником називають матеріальну точку, підвішену на невагомій і нерозтяжній нитці, що коливається у

вертикальній площині під дією					О
сили тяжіння		(рис. 2.7.2). До
					ϕ
математичного		маятника		за
своїми		фізичними
властивостями		найбільше
подібна	система,			що
складається	з нерозтяжної				l	N
легкої нитки довжиною l , до
одного кінця		якої підвішена
невеличка	металева		кулька
радіусом	R	( l >> R ),		а
другий	закріплений			у	x F
нерухомому	шарнірі.		Можна		Рис. 2.7.2	mg
					63

вважати, що центр маси такої системи збігається з центром мас кульки. Очевидно, що математичний маятник є частинним випадком фізичного.

Момент інерції маятника відносно точки підвісу O рівний

I = ml 2 .

(2.7.10)

Для математичного маятника при L = l із рівнянь (2.7.9) та

(2.7.10) маємо:

ml 2

I

l

T = 2π

= 2π

= 2π

.

(2.7.11)

mgL

mgl

g

З рівняння (2.7.11) випливає, що період коливань

математичного

маятника не залежить від

амплітуди

коливань

(для малих відхилень) і маси маятника, а

визначається лише

довжиною

маятника l та

прискоренням вільного падіння g .

Якщо визначити періоди коливань T1 ,

T2 для двох

математичних

маятників

з

l2

різними довжинами l1 та l2 (рис.2.7.3), то

згідно з рівнянням (2.7.11) маємо

1

T1 = 2π

l1

,

(2.7.12)

g

T2 = 2π

l2

.

(2.7.13)

g

h h2

Із рівнянь (2.7.12, 2.7.13) випливає

g =	4π 2 (l − l		2	)	=	4π 2		h
		1							.	(2.7.14)
	T 2	− T 2				T 2	− T 2
	1	2			1			2

Для математичного (довжиною підвісу L ) та фізичного маятників, періоди коливань яких однакові, з рівнянь (2.7.9, 2.7.11) маємо

h1

Рис.2.7.3

64

L =	I	(2.7.15)
	.

mL

За теоремою Штейнера

I = IC + mL2 ,

(2.7.16)

де IC – момент інерції маятника відносно осі, що проходить через

його центр мас і паралельна до осі, яка проходить через точку підвісу.

Із рівнянь (2.7.15, 2.7.16) маємо

	L = L + IC .			(2.7.17)
		mL
Величину L (рис.2.7.4)		називають зведеною		довжиною
фізичного	маятника. Легко	показати,	що зведена	довжина
Р1	В		Р2
			O'
	O	C
	L	L′	А

L Рис. 2.7.4

фізичного маятника більша ніж відстань від центру мас маятника C до точки його підвісу O : L > L .

Точку O′ (рис. 2.7.4), яка находиться на продовжені прямої OC на відстані L від точки підвісу, називають центром коливань фізичного маятника, або спрощено точкою коливань. Перевернемо маятник на 180о, так, щоб точка його підвісу проходила через точкуO′ , та знайдемо його зведену величину

L′ :
L′ = L′ +	IC	=	L − L +	IC	=
	mL′			m(L − L)
		65

= L +	IC	+		IC				= L +	IC	= L
					I
	mL					C			mL
			m L +				− L
					mL

Отже зведена довжина маятника залишилася без змін, тому також не зміниться i період коливань маятника T ′ = T .

Точка підвісу O фізичного маятника і його центр коливань

O′ є взаємними або спряженими. Ця властивість використовується в оборотних маятниках, які застосовуються для визначення прискорення вільного падіння.

Підставимо в рівняння (2.7.9) значення моменту інерції маятника згідно з рівнянням (2.7.11)

T = 2π			IC	+ mL 2				(2.7.18)
					.
				mgL
Якщо маятник оборотний, то
T = 2π			IC	+ m( L′ )2		.		(2.7.19)
				mgL′

Із рівнянь (2.7.19, 2.7.20) після нескладних перетворень маємо кінцеву формулу для розрахунку прискорення вільного падіння:

g =	4π2	( L + L′ )	=	4π2 L
						,	(2.7.20)
		T 2		T	2

де L – приведена довжина маятника, яка дорівнює відстані між точками підвісу оборотного маятника L = L + L′ (рис.2.7.4).

Порядок виконання роботи та обробка результатів експерименту

Завдання 1

Визначення прискорення вільного падіння за допомогою математичного маятника.

1. Записати координату h1 положення нижньої частини кульки маятника (рис. 2.7.3) в таблицю 2.7.1.

66

2. Відвести математичний маятник від положення рівноваги на кут 5-10о. Визначити час t1 повних n1= 20 -30 коливань маятника. Обчислити період коливань T1 . Результати занести у

таблицю 2.7.1.

3. Підняти кульку маятника вгору (намотуючи нитку підвісу маятника на барабан) на 50-70 см або опустити її вниз. Визначити положення h2 нижньої частини кульки. Визначити час t2 повних

n2= 20-30 коливань маятника. Обчислити період коливань T2 . Результати занести в таблицю 2.7.1.

4.За формулою (2.7.14) визначити прискорення вільного

падіння.

5.Дослід повторити 5-7 разів. Визначити середнє значення прискорення вільного падіння та оцінити його похибку.

Завдання 2

Визначення прискорення вільного падіння методом оборотного маятника.

