Domashnie_zadania_po_lineynoy_algebre

11

5. Методом Гаусса решить систему однородных уравнений

x1

+ 2x2

+ 4x3

− 3x4

= 0,

3x

+ 5x + 6x

− 4x

= 0,

5.1. 4x1

+ 5x2

−

2x3

+

3x4

= 0,

3x1

+ 8x2

+ 24x3

− 19x4

= 0;

1

2

3

4

3x1

+ 2x2

+ x3

+ 3x4

+ 5x5

= 0,

6x

+ 4x

+ 3x

+ 5x

+ 7x

= 0,

5.2. 9x1

+ 6x2

+ 5x3

+ 7x4

+ 9x5

= 0,

3x1

+ 2x2

3

+ 4x4

+ 8x5

= 0;

1

2

4

5

5x1

+ 6x2

− 2x3

+ 7x4

+ 4x5

= 0,

2x

+ 3x

− x

+ 4x

+ 2x

= 0,

5.3. 7x1

+ 9x2

− 3x3

+ 5x4

+ 6x5

= 0,

5x1

+ 9x2

− 3x3

+

x4

+ 6x5

= 0;

1

2

3

4

5

3x1

+ 4x2

+ x3

+ 2x4

+ 3x5

= 0,

5x

+ 7x

+ x

+ 3x

+ 4x

= 0,

5.4. 4x1

+

5x2

+ 2x3

+

x4

+ 5x5

= 0,

7x1

+ 10x2

+

x3

+ 6x4

+ 5x5

= 0;

1

2

3

4

5

2x1

− 5x2

+ 3x3

+ 2x4

+ x5

= 0,

5x

− 8x

+ 5x

+ 4x + 3x

= 0,

5.5.

x1

− 7x2

+ 4x3

+ 2x4

5

= 0,

4x1

−

x2

+

x3

+ 2x4

+ 3x

= 0;

1

2

3

4

5

3x1

+ 2x2

+ 5x3

+ 2x4

+ 7x5

= 0,

6x

+ 4x + 7x

+ 4x + 5x

= 0,

5.6. 3x1

+ 2x2

−

x3

+ 2x4

− 11x5

= 0,

6x1

+ 4x2

+

x3

+ 4x4

− 13x5

= 0;

1

2

3

4

5

x1

− 2x2

+ x3

− x4

+ x5

= 0,

2x + x

− x

+ 2x

− 2x

= 0,

5.7.

3x1

− 2x2

− x3

+

x4

−

x5

= 0,

2x1

− 5x2

+ x3

− 2x4

+ 2x5

= 0;

1

2

3

4

5

x1

+ x2

− 3x4

− x5

= 0,

x − x

+ 2x − x

− 4x

= 0,

5.8. 4x1

+ x2

+ 6x3

+ 3x4

= 0,

2x1

+ 8x2

− 2x3

+ 4x4

− 7x5

= 0;

1

2

3

4

5

3x1

− x2

+ 2x3

+ 6x4

+ 3x5

= 0,

6x + 2x + 2x

+ 4x

+ 9x = 0,

5.9. 9x1

− 3x2

+ 4x3

+

2x4

+ 15x5

= 0,

6x1

− 2x2

+ 5x3

+ 20x4

+ 3x5

= 0;

1

2

3

4

5

	2x1		+ 7x2	+ 4x3	+ 5x4		+ 8x5		= 0,
	4x + 4x + 8x + 5x + 4x								= 0,
5.10.		x1	− 9x2	− 3x3	− 5x4		− 14x5		= 0,
	3x1		+ 5x2	+ 7x3	+ 5x4		+ 6x5		= 0;
		1	2	3		4		5
		x1	− x2	+ x3	− x4		= 0,
		x	− 2x	+ x − x = 0,
5.11. 2x1			− 2x2	+ 3x3	+ x4		= 0,
	4x1		− 5x2	+ 5x3	+ x4		= 0;
		1	2	3		4
		3x1	+ 3x2 − x3			+ 3x4		+ 2x5	= 0,
	2x		+ 12x	− 4x		+ 4x		+ 8x	= 0,
5.12.	7x1					+ 5x4			= 0,
	2x1		+ 3x2 − x3			− 2x4		+ 2x5	= 0;
		1	2		3		4	5

