Лабораторная работа №5 и №6

Резонансные свойства rlc-цепей

1. Свободные и вынужденные колебания в lc-цепях

Колебания –движения или изменения состояния величины x, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени:, где–период колебаний. Колебания, совершающиеся по закону или, называютсягармоническими.

Зарядим конденсатор до некоторого напряжения U, после чего замкнем свободный вывод катушки индуктивности на конденсатор. Конденсатор начинает разряжаться через катушку индуктивности. Изменение силы тока в катушке индуктивности приводит к возникновению электродвижущей силы (э. д. с.), противоположной по знакуU, и, в результате, к перезарядке конденсатора. В контуре возникает колебательный процесс из-за перехода энергии электрического поля в энергию магнитного поля и наоборот.

Для контура есть характеристическая величина, имеющая размерность частоты и связанная с параметрами контура соотношением:

.

Если колебания в системе возникают под действием на нее внешних сил, периодически изменяющихся с течением времени, то они называются вынужденными. Если в системе отсутствует затухание, амплитуда вынужденных колебаний растет до бесконечности при некоторой частоте. При наличии затухания амплитуда достигает наибольшего значения при частотевынуждающей силы, которая не совпадает с частотой свободных незатухающих колебаний:

,

где – коэффициент затухания.

Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к значению называетсярезонансом.

Электрическая цепь, состоящая из соединенных в контур конденсатора емкостью С, и катушки с индуктивностьюLи обладающая сопротивлениемR (сопротивление активных потерь в катушке), называетсяэлектрическим колебательным контуром.

При приближении частоты вынужденных колебаний к этой частоте происходит нарастание тока в контуре. При=, поэтому будем называть частотурезонансной частотой контура. При дальнейшем увеличении частотыпроисходит уменьшение силы тока (рис.1.)

Рис.1. Зависимость тока последовательного контура от частоты

Резонансные явления в электрических контурах используются при приеме слабых электрических сигналов в радиоприемных устройствах. Величина резонансной частоты контура изменяется, как правило, с помощью переменного конденсатора.

Если известна несущая частота какой-либо передающей радиостанции, то, изменяя величину емкости конденсатора, можно настроить резонансную частоту контура, включенного последовательно с приемной антенной так, чтобы .

Выделение сигнала из смеси различных побочных сигналов и шумов осуществляется частотно-избирательными линейными цепями, которые строятся на основе колебательных контуров.

1.1. Пассивные элементы линейных цепей

Свойства элементов электрической цепи математически описываются уравнениями, связывающими напряжение U на концах элемента с током I, протекающим через него. Так, для резистора с сопротивлением R

.

Для конденсатора емкостью и зарядом

, .

Для катушки с индуктивностью

, .

1.2. Представление величин, изменяющихся во времени по гармоническому закону

Величины, зависящие от времени по следующему закону: или, где– амплитуда, – круговая частота, – начальная фаза, называются гармоническими. Любой гармонической величине можно сопоставить некоторый радиус-вектор длиной, вращающийся против часовой стрелки относительно начала координат с угловой скоростью(рис.2). В начальный момент времени угол между вектором и осью абсцисс равен. По мере вращения вектора величина его проекции на осьOX будет меняться в соответствии с функцией , а величина его проекции на осьOY – с функцией .

Рис.2. Векторное представление гармонических величин

При таком рассмотрении сумма нескольких гармонических величин одной частоты может быть получена как проекция суммы векторов, соответствующих отдельным слагаемым. Совокупность нескольких векторов, соответствующих гармоническим величинам одной определенной частоты, называется векторной диаграммой.

Вместо вектора каждой гармонической величине в определенный момент времени можно сопоставить некоторую точку на комплексной плоскости, т. е. комплексное число

,

где i – мнимая единица. Тогда

, .

Таким образом, вместо гармонических величин иможно рассматривать соответствующую им комплексную величину, при этом сами гармонические величины будут равны соответственно ее мнимой или реальной части.¹