1. Поставити оборотній маятник опорною призмою Р1 на опору (рис. 2.7.3). Відвести маятник від положення рівноваги на

кут β ≈ 5 ÷ 7o та відпустити його. Визначити час t1 повних n1= 20-30 коливань маятника. Обчислити період коливань T1 відносно точки підвісу O .

2. Перевернути маятник на 180о. Визначити час t2 повних n2= 20-30 коливань маятника. Обчислити період коливань T2

відносно точки підвісу O′ .

3. Якщо різниця	періодів коливань		T1 − T2		> 0.05 c ,	то
переміщуючи диск B маятника по його осі вгору або вниз,						не
змінюючи положення	диска A та опорних призм P , P ,
	1					2

домогтися її зменшення до 0,05 с.

67

4. Якщо періоди коливань співпадають з точністю до 0,01- 0,05 с, тобто T1 − T2 < 0.05 c , то провести 3-5 дослідів для

визначення періодів коливань маятника відносно опорних призм
P , P , відстань L між опорними призмами. Результати дослідів
1	2

внести у таблицю 2.7.2. За формулою (2.7.20) обчислити прискорення вільного падіння та оцінити його похибку.

5. Порівняти результати завдань 1 i 2 та провести їх аналіз.

Контрольні питання

1.Гармонічні коливання. Вільні коливання. Основні характеристики вільних коливань. Диференційне рівняння вільних коливань. Пружинний, крутильний, фізичний та математичний маятники. (с.59-60).

2.Визначення прискорення вільного падіння за допомогою математичного та фізичного маятників. Залежність прискорення вільного падіння від широти місцевості та висоти над поверхнею Землі. (с.59-60).

3.Енергія коливальної системи.

Таблиця 2.7.1

№ h1, м n1 t1, c T1, c h2, м n2 t2, c T2, c h, м g, м/с2 ε, %

								Таблиця 2.7.2
№	L, м	n1	t1, c	T1, c	n2	t2, c	T2, c	g, м/с2	ε, %

68

F = −kx

Лабораторна робота 1.8 Вивчення затухаючих коливань пружинного маятника

Мета роботи. Освоїти методи визначення основних характеристик затухаючих механічних коливань.

Прилади і матеріали. 1. Пружинний маятник. 2.

Лабораторна вага. 3. Важки. 4. Лінійка. 5. Секундомір.

Теоретичні відомості

Рухи тіл, які періодично повторюються в часі називають коливальними або коливаннями. Якщо коливання описуються законом синуса або косинуса, то їх називають гармонічними.

x = A0 cos(ω t + ϕ 0 )

(2.8.1)

де х – відстань коливальної точки від положення рівноваги, її називають зміщенням; А0 – максимальне зміщення коливальної точки від положення рівноваги або амплітуда коливань; ω t + ϕ 0 –

фаза коливань; ( ϕ0 – початкова фаза, ω – циклічна частота

гармонічних коливань.

Розглянемо горизонтальний рух матеріальної точки масою т під дією пружини, один кінець якої жорстко закріплено

(рис.2.8.1).
Масою пружини і				k			m
тертям нехтуємо.		У
положенні	рівноваги							x
тіла	пружина
недеформована.		При			Рис.2.8.1.
зміщенні	тіла	від

положення рівноваги на величину х на нього діятиме лише сила пружності, яка, за законом Гука, дорівнює

(2.8.2)

де k – коефіцієнт пружності пружини, x – абсолютне видовження пружини. Тіло буде виконувати вільні коливальні рухи, тому коливальну систему “ тіло – пружина” можна назвати пружинним маятником, а коливання – вільними.

69

Сила пружності направлена весь час проти прискорення тіла. Виведемо тіло з положення рівноваги та запишемо на основі другого закону Ньютона рівняння руху

m

d 2 x

= −kx , або

d 2 x

+

k

x = 0

(2.8.3)

dt 2

dt 2

m

Оскільки k > 0 i

m > 0 , то

k / m > 0 ,

що дозволяє ввести

нову змінну

ω02

=

k

(2.8.4)

m

Із (2.8.3) i (2.8.4) маємо

d 2 x

+ ω02 x = 0

(2.8.5)

dt 2

Фізичну систему, виведену із стану рівноваги i залишену без будь-якого зовнішнього втручання, в якій зміна одного із параметрів описується диференційним рівнянням (2.8.5) називають класичним гармонійним осцилятором, а коливальні рухи, які вона виконує – вільними коливаннями. Коливання є вільними або власними, якщо на тіло, що коливається, не діють інші сили, крім сили пружності. Щоб матеріальна точка здійснювала гармонічні коливання, не обов’язково на неї повинна діяти пружна сила. Досить, щоб при зміщенні тіла від положення рівноваги сила, яка діє на тіло, змінювалась за законом (2.8.2). Якщо сила за своєю природою не є пружною, але змінюється за законом (2.8.2), то її називають квазіпружною.

Диференційне рівняння (2.8.5) називають рівнянням вільних коливань. Його рішенням буде будь-яка функція часу, яка перетворює це рівняння у тотожність.

Легко впевнитися, що його розв’язком може бути одна з функцій:

x = A0 cos(ω0 t + ϕ0 ) ,	(2.8.6)
x = A0 sin(ω0 t + ϕ0 ) ,	(2.8.7)

де ω 0 – циклічна частота вільних коливань.

70