93xx1 ++

5.13. 3x1 +

6x11 +

3xx1 ++

5.14. 5x1 +

4x11 +

2xx1 −−

5.15. 5x1 −

4x11 −

4xx1 ++

5.16. 3x1 −

6x11 −

2x1 −

5.17. 4xx1 ++

x11 −

53xx1 +−

5.18. x1 +

7x11 −

2xx1 +

5.19. 3x1 −

3x11 +

25xx1 ++

5.20. 5x1 +

8x11 +

2x −

5.21. 3x11 −

4x1 −

25xx1 ++

5.22. 1

6x1 +2x +

5.23. 4x11 +

2x1 +

93xx1 ++

5.24. 3x1 +

6x11 +

4x2	+ 3x3	+ 9x4		+ 6x5			= 0,
8x2	+ 5x3	+ 6x4		+ 9x5			= 0,
8x2	+ 7x3	+ 30x4		+ 15x5			= 0,
6x2	+ 4x3	+ 7x4		+ 5x5			= 0;
6x2	+ 8x3	+ 5x4	− 4x5			= 0,
4x2	+ 2x3	+ x4	+ 6x5			= 0,
9x2	+ 7x3	+ 4x4	+ 7x5			= 0,
3x2	− x3	− x4	+ 11x5			= 0;
7x2	+ 4x3	+ 2x4	+ x5		= 0,
5x2	+ 3x3	+ 2x4			= 0,
8x2	+ 5x3	+ 4x4	+ 3x5		= 0,
x2	+ x3	+ 2x4	+ 3x5		= 0;
2x2	− 3x3	+ x4	= 0,
x2	− x3	+ 5x4	= 0,
x2	+ 2x3	+ 4x4	= 0,
2x2	+ 4x3	+ 8x4	= 0;
x2 + 3x3		− x4	= 0,
x2	+ 3x3	+ 2x4	= 0,
x2		+ 3x4	= 0,
2x2	+ 3x3	− 3x4	= 0;
2x2	+ x3	+ x4	= 0,
x2		+ 2x4	= 0,
5x2	− x3		= 0,
4x2	+ 2x3	− x4	= 0;
3x2	− 4x3	− 6x4		+ 2x5			= 0,
	− 5x3	+ 3x4		− 8x5			= 0,
3x2	− 3x3	− 15x4		+ 12x5			= 0,
3x2	− 9x3	− 3x4		− 6x5			= 0;

x2	− 3x3	+ 4x4	= 0,
3x2	− 4x3	+ 6x4	= 0,
4x2	+ 3x3	− 2x4	= 0,
3x2	− 19x3	+ 24x4	= 0;
4x2	+ 5x3	+ 3x4	= 0,
6x2	+ 4x3	+ 2x4	= 0,
8x2	+ 17x3	+ 11x4	= 0;
x2	− 3x3	+ 4x4	= 0,
3x2	− 4x3	+ 6x4	= 0,
x2	+ 7x3	− 8x4	= 0,
2x2	− 16x3	+ 20x4	= 0;

5x2	+ 7x3	− x4	= 0,
7x2	+ 5x3	− 2x4	= 0,
x2	− 5x3	− x4	= 0;
4x2	+ 3x3	+ 9x4	+ 6x5	= 0,
6x2	+ 5x3	+ 6x4	+ 9x5	= 0,
8x2	+ 7x3	+ 3x4	+ 15x5	= 0,
6x2	+ 4x3	+ 7x4	+ 5x5	= 0;

А. В. З е н к о в

Л и н е й н а я а л г е б р а

Т и п о в ы е р а с ч ё т ы

12

24xx1 ++

5.25. 3x1 −

6x11 −

x1 −

5.26. x1 −

x +3x11 +

x2	− 3x3	+ x4	= 0,
x2	− x3	+ 5x4	= 0,
x2	+ 2x3	+ 4x4	= 0,
2x2	+ 3x3	+ 8x4	= 0;
2x2	+ 3x3	+ 4x4	= 0,
x2	+ 2x3	+ 2x4	= 0,
x2	+ x3	− x4	= 0,
x2	+ 3x3	− x4	= 0.

