- •I. Матрицы и определители 2
- •Лекция 1. Матрицы и определители, их характеристики
- •1.1. Понятие матрицы
- •Частные случаи квадратных матриц
- •1.2. Определители второго, третьего, n-го порядка
- •1.3. Свойства определителей
- •1.4. Разложение определителя по элементам строки или столбца
- •1.5. Вычисление определителей n-го порядка (2 метода)
- •1.6. Задания для самопроверки
- •Лекция 2. Алгебра матриц
- •2.1. Основные операции над матрицами и их свойства
- •Правило умножения матриц
- •Свойства операции сложения
- •Свойства операций умножения матрицы на число и умножения матриц
- •2.2. Обратная матрица
- •2.3. Решение матричных уравнений
- •2.4. Невырожденные системы n линейных уравнений с n неизвестными
- •2.5. Задания для самопроверки
- •Ответы к примерам для самопроверки
2.4. Невырожденные системы n линейных уравнений с n неизвестными
Звуковое сопровождение лекции
Рассмотрим систему
(*)
Обозначим
– –столбец неизвестных,
– – матрица коэффициентов переднеизвестными,
– –столбец свободных членов.
Тогда система уравнений (*) может быть записана в форме матричного уравнения
. (**)
Если , существует и единственно решение матричного уравнения (**)
, (1)
или в поэлементной записи
(2)
где – главный определитель системы;– определитель, полученный из главного путем замены-го столбца столбцом свободных членов (формулы (2) называютсяформулами Крамера).
Подробнее
, .
Вывод
Если главный определитель системы линейных уравнений снеизвестными отличен от нуля, то существует и единственно решение такой системы. Оно может быть найдено одним из трех способов:
1) матричным способом;
2) по формулам Крамера;
3) методом Гаусса (приведение системы к треугольному виду).
Алгоритм реализации последнего совпадает с алгоритмом приведения определителя к треугольному виду.
Пример
Решите систему линейных уравнений используя формулы Крамера.
Решение
По формулам Крамера ,,и .
Пример12 (для самопроверки)
Решите систему линейных уравнений, используя формулы Крамера:
Ответ
Пример
Решите систему линейных уравнений, используя метод Гаусса
Решение
Запишем расширенную матрицу системы и воспользуемся примером, рассмотренным в пункте 1.5:
1 действие. В качестве рабочей строки выберем первую строку, затем, пользуясь 7 свойством определителей, сложим первую строку, умноженную на -1 с остальными тремя строками.
2 действие. В качестве рабочей строки выберем вторую строку, затем, сложим вторую строку, умноженную на -2 с третьей строкой и сложим ее, умноженную на -3, с четвертой строкой.
3 действие. В качестве рабочей строки – третью, затем умножим ее на -3 и прибавим к четвертой строке. Таким образом, мы привели определитель к треугольному виду и можем легко вычислить его.
Восстановим по матрице систему полученных уравнений:
Из системы видно, что
Пример 13 (для самопроверки)
Решите систему линейных уравнений, используя метод Гаусса:
Ответ
2.5. Задания для самопроверки
Открыть задания
Ответы к примерам для самопроверки
1.
2.
3.
4. ,
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
|