DE_math_ch3

§13. Дифференциальные уравнения высших порядков и системы дифференциальных уравнений.

Общий вид дифференциального уравнения n-го порядка:

F (t, y, y0, ..., y(n)) = 0,

функция F – задана, t – независимая переменная, y(t) – искомая функция.

(t, y, y0, ..., y(n)) Rn+2

Дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешимое относительно высшей производной:

y(n) = f(t, y, y0, ..., y(n−1)), (t, y, y0, ..., y(n−1)) Rn+1

Общий вид системы дифференциальных уравнений:

Fi(t, y1, y10 , ..., y1(k1), ..., y2, y20 , ..., y2(k2), ..., ym, ym0 , ..., ym(km)) = 0,

i = 1, 2, ..., m

Здесь y1 = y1(t), y2 = y2(t), ... , ym = ym(t) искомые функции,

k = (k1 + k2 + ... + km) - порядок системы дифференциальных уравнений.

Системы ДУ, разрешённых относительно старших производных:

yiki = fi(t, y1, y10 , ..., y1(k1−1), ..., y2, y20 , ..., y2(k2−1), ..., ym, ym0 , ..., ym(km−1)), i = 1, 2, ..., m

y1 = y1(t), y2 = y2(t), ... , ym = ym(t) искомые функции,

k = (k1 + k2 + ... + km) порядок системы дифференциальных уравнений.

Если

i = 1, 2, .. m, ki = 1 и Fi = 0

разрешено относительно yi0, то получим систему дифференциальных уравнений в канонической (нормальной) форме:

yi0 = fi(t, y1, y2, ..., ym)

i = 1, 2, ..., m

Перепишем систему заменяя y на x:

x˙ 1 = f1(t, x1, x2, . . . , xn),

x˙ 2 = f2(t, x1, x2, . . . , xn),

. . .

x˙ n = fn(t, x1, x2, . . . , xn).

Здесь t независимая переменная, x1, x2, . . . , xn ции от t, x˙ 1 = dxdt1 , x˙ 2 = dxdt2 , . . . x˙ n =

(1)

искомые функ- dxdtn . Независимая

переменная обозначается буквой t и имеет смысл времени.

Системы в нормальной форме, таким образом, характеризуются тремя

признаками:

1.число уравнений совпадает с числом искомых функций;

2.все уравнения – только первого порядка;

3.все уравнения разрешены относительно соответствующих производных.

Удобна векторная запись системы (1). Введем обозначения:

	x1(t)			f1(t, x1, x2, ..., xn)
X(t) =	x2.(t)		, F (t, X) =	f2(t, x1, x.		2, ..., xn)	.
	..				..
	xn(t)			fn(t, x1, x2, ..., xn)

Векторная запись системы (1):

˙	(2)
X = F (t, X).

Иногда (2) называют уравнением, понимая под искомой величиной не скалярную, а векторную функцию X = X(t).

Решением системы ДУ в канонической форме ˙ называют

X = F (t, X)

любую вектор-функцию

X(t) = (x1(t), x2(t), .., xn(t))T ,

которая при подстановке в систему обращает её в верное тождество по t на некотором интервале (r1, r2).

Функция xi(t) – непрерывно дифференцируема на этом интервале (i = 1, 2, ..., n).

Задача Коши систем ДУ в канонической форме Рассмотрим систему (1)

	x˙ 1			f1(t, x1, x2, .., xn)
X˙ =	x˙ 2		= F (t, X) =	f2(t, x1, x2, .., xn)
	...			..........................
	x˙ n			fn(t, x1, x2, .., xn)

(t, x1, x2, ..., xn) Rn+1.

Начальные данные – точка в области

t0, x01, x02, .., x0n = t0, X0 .

,

Задача Коши

Найти решение системы (1) X(t) = (x1(t), x2(t), .., xn(t))T , удовлетворяющее начальным условиям:

X(t0) = X0,

то есть

x1(t0) = x01 x2(t0) = x02

.................

x (t ) = x0

n 0 n

Теорема Коши существования и единственности решения

Теорема 1 Пусть функции fi(t, x1, x2, ..., xn) (i = 1, 2, ..., n), непре-

рывны вместе со своими частными производными ∂fi (t, x1, x2, .., xn),

∂xj

(i, j = 1, 2, ..., n) в области переменных t, x1, x2, ..., xn, тогда

1)(t0, X0) существует решение X(t) = (x1(t), x2(t), .., xn(t))T системы (1), такое что X(t0) = X0.

2)Если два решения системы (1) удовлетворяют одним и тем же начальным условиям, то эти решения совпадают всюду, где они совместно определены (единственность в глобальном смысле).