А. В. З е н к о в

Л и н е й н а я а л г е б р а

Т и п о в ы е р а с ч ё т ы

13

6. Решить матричное уравнение

													1
		2 3 1					=	1 −3 2			;	6.14.			−2 3						3 2 1			;
6.1.		4 −1			1 x			5 −1		5			3 −1			0 x =					5	0	4
	5 1 1						1 −1 3					0 4 2							1 −3 2
		1		−1
					−2			−1 1 −1			;	6.15. x			5 3 1			=			−8 3 0			;
6.2.		2 −1 −1 x =						3 −1		2					1 −3 −2						−5	9	0
	−1 3 2						2 2 1						−5 2 1 −2 15 0
		−1		−1 2
							=	1 0 −1			;	6.16.	3 1 1					=			5 0 3
6.3.		0		5 −3 x				−1	2 12				2		0	1 x					4	0	1 ;
	−1 4 0						2 3 12					1 0 −1							−1 0 −1
															1						1
	x			2 −1 3			=	4 −2 6			;	6.17. x				1 −1		=				−1 3
6.4.				3	2	2		8 17 −3							2	1	0				4	3	2 ;
		1 3 1 24 2 26											1 −1 1 1 −2 5
		−3 0 2											3								7
							=	7 −6 −2				6.18.			−1 0			=				−1 1		;
6.5.		0 −3			0 x			0	3 −6 ;				0		1	0 x					−1	1 −1
	2 2 −3						−8 2 7					2 0 −3							1 −3 −3
	x		9 7 6			=	2 −3 1			;		6.19. x		0 1 1			=		8 7 11				;
6.6.			1 1 2				4 −5		2					2 1 2				13			1	5
		1 1 1 5 −7 3											3 0 1 8 4 7
		1 0
					−2			−1 1 −2				6.20.	2 1 1					10 1 5
6.7.		3		1	4 x =			22 −1 25 ;					2 2 1 x = 10								2 6 ;
	2 −1 1						3 6 10					3 0 1					15 0 5
															2
	x			1 −1 2			=	1 1 1			;	6.21. x				1 1		=		−7 6 −5				;
6.8.				2	4 −1			0	3 −2					−1		1	0				0	3	9
		4 2 0 1 2 5											0 1 3 8 5 7
		1		−1 2									0 1								−1
								3 2 −1			;	6.22.				−2						−3 −5		;
6.9.		0		5 −3 x =				1	1	1			1		0 −1 x =						5 −3 −1
	1 4 0						0 4 −3					0 1 1							−1 3 4
6.10. x				2 −1 0				1 1 1				6.23. x			3 0 1			=			−24 0 0				;
				0	3	4	= 0 3 1 ;							−2		2	3				4		2	5
		2 1 4 2 5 8											−4 0 0 −12 0 0
								1 2					3								6
6.11. x				2 3 −1			=			0		6.24.			−1 0			=				−1 1		;
				0	2	5		3 −1		4 ;			0		1	0 x					−1	1	4
		1 5 4 1 1 1										2 0 −3							1 −3 −3
		0 3
6.12.					−1			2 4 0			;	6.25.	3 1 1					=			5 8 3
		1 −4			2 x =			3	1 −1				2		0	1 x					4	1	1 ;
	2 −1 0						1 2 5					1 0 −1							−1 0 −1
6.13. x				2 −1 3			=	1 3 2				6.26.	4 1 1						6 6 5
				4	0	1		0 −1		5 ;			2 0 1 x =						2 5 0 .
		2 1 4 1 1 1										1 0 0					1 1 1

А. В. З е н к о в

Л и н е й н а я а л г е б р а

Т и п о в ы е р а с ч ё т ы

14

7.Пользуясь определением, проверить, являются ли данные векторы линейно зависимыми или линейно независимыми

