Информатика лекция 23.09.13

Продолжение лекции 16.09.13

Система счисления непозиционная система счисления

В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от её позиции в записи числа. Классическим примеров непозиционной системы счисления является римская система счисления. Древние Римляне пользовались нумерацией, в которой числа изображаются буквами латинского алфавита. В позднейшем своей виде римские цифры выглядят так:

I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000.

Правила записи числа в риской системе счисления: 1. Если большая цифра стоит перед меньшей, они складываются: XI = 11 2. Если меньшая цифра стоит перед большей, то из большей вычитается меньшая, при чём в этом случае меньшая цифра уже повторяться не может: XL = 40, но XXL – нельзя. 3. Цифры М, С, Х, I могут повторяться в записи числа не более трех раз подряд. 4. Цифры D, L, V могут использоваться в записи числа только по одному разу.

Например:

MCXXIV = 1124 XXVII = 27 MMCMIV = 2904 DCCVII = 707 XXXVI = 36 CCXLV = 245 MMCCCXL = 2340 DCCXXI = 721

Самое большое число, которое можно записать в этой системе счисления: MMMCMXCIX – 3999.

Системы счисления: позиционная система счисления:

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Основание позиционной системы счисления – это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание системы можно принять любое натуральное числа – два, три четыре и т.д.

Запись числа в любой системе счисления с основанием q в общем виде: a_n-1*q^n-1+ a_n-2*q^n-2+…+ a₁*q¹+ a₀*q⁰+ a_-1*q^-1+…+a_-m*q^-m,

Где а1 – цифры системы счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно: 130678 = 1*10⁵+3*10⁴+0*10³+6*10²+7*10¹+8;

Система счисления: Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления основание равно 2, алфавит состоит из 0 и 1. В общем случае в двоичной системе запись числа а, которое содержит n целых и m дробных разрядов выглядит так: a_n-1*2^n-1+ a_n-2*2^n-2+…+ a₁*2¹+ a₀*2⁰+ a_-1*2^-1+…+ a_-m*2^-m Пример: 101.01₂= 1*2²+0*2¹+1*2⁰+0*2^-1+1*2^-2

Правило перевода из двоичной системы счисления в десятичную.

Для того, чтобы перевести двоичное представление числа в десятичное, следует представить двоичное число в виде суммы степеней двойки. Сделав такую запись, надо подсчитать десятичное значение полученной суммы.

Пример: 1011 = 1*2³+0*2²+1*2¹+1*2⁰ = 8+0+2+1=11₁₀

Правило перевода из десятичной системы в счисления в двоичную: 1. Разделить число на 2 и зафиксировать остаток; 2. Если частное от деления не равно 0, повторить 1 пункт до частного; 3. Если частное от деления равно 0, записать все полученные остатки справа налево.

Перевести число 25₁₀ в двоичную систему счисления.

25|2 24 12|2 1 12 6| 2 0 6 3 | 2 0 2 1 | 2 1 0 0 1

Таким образом, 25₁₀ = 11001₂

Система счисления: восьмеричная система счисления Алфавит восьмеричной системы счисления состоит из 8 цифр: 0. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. При переводе в восьмеричную систему двоичное число, состоящее из трёх цифр записывается одной цифрой:

Восьмеричная запись	Двоичное представление
0	000
1	001
2	010
3	011
4	100
5	101
6	110
7	111

Для перевода из двоичной системы счисления в восьмеричную систему счисления число, записанное в двоичной системе, делим на триады справа налево, и заменяем каждую группу одной восьмеричной цифрой. Пример: перевести число 11011100011₂ в восьмеричную систему счисления

11011100011₂ = 001 011 100 011

3 3 4 3

И получим, что 11011100011₂=3343₈.

Для перевода числа из восьмеричной системы в двоичную достаточно заменить каждую цифру на её перевод в двоичную систему, представив каждую цифру в виде триады. Пример. Перевести число 356₈ в двоичную систему счисления:

356₈ = 3 5 6

011 101 110

Таким образом, 356₈ = 11101110₂

Система счисления: шестнадцатеричная система счисления.

Для первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр используются первичные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а для остальных используют первые буквы латинского алфавита A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15).

Двоичное представление	Шестнадцатеричная запись
000	0
001	1
010	2
011	3
100	4
101	5
110	6
111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

Число 16 – это 2 в четвёртой степени. При переводе из двоичной системы в шестнадцатеричную систему счисления необходимо разбить число, записанное в двоичной системе на группы по 4 справа налево, заменив каждую группу одной шестнадцатеричную систему счисления:

110110101101₂= 1101 1010 1101

D A D

Имеем: 110110101101₂ = DAD₁₆

Для перевода числа из шестнадцатеричной системы в двоичную достаточно заменить каждую цифру на её эквивалент в двоичной системе счисления, представив каждую цифру в виде сочетания четырех 1 и 0. Пример. Перевести число A0F₁₆ в двоичную систему счисления: A0F = A 0 F

1010 0000 1111

Имеем: A0F₁₆ = 101000001111₂

Двоичная арифметика.

Все операции над числами в двоичной системе счисления, точно так же, как и в десятичной, проводятся поразрядно:

Операция сложения	0 + 0 = 0
	0 + 1 = 1
	1 + 0 = 1
	1 + 1 = 10
Операция умножения	0 * 0 = 0
	0 * 1 = 0
	1 * 0 = 0
	1 * 1 = 1

Формы представления двоичных чисел в ЭВМ.

Естественная форма или форма с фиксированной запятой. При представлении чисел с фиксированной запятой положение запятой закрепляется в определенном месте относительно разрядов числа и сохраняется неизменным для всех чисел, изображаемых в данной разрядной сетке. Данная форма представления имеет небольшой диапазон представления. Например, диапазон значащих чисел (N) с основанием системы счисления P с m разрядами в целой части и s разрядами в дробной будет равен:

P^-s<N<P^m–P^-s

При P=2, m=10 и s = 6: 0.015 < N <1024.

Форма с плавающей запятой. Каждое число представляется в виде двух групп цифр: мантиссы m, содержащей значащие цифры числа, порядка r. Абсолютная величина мантиссы должны быть меньше 1, порядок должен быть целым числом. Общий вид числа с плавающей запятой: N = +MP^+r

M – Мантисса числа |M | < -1

r – Порядок числа, r – целое число;

P – Основание системы счисления.

Диапазон значащих цифр в системе счисления P при наличии m разрядов у мантиссы и s разрядов у порядка будет:

P^-m*P-(P^s-1)<N<(1-P^-m)

При P = 2, m = 10, s = 6 диапазон чисел простирается от 10^-19 до 10¹⁹

Примеры:

Форма с фиксированной запятой	Форма с плавающей запятой
Пусть в десятичной системе счисления имеется 5 разрядов в целой части числа и 5 разрядов в дробной части числа. Числа, записанные в такую разрядную сетку, будут иметь вид: +00721,35500 +00000,00328 -10301,20260	В нормальной форме или, иначе, в форме с плавающей запятой указанные числа будут выглядеть следующим образом: +0,721355*10^3 +0,328*10^-3 -0,103012026*10^5

Классификация информации

Классификация – система распределения объектов по классам в соответствии с определённым признаком. Под объектом классификации понимается любой процесс, предмет, явление материального или нематериального свойства. При классификации объектов используются понятия классификационный признак и значение классификационного признака. В совокупности эти два понятия образуются признак классификации или основание деления (например, классификационный признак – возраст студента, значение – возрастные интервалы от 18 до 20, от 21 до 22).