1.3. Квадратичные сплайны.
Пусть на отрезке [a,b] задана сетка , в узлах которой определены значенияфункцииf(x). Требуется построить на отрезке [a,b] непрерывную функцию-сплайн S(x), которая удовлетворяет следующим условиям:
На каждом отрезке сплайн является многочленомвторой степени:
|
(22) |
В узлах сплайнпринимает заданные значения, т.е.
|
(23) |
Во внутренних узлах сплайн имеет непрерывную первую производную, т.е. в местах сопряжения квадратичных многочленов их первые производные должны быть равны:
|
(24) |
Для построения искомого сплайна требуется найти коэффициенты многочленов,i=1,…n, т.е. 3n неизвестных, которые удовлетворяют (3n-1) уравнениям. Чтобы система имела решение, добавляют еще одно дополнительное условие, например:
|
(25) |
Из условий (23), (24) и (25) составляется система, решение которой дает искомые коэффициенты.
Пример.
Исходные данные:
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
1 |
2 |
2.5 |
3 |
По заданным точкам требуется построить квадратичный сплайн. Найдем первую производную многочлена (22):
|
|
Система уравнений (23), (24) имеет вид:
|
(25) |
После подстановки исходных данных в (25):
|
|
Отсюда:
|
|
Полученные сплайн-функции:
|
|
1.4. Задание на практику.
Для заданной функции:
Рассчитать значения функции в узловых точках (xi).
Для краевых условий 1-3 построить кубические сплайны в специальной форме, найдя соответствующие коэффициенты di:
S1''(x0)=0, S3''(x3)=0
S1'(x0)=f '(x0), S3'(x3)=f '(x3)
S1''(x0)=f ''(x0), S3''(x0)=f ''(x3)
Рассчитать значения сплайн-функции в серединах отрезков интерполяции.Построить графики исходной функции и сплайна.
Построить квадратичный сплайн, используя дополнительное условиеS1'(x0)=f'(x0), проверить равенство первых производных во внутренних узлах.
1.5. Варианты заданий.
№ |
Функция |
Узловые точки | |||||||||
1 |
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 | |||||
xi |
0 |
0.5 |
1.5 |
2 | |||||||
2 |
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 | |||||
xi |
1 |
1.5 |
2 |
2.5 | |||||||
3 |
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 | |||||
xi |
0 |
0.5 |
1 |
2 | |||||||
4 |
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 | |||||
xi |
0 |
0.5 |
1 |
1.5 | |||||||
5 |
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 | |||||
xi |
0 |
0.5 |
1.5 |
1.75 | |||||||
6 |
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 | |||||
xi |
1 |
1.25 |
1.5 |
2 | |||||||
7 |
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 | |||||
xi |
1 |
2 |
3 |
4 | |||||||
8 |
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 | |||||
xi |
0 |
0.5 |
0.75 |
1 | |||||||
9 |
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 | |||||
xi |
0 |
0.25 |
0.5 |
1 | |||||||
10 |
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 | |||||
xi |
0.5 |
1 |
1.5 |
2 | |||||||
11 |
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 | |||||
xi |
0 |
0.5 |
1.5 |
2 | |||||||
12 |
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 | |||||
xi |
1 |
1.5 |
2 |
3 | |||||||
13 |
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 | |||||
xi |
1 |
2 |
3 |
4 | |||||||
14 |
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 | |||||
xi |
1 |
2 |
3 |
4 | |||||||
15 |
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 | |||||
xi |
0 |
0.5 |
1.5 |
1.75 | |||||||
16 |
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 | |||||
xi |
0 |
0.5 |
1 |
1.5 | |||||||
17 |
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 | |||||
xi |
0.75 |
1 |
1.25 |
1.5 | |||||||
18 |
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 | |||||
xi |
0 |
1 |
2 |
3 | |||||||
19 |
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 | |||||
xi |
0 |
0.5 |
1.5 |
2 | |||||||
20 |
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 | |||||
xi |
0 |
0.5 |
1.5 |
2 | |||||||
21 |
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 | |||||
xi |
0 |
1 |
2 |
4 | |||||||
22 |
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 | |||||
xi |
1 |
1.5 |
2 |
2.5 | |||||||
23 |
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 | |||||
xi |
0 |
0.25 |
0.5 |
1 | |||||||
24 |
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 | |||||
xi |
0.75 |
1.25 |
1.5 |
1.75 | |||||||
25 |
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 | |||||
xi |
0 |
0.5 |
1 |
1.5 | |||||||
26 |
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 | |||||
xi |
0 |
1 |
2 |
3 | |||||||
27 |
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 | |||||
xi |
1 |
2 |
2.5 |
3 | |||||||
28 |
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 | |||||
xi |
3 |
4 |
4.5 |
5 | |||||||
29 |
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 | |||||
xi |
0 |
0.5 |
1 |
1.5 | |||||||
30 |
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 | |||||
xi |
1 |
2 |
2.5 |
3 |