1

=

{

}

,

1

=

{

}

a

1, 2, 0,

− 2

a

−1, 0, 2, 0 ,

7.1. a2

=

{−3,1,1, 0}

,

7.9. a2

=

{3, 0,

−1, 0}

,

a

3

=

{

0, 5,

−

}

,

a

3

=

{

2,1,

}

,

4

{

1,1

4

{

− 2, 0

a

=

4, 0,

−

}

;

a

=

}

2,1

0, 0,1, 0 ;

1

=

{

−

}

,

1

=

{

}

,

a

2

1, 2, 3,

4

a

2

0,

−1, 2, 0

a

=

{

2, 3, −

}

,

7.10. a

=

{

}

,

7.2.

3

{

4,1

3

1, 0,1,1

a

=

2,

− 5, 8, −

}

,

a

=

{

}

,

4

{

3

}

4

1,1,1, 0

a

=

;

a

=

{

}

;

5, 26, − 9, −12

2,1, 2,1

1

=

{

}

,

1

=

{

}

,

a

2

1, 2, 3, 4

a

2

1, 0,1, 2

a

=

{

0,1, 2,

−

}

,

7.11. a

=

{

}

,

7.3.

3

3,1,1, −1

a3 =

{−3, 0,1, − 4},

a3 =

{5,1, 3, 3},

a

4

=

{

4, 5, 3,

}

;

a

4

=

{

}

;

−1

1, 0, 0,1

1

=

{

}

,

1

=

{

}

,

a

2

1,

− 2, 3, 4,1

}

a

2

1, 2, 0, 2

a

=

{

2,

− 3,

−1,1,−

,

7.12. a

=

{

}

,

7.4.

3

{

1

3

{

−3,1,1, 0

a

=

}

,

a

=

}

,

1,

−1,1, −1, 0

−2, 3,1, 2

a4

=

{3, − 4,10, 4, 3}

;

a4

=

{−7, 7, 3, 4}

;

1

=

{

2,

}

,

1

=

{

}

,

a

2

{

−1, 0,1, 3

a

2

1, 0, 0, 0

a

=

}

,

7.13. a

=

{

}

,

7.5.

3

{

−1,1, 2, −1,1

3

{

2,1,1, 3

a

=

}

,

a

=

}

,

4

1, 0, 0, 2, −

1

4

0,1, 0,1

a

=

{

}

;

a

=

{

}

;

3,1, 4, 5, 2

0, 0,1,1

1

=

{

}

,

1

=

{

}

,

a

2

1, 3, 2, 4

}

a

2

1,

−1, 3, 4

a

=

{

0,

7.14. a

=

{

}

,

7.6.

3

{

−1, −1,1 ,

3

{

0,1,1, 5

a

=

}

,

a

=

}

,

4

{

−2, 0,1, 2

4

3, 0,1,1

a

=

}

;

a

=

{

}

7, 8, 3,10

1,1,1,1 ;

1

=

{

}

,

1

=

{

0, 2, 0, −

}

,

a

1, 2, 3, 4

a

1

7.7.

a2

=

{2, 3, 4, 5}

,

7.15. a2

=

{0,

−1, 0, 3}

,

a

3

=

{

}

,

a

3

=

{

}

,

3, 4, 5, 6

1,

− 2, 0, 2

a4 =

{4, 5, 6, 7}

;

a4 =

{0,1, 0, 0}

;

1

=

{

}

1

=

{

}

,

a

2

1, 0, −1,1

,

a

2

{

2,1, − 2, 0

a

=

{

}

,

7.16. a

=

}

,

7.8.

