3.3. Решение задачи 3

При разработке модуля программы численного интегрирования функции необходимо иметь ввиду следующее.

Вычисление определенного интеграла от функции f(x)с пределами интегрированияаиb, как известно, равносильно определению площади фигуры, ограниченной ординатамиаиb, осью абсцисс и графиком подинтегральной функцииf(x). См. рис. 1.

Рис.1. Графическое представление численного интегрирования

При численном интегрировании отрезок [a,b] разбивается наnинтервалов длиной

h=(b-a)/n, и тогда искомая площадь представляется суммой площадейnэлементарных фигур.

В зависимости от того, каким образом определяется площадь элементарной фигуры S, получает название метод численного интегрирования. См. рис. 2.

Если площадь элементарной фигуры определяется приближенно как площадь прямоугольника – получаем метод прямоугольников (рис. 2-1).

Если площадь элементарной фигуры представляется площадью соответствующей трапеции – получаем метод трапеций (рис. 2-2).

Если элементарная фигура заменяется фигурой, в которой функция f(x)представляется параболой – получаем метод парабол, или метод Симпсона (рис. 2-3).

Рис. 2. Графическое представление методов численного интегрирования

Просуммировав площади всех элементарных фигур на интервале [a, b], получаем следующие формулы численного интегрирования:

1. Метод прямоугольников

.

2. Метод трапеций

.

3. Метод Симпсона

.

Разумеется, все эти формулы являются приближенными. С увеличением числа nточность возрастает.

Для оценки правильности принятого алгоритма и составленной по нему программы интегрирования функции рекомендуется провести их проверку на решении следующей тестовой задачи:

приn=32.

Для этого необходимо в программе решения задачи предусмотреть возможность интегрирования наряду с заданной функцией по индивидуальному заданию также и функции f(x)=e^xс пределами интегрированияa=0, b= (=3,141592..=4arctg(1))и числомn=32.

Тестирование можно считать успешным, если значение интеграла от e^x, вычисленное по разработанной программе, будет совпадать с тестовым с точностью до второго знака.

Результаты тестирования должны выводиться наряду с основными результатами интегрирования заданной функции.

3.4. Решение задачи 4

При разработке модуля программы решения нелинейных уравнений необходимо иметь ввиду следующие пояснения и рекомендации.

Решение нелинейных уравнений вида F(x)=0заключается в поиске одного или всех таких значенийxна интервале [a,b], при подстановке которых функцияF(x)обращается в нуль.

Работу по решению этой задачи целесообразно провести в два этапа.

На первом этапе оценивается характер изменения функции F(x)при изменении аргументаxна интервале [a,b] и проверяется, имеет ли место перемена ее знака (переход через нуль). Количество таких переходов определяет и количество корней.

Рис. 3. Графическое представление функции F(x)

Для этого интервал [a,b] разбивается наnучастков, гдеnпринимается равным 10..15, и вычисляется функцияF(x)на каждом участке, т.е. при измененииxотa доbс шагомh=(b-a)/n.

Из полученной таким образом таблицы будет виден и характер изменения функции, и количество переходов через нуль.

На втором этапе путем последовательных приближений производится поиск корней одним из предлагаемых методов.

Метод итерацийоснован на последовательном задании аргументаxи вычислении по нему функцииF₁(x), причем очередное значениеxприращивается предыдущему значению функцииx(n+1)=F₁(x(n))до тех пор, пока соблюдается условие|x(n+1)-x(n)|>=E. Первоначальное значение аргументаx(первое приближение –x(1)) определяется из таблицы как ближайшее к месту перехода функцииF(x)через нуль. Последнее приближениеxи будет корнем уравнения с точностьюE[8].

Метод половинного деления (дихотомии)состоит в следующем.

1. Определяем начальное значение x=(a+b)/2(как результат деления интервала [a,b] пополам).

2. Вычисляем F(x).

3. Если F(x)>0 иF(a)>0 илиF(x)<0 иF(a)<0(т.е. перемена знака функцииF(x)не произошла), то задаемa=x(т.е. перемещаем левую границу интервала в середину), уменьшая интервал вдвое и исключая при этом левую половину, на которой либо нет корней, либо есть четное число корней, иначе задаемb=x(исключаем правую половину интервала). См. рис. 4.

4. Проверяем условие b-a<E, если оно выполняется, то возвращаемся к п.1. с новыми значениями границ интервала, иначе заканчиваем вычисления и считаем, что последнее значениеx и будет корнем уравнения с заданной точностьюE.

Рис.4. Геометрическое представление метода половинного деления

Метод Ньютона (касательных)основан также на последовательном задании значенийxи вычислении функцииF(x), причем очередное значениеxопределяется формулой:

x(n+1)=x(n)-F(x(n))/F’(x(n)),

где F’(x(n))– производная от функцииF(x)в точкеx(n).

Геометрически производная от F(x), как известно, по величине равна тангенсу угла наклона касательной к кривойF(x)в точкеx. Тогда точкаx(n+1)есть точка пересечения с осью абсцисс касательной к кривойF(x), проведенной в точкеx=x(n). См. рис. 5.

Рис. 5. Геометрическое представление метода Ньютона

Как и в методе итераций, начальное значение xзадается как ближайшее табличное к месту перехода функцииF(x)через нуль.

Выражение для производной F’(x)получают аналитически в результате дифференцирования функцииF(x). Значение производной может быть получено приближенно и численным методом:

F’(x)=(F(x+E)-F(x))/E.

Итерационный процесс приближения к корню (последовательное вычисление x(n+1)) продолжается до тех пор, пока будет выполняться условие|x(n+1)-x(n)|>=E.

Следует иметь ввиду, что при выполнении задания и алгоритм, и программа должны предусматривать оба этапа работы: табулирование функции F(x)с выбором начального приближения и процесс поиска корней с заданной точностью.