DE_math_ch3

Общее решение системы	˙
	в канонической форме X = F (t, X)
это семейство вектор-функций

X = X(t, C1, C2, ..., Cn),

( C1, C2, ..., Cn произвольные постоянные) удовлетворяющих следующим двум условиям:

1)(t0, X0) (C10, C20, .., Cn0) : X(t0, C10, C20, .., Cn0) = X0

2)функция X(t) = X(t, C10, C20, .., Cn0), полученная из семейства при этих значениях произвольных постоянных, является решением системы (1) в некотором интервале, содержащем точку t0.

Частные решения получаются при конкретных значениях (C10, C20, .., Cn0)

из общего решения.

Пример. Модель хищник-жертва.

Математическая модель совместного существования двух биологических видов (популяций) типа “хищник-жертва”

модель Лотки–Вольтерра.

А.Лотка (1925 г.) использовал модель для описания динамики взаимодействующих биологических популяций.

В. Вольтерра (1926 г.) независимо от Лотки аналогичные (и более сложные) модели.

Математическая теория биологических сообществ (математическая экология).

Два биологических вида совместно обитают в изолированной среде. Среда стационарна и обеспечивает в неограниченном количестве всем необходимым для жизни один из видов, который назовем жертвой.

Другой вид хищник также находится в стационарных условиях, но питается лишь особями первого вида.

караси щуки, зайцы волки, мыши лисы, микробы антитела

Для определенности: караси и щуки.

Караси и щуки живут в изолированном пруду. Среда предоставляет карасям питание в неограниченном количестве, а щуки питаются лишь карасями.

Обозначим

x = x(t) – число карасей,

y = y(t) – число щук.

Считаем x(t) и y(t) непрерывными функциями времени t.

Как меняется состояние экосистемы?

dxdt скорость изменения численности карасей.

Если ЩУК НЕТ, то число КАРАСЕЙ УВЕЛИЧИВАЕТСЯ в соответствии с законом Мальтуса: тем быстрее, чем больше карасей:

	dx	= ax, (a > 0),
	dt

коэффициент a зависит только от условий жизни карасей, их естественной смертности и рождаемости.

dydt скорость изменения числа щук.

Если КАРАСЕЙ НЕТ, то число ЩУК УМЕНЬШАЕТСЯ (у них нет пищи) и они вымирают. Будем считать, что

dy	= −by, (b > 0).
dt

Взаимодействие двух этих видов моделируется так.

Жертвы вымирают со скоростью, равной числу встреч хищников и жертв, которое в данной модели предполагается пропорциональным численности обеих популяций: −cxy (c > 0). Поэтому

dxdt = ax − cxy.

Хищники размножаются со скоростью, пропорциональной числу

съеденных жертв:
	dy	= −by + dxy,
	dt
где d > 0. Система уравнений модель Лотки–Вольтерра:
dx
		= ax − cxy,
	dt
		(3)
dy		= −by + dxy.
dt

В экономике используются подобные (более сложные) модели “хищник– жертва”, в частности, для моделирования конкурентной борьбы:

x – число фирм, находящихся на рынке – жертвы (караси),

y – число фирм, решающих задачу захвата рынка и вытеснения с него x фирм – хищники (щуки).

4

Сведение ДУ n-го порядка, разрешенных относительно старших производных к системе ДУ в канонической форме

Дано уравнение

y(n) = f(t, y, y0, ..., y(n−1)).

(4)

Произведём замену:

x1 = y

x = y0

2

x3 = y00

x = y(n−1)

n

Заметим, что

x˙ 1 = y0 = x2 = f1(t, x1, x2, .., xn)

x˙

2 = y00 = x3 = f2(t, x1, x2, .., xn)

(5)

...................................................

x

y(n

1)

x

f

t, x

, x

, .., x

˙ n−1 =(n)

−

=

n =

n−1

(

1

2

n)

x˙

n

= y

= f(t, x

, x

, .., x

)

1

2

n

Если X(t) = (x1(t), x2(t), .., xn(t))- решение системы (5), то y = x1(t)является решением уравнения (4).

Наоборот, если y = y(t)- решение уравнения (4), то

(x1(t), x2(t), .., xn(t)) = (y(t), y0(t), ..., y(n−1)(t))

решение системы (5).

Задача и теорема Коши для уравнения n-го порядка

Дано уравнение (4) y(n) = f(t, y, y0, ..., y(n−1))

с начальными условиями

y(t0) = y0, y0(t0) = y00 , ..., y(n−1)(t0) = y0(n−1).

Требуется найти решение y = y(t) уравнения (4), удовлетворяющее указанным начальным условиям.

Теорему существования и единственности этой задачи получим как следствие теоремы Коши для системы уравнений. С этой целью преобразуем уравнение (4) в систему уравнений (5)

x˙ 1 = x2

x˙ 2 = x3

.....................................

x˙ n−1 = xn

x˙ n = f(t, x1, x2, .., xn)

Правые части первых (n − 1) уравнений системы (5) удовлетворяют

условиям теоремы во всём пространстве, поэтому ограничения коснут-

ся только последнего уравнения. Приходим к следствию для уравнения:

Если функция f(t, y, y0, ..., y(n−1)) непрерывна в области переменных

t, y, y0, y00, ..., y(n−1) вместе с	∂f	,	∂f	, ...,	∂f	, то задача Коши имеет
	∂y		∂y0		∂y(n−1)

решение для любой точки этой области, единственное в глобальном

смысле.