3

{

2,1, 0, 3

3

1,

− 3, 0,1

a

=

−

}

,

a

=

{

}

,

4

0,1, 0,

1

4

5, 0,1, −

1

a

=

{

−

}

;

a

=

{

0, 4,1, −

}

;

1, 0, 0,

2

2

А. В. З е н к о в

Л и н е й н а я а л г е б р а

Т и п о в ы е р а с ч ё т ы

15

a	= {0,1, 2,1},		a	= {1, 0,1, 5},
7.17. a12	= {1, 3, −1,1},		7.22. a12	= {−2,1, 4, −1},
a	= {1, 5, 3, 3},		a = {−3, 0, 4, 7}		,
a34	= {0,1,1, 0}	;	a34 = {2,1, 0, 2};
a = {1, 0, 2, 4},			a = {0,1, − 2, 0},
7.18. a12	= {3, −1, 2, 4},		7.23. a12	= {1, 0,1,1},
a3	= {−2, 0,1, 2},		a3	= {1,1, −1, 0},
a4	= {−2,1, 0, 0};		a4	= {2,1, 2,1};
a	= {0,1, 0, 0},		a = {1, 0, − 3, 4},
7.19. a12	= {1, 2, 3,1}	,	7.24. a12	= {−5,1, 0, 3},
a	= {1, 0,1, 0}	,	a = {2, 0, 4, 3},
a34	= {0, 0,1,1}	;	a34 = {3, −1, 6, −11};
a = {−4, 3, 2,1},			a = {1, 0, − 2, 4},
7.20. a12	= {1, − 4, 3, 2},		7.25. a12	= {3, −1, 2, 4}	,
a3	= {−3, 8, − 5, 2},		a3	= {2, 0,1, − 2}	,
a4	= {−12, − 9, 26, 5};		a4	= {−2,1, 0, 0};
a = {1, 0, 2, −1},			a = {1, 0, 2, 0},
7.21. a12	= {2,1, 3,1}	,	7.26. a12	= {−2,1, 0, 0},
a3	= {0,1, 0,1}	,	a3	= {0,1, 0,1},
a4	= {1, 0, 2,1}	;	a4	= {1, 3, 2, 4}.

А. В. З е н к о в

Л и н е й н а я а л г е б р а

Т и п о в ы е р а с ч ё т ы

8.В базисе {’ e1, ’e2, ’e3} задан вектор x = {x1, x2, x3}. Найти координаты этого вектора в

базисе {e1 , e2 , e3 }16

8.1.x = {6, −1, 3},

e1′ = e1 + e2 + 2e3 ,
	= 2e1	− e2		,
e2′					;
e′	= −e	+ e	2	+ e
3	1			3

8.2.x = {1, 2, 4},

e1′ = e1				+ e2 + 3e3 ,
e′	=	3	e		− e		,
2	2			1	+ e	2	+ e ;
e′	= −e					2
3				1			3

8.3.x = {1, 3, 6},

e1′ = e1				+ e2 + 4e3 ,
e′	=	4	e − e				,
2	3			1	+ e	2	+ e ;
e′	= −e					2
3				1			3

8.4.x = {2, 4,1},

e′	= e + e	2	+			3	e ,
1	1				2 3
e2′	= 3e1 − e2 ,				+ e ;
e′	= −e + e			2
3	1				3

8.5.x = {6, 3,1},

e′	= e + e	2	+				4	e ,
1	1					3 3
e2′	= 4e1 − e2				,	+ e ;
e′	= −e + e			2
3	1					3

8.6.x = {1, 4, 8},

e1′ = e1				+ e2 + 5e3 ,
e′	=	5	e		− e		,
2	4			1	+ e	2	+ e	;
e′	= −e					2
3				1			3

8.7.x = {8, 4,1},

e′	= e + e	2	+			5	e ,
1	1				4 3
e2′	= 5e1 − e2 ,				+ e ;
e′	= −e + e			2
3	1				3

8.8.x = {2, 5,10},

e1′ = e1				+ e2 + 6e3 ,
e′	=	6	e − e				,
2	5			1	+ e	2	+ e ;
e′	= −e					2
3				1			3

8.9.x = {10, 5,1},

e′	= e + e	2	+			6	e ,
1	1				5 3
e2′	= 6e1 − e2 ,				+ e ;
e′	= −e + e			2
3	1				3

