Свойства операции сложения

Рассмотрим матрицы ,,– размера.

1. (коммутативность сложения).

2. (ассоциативность сложения).

Свойства операций умножения матрицы на число и умножения матриц

(Напоминаем о необходимости согласования размеров перемножаемых матриц)

1. (коммутативность умножения в общем случае не выполняется).

Если , то матрицыиназываютсяперестановочными.

Примеры перестановочных матриц

а)

б)

в)

–нулевая матрица (все элементы равны нулю). В общем случае матрица может иметь произвольную размерность, но в данном примере ее размерность согласована с размерностью матрицы .

2. (ассоциативность умножения).

3. (дистрибутивность).

4. (дистрибутивность умножения на число относительно сложения матриц).

5. .

6. .

7. , еслии– квадратные матрицы.

2.2. Обратная матрица

Звуковое сопровождение лекции

Определение

Матрица называетсяобратной матрице , если.

Отсюда следует, что и– квадратные.

Определение

Если , матрицаназываетсяневырожденной, в противном случае называетсявырожденной матрицей.

Теорема (существования и единственности обратной матрицы)

Для всякой невырожденной матрицы существует и единственна обратная матрица

,

где – присоединенная матрица (составлена из алгебраических дополнений элементов матрицы: каждый элемент матрицыявляется алгебраическим дополнением соответствующего элемента матрицы).

Доказательство

1. Существование

По условию, – невырожденная матрица, следовательно, числовой множитель в формуле определен. Составление матрицы и ее транспонирование возможно для любой квадратной матрицы. Таким образом, матрица существует для любой невырожденной матрицы.

Является ли построенная матрица обратной к ?

Рассмотрим произведение . При умножении-й строки первой матрицы на-й столбец второй получим(воспользовались свойствами 8, 9 определителей, см. Лекцию 1). Окончательно получим,

.

Аналогично вычисляется произведение .

Таким образом,

(по определению обратной матрицы).

2. Единственность

Допустим, что кроме существует, построенная отличным от указанного выше способом (ясно, что при использовании формулыполучается одна единственная матрица). Составим выражение. Преобразуем его, используя свойства операций над матрицами и определение обратной матрицы.

Таким образом, .

Умножим это равенство слева на обратную матрицу, например, на :

, преобразуем

,

,

, что и требовалось доказать.

Пример

, – ?

Решение

1. – ?

существует единственная .

2. – ?

.

3. – ?

.

4. – ?

.

Пример 10(для самопроверки)

Найдите матрицу, обратную к матрице .

Ответ

2.3. Решение матричных уравнений

Звуковое сопровождение лекции

Пусть – известная квадратная матрица порядка,

– неизвестная матрица размера,

– известная матрица размера.

–

– матричное уравнение относительно .

Если – невырожденная матрица, то существует и единственно решение уравнения.

Чтобы найти решение, умножим обе части уравнения слева на :

.

Получим

.

Откуда следует

.

Аналогично ставятся и решаются задачи для уравнений вида:

,

.

Пример

Решите матричное уравнение , где .

Решение

Вычислим , значит, матрицаA – невырожденная.

Построим матрицу A^–1 , обратную матрице A, двумя способами. 1) Метод присоединенной матрицы:

.

2) Метод элементарных преобразований строк:

Записываем решение матричного уравнения:

.

Пример 11(для самопроверки)

Решите матричное уравнение , где Ответ