DE_math_ch3

Доказательство.

Возьмём ξ G, обозначим через X = ϕ(t, ξ) - решение системы

˙ , c начальным условием .

X = F (X) ϕ(0, ξ) = ξ

Вычисляем

	dU		n	∂U		dϕi(t, ξ)
			Xi		(ϕ(t, ξ)) ·
	dt (ϕ(t, ξ)) =			∂xi		dt		,
			=1

но, так как X = ϕ(t, ξ) - решение, то

dϕi(t, ξ) = fi(ϕ(t, ξ)) = fi(ϕ1(t, ξ), ϕ2(t, ξ), . . . , ϕn(t, ξ)). dt

Значит

	dU		n	∂U
			Xi		(ϕ(t, ξ)) · fi(ϕ(t, ξ)).
	dt (ϕ(t, ξ)) =			∂xi
			=1

	( )	Пусть U(X)- первый интеграл, тогда t dUdt (ϕ(t, ξ)) = 0.
	Возьмём t = 0.
	n		∂U		n ∂U
	X				Xi
			∂xi (ϕ(0, ξ)) · fi(ϕ(0, ξ)) =			∂xi	(ξ) · fi(ξ) = 0	ξ G.
	i=1				=1

Значит (роль X играет ξ) выполняется

	n	∂U
	Xi
		∂xi (X) · fi(X) = 0.
	X G
	=1

Pn ∂U i=1 ∂xi

( ) Пусть X G (X) · fi(X) = 0. Заметим, что левая часть равенства – полная производная функции U(ϕ(t, ξ)), X =

ϕ(t, ξ). Теперь

	dU		n	∂U
			Xi		(ϕ(t, ξ)) · fi(ϕ(t, ξ)) = 0.
	dt (ϕ(t, ξ)) =			∂xi
			=1

Отсюда U(ϕ(t, ξ)) = const. ( Таким образом, U(X)- первый интеграл).

Теорема доказана.

Если X0 и F (X0) = 0, точка X0 называется точкой покоя или равновесия. Дело в том, что система имеет решение X ≡ X0.

Далее изучаем первые интегралы в окрестности точки X0, для которых

F (X0) 6= 0.

Определение. Первые интегралы U1(X), U2(X), . . . , Um(X) (m<n) называются независимыми в некоторой окрестности точки X0, для которой F (X0) 6= 0, если матрица, составленная из частных производ-

ет ранг m.

ndxi

0

≤

≤

≤

≤

o

ных этих первых интегралов

dUj

(X ) , 1

j

m, 1

i

n

име-

Теорема.

Если известны m (m < n) независимых в точке X0 первых интегралов системы (10) , то порядок системы можно понизить на m

единиц в некоторой окрестности точки X0.

Доказательство. Без ограничения общности возьмём отличный от нуля определитель m-го порядка, составленный из первых m столбцов

n	dUj			o
матрицы	dxi	(X0)			, то есть рассматриваем	6= 0
	det		dxi		(X0) , 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ i ≤ m
				dUj

.

Проведём замену переменных:

y1 = U1(X) y2 = U2(X)

. . .

ym = Um(X)

ym+1 ≡ xm+1

. . .

yn ≡ xn

Замена осуществима, если якобиан преобразования отличен от нуля в некоторой окрестности точки .

Якобиан имеет вид

dU2

· · ·

dU2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

dU2

dU1

(X )

dU1

(X )

dU1

(X )

(X0)

(X0)

(X0)

dx1

0

· · ·

dxm

0

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

dxn

0

dx1

dxm

dxn

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

dUm

(X0)

dUm

(X0)

dUm

(X0)

dx1

· · ·

dxm

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

dxn

=

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

0

0

0

0

0

1

	dU2			· · ·	dU2
	dU1		(X )		dU1		(X )
			(X0)				(X0)
=	dx1		0	· · ·	dxm		0	= 0
	dx1				dxm
	· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·								6
	dUm		(X0)		dUm		(X0)
	dx	1		· · ·	dx	m

Якобиан отличен от нуля не только в точке X0, но и в некоторой окрестности точки X0, так как элементы якобиана являются непрерывными

функциями.

В переменных y1, y2, . . . , yn система (11) примет вид

y˙i = gi (y1, y2, . . . , yn) i = 1, n.

(12)

Если i = 1, m, то по критерию первого интеграла имеем

dyi		dUi(X)		n ∂Ui(X)
	=		=			f (X) = 0,
dt		dt				i
				=1	∂xi
				Xi

поэтому получаем y1 = C1, y2 = C2, . . . , ym = Cm. Система перепишется в виде

	y˙m+1 = gm+1 (C1, C2, . . . , Cm, ym+1, . . . , yn)
	y˙m+2 = gm+2 (C1, C2, . . . , Cm, ym+1, . . . , yn)
				,
	y·˙·n·	= gn (C1, C2, . . . , Cm, ym+1, . . . , yn)
т. е.	получили систему порядка n			m.
			−

Теорема доказана.

В случае, когда m = n − 1, т. е.

y˙n = gn (C1, C2, . . . , Cn−1, yn), нужно решить одно дифференциальное уравнение.

Вслучае, когда m = n, U1 = C1, U2 = C2, . . . , Un = Cn.

Вобщем случае решения находятся в виде:

	ym+1 = ym+1 (t, C1, C2, . . . , Cm, Cm+1, . . . , Cn)
	ym+2		= ym+2 (t, C1, C2, . . . , Cm, Cm+1, . . . , Cn)
			.
	y· ·n·	= yn (t, C1, C2, . . . , Cm, Cm+1, . . . , Cn)
Как	искать первые интегралы.