8.10.x = {1, 6,12},

e1′ = e1				+ e2 + 7e3 ,
e′	=	7	e − e				,
2	6			1	+ e	2	+ e ;
e′	= −e					2
3				1			3

8.11.x = {−12, 6,1},

e′	= e + e		2	+				7	e ,
1	1						6 3
e2′	= 7e1	− e2				,	+ e ;
e′	= −e	+ e			2
3	1						3

8.12.x = {−1, 7,14},

e1′ = e1				+ e2 + 8e3 ,
e′	=	8	e − e				,
2	7			1	+ e	2	+ e ;
e′	= −e					2
3				1			3

8.13.x = {−3, 2, 4},

e1′ = e1				+ e2 − e3 ,
e′	=	1	e		− e		,
2	2			1	+ e	2	+ e	;
e′	= −e					2
3				1				3

8.14.x = {2, 4, 3},

e′	= e + e		2	+			1	e ,
1	1						2 3
e2′	= −e1	− e2				,
e′	= −e	+ e			2	+ e ;
3	1						3

8.15.x = {2, 6, − 3},

e1′ = e1				+ e2 − 2e3 ,
e′	=	2	e − e				,
2	3			1	+ e	2	+ e ;
e′	= −e					2
3				1			3

8.16.x = {12, 3, −1},

e′	= e + e	2	+			2	e ,
1	1					3 3
e2′	= −2e1 − e2					,
e′	= −e + e			2	+ e ;
3	1					3

8.17.x = {1, − 4, 8},

e1′ = e1				+ e2 − 3e3 ,
e′	=	3	e		− e		,
2	4			1	+ e	2	+ e ;
e′	= −e					2
3				1			3

8.18.x = {1, 4, − 8},

e1′ = e1				+ e2 − 3e3 ,
e′	=	3	e − e				,
2	4			1	+ e	2	+ e ;
e′	= −e					2
3				1			3

А. В. З е н к о в

Л и н е й н а я а л г е б р а

Т и п о в ы е р а с ч ё т ы

17

8.19.x = {7, − 5,10},

e′	= e		+ e		2	− 4e				,
1	1								3
e′	=	4	e	− e				,
2	5		1	+ e			2	+ e			;
e′	= −e						2
3			1						3

8.20.x = {5, − 5, − 4},

e′	= e + e	2	+			4	e	,
1	1					5 3
e2′	= −4e1 − e2					,		;
e′	= −e + e			2	+ e
3	1					3

8.21.x = {1, − 6, 6},

e′	= e		+ e		2	− 5e ,
1	1								3
e′	=	5	e	− e				,
2	6		1	+ e			2	+ e ;
e′	= −e						2
3			1						3

8.22.x = {6, 6, 2},

e′	= e + e	2	+			5	e ,
1	1					6 3
e2′	= −5e1 − e2					,
e′	= −e + e			2	+ e ;
3	1					3

8.23.x = {1, 7, − 7},

e′	= e + e					2	− 6e ,
1	1									3
e′	=	6	e		− e				,
2	7			1	+ e			2	+ e ;
e′	= −e							2
3				1						3

8.24.x = {10, 6, 2},

e′	= e + e	2	+				7	e ,
1	1					6 3
e2′	= 7e1 − e2				,	+ e ;
e′	= −e + e			2
3	1					3

8.25.x = {3,12, − 4},

e′	= e			+ e		2	− e ,
1	1									3
e′	=	1	e		− e				,
2	2			1	+ e			2	+ e ;
e′	= −e							2
3				1						3

8.26.x = {7, 7, 2},

e′	= e + e	2	+			6	e ,
1	1					7 3
e2′	= −6e1 − e2					,
e′	= −e + e			2	+ e .
3	1					3

А. В. З е н к о в

Л и н е й н а я а л г е б р а

Т и п о в ы е р а с ч ё т ы

18

9. Операторы

9.1.Вектор х = {х1, х2 , х3}. Линеен ли оператор А , если Ax = {х1 + х3 , х1 − 2х2 , х3 − х1х2 }? Показать линейность оператора В, если Bx = {x2 , 2x3 , x1}. Найти матрицу оператора

B в базисах {i, j, k} и {e1 = i + j, e2 = k, e3 = i + 2k}.

