Главы ТФКП
.docxГлавы ТФКП
1. Комплексные числа
2. Функции комплексного переменного (характеристики)
3. Конформные отображения (разновидности)
4. Интегрирование ФКП
5. Аналитические функции. Ряды.
6. Вычеты и их применение
7. Операционное исчисление
1.Комплексные числа и действия над ними
- определение
- действия в алгебраической форме
Формы записи:
1) Алгебраическая
2) Тригонометрическая
3) Показательная
- умножение и деление в тригонометрической форме
- умножение и деление в показательной форме
- возведение в степень
- извлечение корня
Геометрия комплексных чисел:
- интерпретация тригонометрической формы записи числа
- расширенная комплексная плоскость
- стереографическая проекция
- сфера Римана
2.Функции комплексного переменного (характеристики)
1. Множества точек на плоскости.
Кривая Жордана.
Односвязные и многосвязные области.
2.
- определение функции комплексного переменного
- предел
- непрерывность
- производная
- дифференциал, правила дифференцирования.
3. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости
Аналитичность (регулярность) функции:
- в точке
- в области
4. Вещественная и мнимая части аналитической функции.
Связь аналитических функций с гармоническими.
3. Конформные отображения
- геометрический смысл аргумента и модуля производной
- определение конформного отображения
- линейная функция
- инверсия
- дробно-линейная функция
- целая степенная функция
- радикал
- показательная функция
- логарифмическая функция
- тригонометрические функции
- обратные тригонометрические функции
- гиперболические функции
- функция Жуковского. Задачи обтекания тел
- однолистность комплексной функции
- поверхность Римана
- понятие полной аналитической функции
- задачи и принципы теории конформных отображений
- Теорема Римана
4. Интегрирование функций комплексного переменного
- определение интеграла
- свойства
- теорема об оценке
- теорема Коши
- следствия теоремы Коши
- теорема о первообразной
- формула Коши
- принцип максимума модуля аналитической функции
- производные высших порядков от ФКП
- неравенство Коши
- теорема Лиувилля
- теорема Морера
- понятие аналитического продолжения
- принцип непрерывного продолжения
- теорема единственности аналитической функции
5. Аналитические функции. Ряды
- последовательности комплексных чисел,
- теорема Больцано-Вейерштрасса.
- основные теоремы теории пределов
- критерий Коши
- Ряды комплексных чисел
- Абсолютная и условная сходимость ряда.
- Функциональные ряды
- признак Вейерштрасса равномерной сходимости
6. Вычеты и их применение
- вычет функции относительно изолированной особой точки
- Основная теорема о вычетах
- вычисление вычетов в конечных особых точках
- вычет функции в бесконечно удаленной точке
- Теорема о сумме вычетов в конечном числе особых точек.
- Лемма Жордана
- Теорема о вычислении интегралов с помощью вычетов
- вычисление интеграла в случае, когда особые точки лежат на пути интегрирования
- логарифмическая производная функции и ее вычеты
- Принцип аргумента аналитической функции.
- Теорема Руше и её следствие (основная теорема алгебры)
- применение принципа аргумента к вопросам устойчивости
- критерий Михайлова
- степенные ряды
- теорема Абеля о сходимости степенного ряда
- непрерывность и аналитичность суммы степенного ряда
- Ряд Тейлора.
- теорема о разложении функции в ряд Тейлора.
- разложения элементарных функций в степенные ряды
- построение аналитического продолжения с помощью степенных рядов
- Ряд Лорана.
- теорема Лорана.
- изолированные особые точки,
- их классификация с помощью ряда Лорана.
- нули аналитических функций, связь между нулями и полюсами.
- Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса о поведении аналитической функции вблизи существенно особой точки
- разложение в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки (случаи устранимой точки, полюсов и существенно особой точки)
- понятие целой и мероморфной функции
7. Операционное исчисление
- Преобразование Лапласа
- оригинал и изображение
- свойство линейности
- функция Хэвисайда
- Таблица изображений основных функций
- теорема о существовании изображения.
- определение оригинала по изображению. Формула Меллина.
- первая и вторая теоремы разложения
- условия существования оригинала. Теорема обращения.
- теорема подобия
- теорема запаздывания
- теорема смещения
- теорема упреждения
- теорема умножения изображений
- теорема умножения оригиналов.
- изображения периодических оригиналов
- дифференцирование оригиналов
- интегрирование оригиналов
- дифференцирование изображения
- интегрирование изображения.
- Применение преобразования Лапласа.
- вычисление несобственных интегралов.
- интегрирование ОДУ с постоянными коэффициентами
- интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений
- применение интеграла Дюамеля к интегрированию ОДУ.
- интегрирование ОДУ с переменными (функциональными) коэффициентами
- о функциях с запаздывающим аргументом и их изображениях.
- интегрирование ОДУ. содержащих в правой части функцию Хевисайда
- интегрирование ОДУ с запаздывающим аргументом
- решение интегральных уравнений Вольтерра
- решение нестационарных задач математической физики с помощью операционного метода