9.2.Вектор х = {х1, х2 , х3}. Линеен ли оператор А , если Ax = {х1 + х2 , х3 х2 − х1, х3 − 2х1}? Показать линейность оператора В, если Bx = {x1 − x2 , x3 , x2 + x3}. Найти матрицу

оператора B в базисах {i, j, k} и {e1 = i + k, e2 = k, e3 = j}.

9.3.Вектор х = {х1, х2 , х3}. Линеен ли оператор А , если Ax = {х3 − 4х1, х2 х1, х1 + 3х2 }? Показать линейность оператора В, если Bx = [а × х], где а = {1,0, 2}. Найти матрицу

оператора B в базисах {i, j, k} и {e1 = i − k, e2 = k, e3 = j}.

9.4. Вектор х = {х1, х2 , х3}.	Линеен ли	оператор А , если	Ax = {3х2 , х1 х3 , х2 − 4х1}?
Показать линейность	оператора В,	если Bx = а(а, х) ,	где а = {0,1, −1} . Найти

матрицу оператора B в базисах {i, j, k} и {e1 = i − k, e2 = k, e3 = j + k}.

9.5. Вектор х = {х1, х2 , х3}. Линеен ли оператор А , если Ax = {х1 + х2 , 2х3 + х2 , х1х3}? Показать линейность оператора В, если Bx = {х2 − х1, х3 , х1 + х3}. Найти матрицу

оператора B в базисах {i, j, k} и {e1 = 2i − k, e2 = k, e3 = 2 j + k}.

9.6. Вектор х = {х1, х2 , х3}. Линеен ли оператор А , если Ax = {х2 + 3х1, 3х3 , х22 }? Показать линейность оператора В, если Bx = {х3 − х1, х2 , х1 + 2х2 }. Найти матрицу оператора B в базисах {i, j, k} и {e1 = 2 j + k, e2 = i, e3 = 2i − k}.

9.7. Вектор х = {х1, х2 , х3}. Линеен ли оператор	А ,	если				Ax = {	1	х1 + х2 , х33 , х1 − 4х2 }?
					]		2
Показать линейность оператора В, если	Bx =	[	x × a			, где		{	}
								а = 1,1,	−2 . Найти
матрицу оператора B в базисах {i, j, k} и {e1 = 2i − k, e2					= i + k, e3 = j}.
9.8. Вектор х = {х1, х2 , х3}. Линеен ли оператор	А , если			Ax ={х2				х1 , х1 + 4х2 , х1 − х3}?

Показать линейность оператора В, если Bx = {x1 − 3x2 , x3 , x2 + 2x3}. Найти матрицу

оператора B в базисах {i, j, k} и {e1 = i + 3k, e2		= k, e3 = − j}.
9.9. Вектор х = {х1, х2 , х3}. Линеен ли оператор		А , если Ax ={х2 + 5х1, 7х3 − х1, х1х3}?
Показать линейность оператора В,	если Bx =	{x3 − 3x2 , x2 , x1 + 2x3}. Найти матрицу
оператора B в базисах {i, j, k} и {e1	= 3i + k, e2	= i, e3 = − j + k}.
9.10. Вектор х = {х1, х2 , х3}. Линеен ли оператор А , если Ax = {х1			х3 , х2 − 3х1, х1}?
Показать линейность оператора В,	если Bx = {x1 − x2 , x2 + x3 , 3x1}.		Найти матрицу
оператора B в базисах {i, j, k} и {e1	= i + 2k, e2	= k, e3 = k − j}.

А. В. З е н к о в

Л и н е й н а я а л г е б р а

Т и п о в ы е р а с ч ё т ы

19

9.11.	Вектор х = {х1, х2 , х3}.	Является	ли оператор	А	линейным,		если
	Ax = {х1, х2 + 3х3 , х22 + 2х12 }?	Показать	линейность	оператора		В,	если
	Bx = {x3 − x2 , x2 − x1, 3x3}. Найти матрицу		оператора B	в	базисах	{i, j, k} и
	{e1 = 2i + k, e2 = j + k, e3 = k − j}.

9.12.Вектор х = {х1, х2 , х3}. Линеен ли оператор А , если Ax ={х1 − х3 , 12 х2 , х2 + х3 }?

Показать линейность оператора В, если

Bx =

{x3 + 2x2 , x2 , 3x1}. Найти

матрицу

оператора B в базисах {i, j, k} и {e1 = 2i + j + k, e2

= k, e3 = k − j}.

9.13.

Вектор х = {х1, х2 , х3}. Линеен ли оператор

А , если

Ax = {х12 ,

2х2 ,

x3 + 4x2 }?

Показать линейность оператора В,

если Bx = {x3 , 4х1 + x2 , x1 − х2 }.

Найти матрицу

оператора B в базисах {i, j, k} и {e1 = i − j + k, e2 = k, e3 = j + k}.

9.14.

Вектор

х = {х1, х2 , х3}.

Является

ли

оператор

А

линейным,

если

Ax = {х3 −

1

x1 + x2 ,

, x3}?

Показать

линейность

оператора

В,

если

x1x3

3

Bx = {x2 , 4х1 + x3 , x1 − х2 }.

Найти матрицу

оператора

B

в

базисах

{i, j, k}

и

{e1 = i − j + 2k, e2 = j, e3 = j + 3k}.

9.15.

Вектор

х = {х1, х2 , х3}.

Является

ли

оператор

А

линейным,

если

Ax = {3х2 , x33 + х1, x3}?

Показать

линейность

оператора

В,

если

Bx = {3x3 , 4х1 + x3 , x1 + х2 }.

Найти

матрицу

оператора

B

в

базисах

{i, j, k}

и

{e1 = − j + 3k, e2 = j, e3 = i + 3k}.

9.16.

Вектор

х = {х1, х2 , х3}.

Является

ли

оператор

А

линейным,

если

Ax = {3х2 − x1, 3

, х2 + x3}?

Показать

линейность

оператора

В,

если

x3

Bx = {7x2 , 4х2 − x3 , x1 + х2 }.

Найти

матрицу

оператора

B в

базисах

{i, j, k}

и

{e1 = −i + 2k, e2 = j − k, e3 = i + 3k}.

9.17.

Вектор х = {х1, х2 , х3}. Линеен ли оператор

А , если

Ax = {х1, х2 х3 , х2 + 3x1 + x3}?

Показать линейность оператора В, если Bx = {6x3 , 2х2 + x3 , x1 − х2 }. Найти матрицу

оператора B в базисах {i, j, k} и {e1 = −2i − k, e2		= j − k, e3 = i + 2k}.
9.18. Вектор	х = {х1, х2 , х3}. Линеен ли оператор	А , если Ax ={2х2 − x1		, х3 − 2, х1x2 }?
Показать	линейность оператора В, если Bx = {x2 − x3 , 4х1 + x2 , x1 − х2			+ x3}. Найти
матрицу оператора B в базисах {i, j, k} и {e1 = i + 3k, e2			= i, e3 = 2 j + k}.
9.19. Вектор	х = {х1, х2 , х3}. Линеен ли оператор А , если		Ax = {7х1 + x2 , х3 − х1, х23 +1}?

Показать линейность оператора В, если Bx = {x3 + 2x1, − x2 , 3x3 − x1}. Найти матрицу оператора B в базисах {i, j, k} и {e1 = 2i + j + k, e2 = k, e3 = k − j}.

А. В. З е н к о в

Л и н е й н а я а л г е б р а

Т и п о в ы е р а с ч ё т ы

20

9.20. Вектор	х = {х1, х2 , х3}. Линеен		ли	оператор	А , если Ax = {х1x2 ,1, х3 + x1}?
Показать	линейность оператора		В,	если Bx = {2x1 + x3 , 4х1 + x2 , x1 + х2 }. Найти
матрицу оператора B в базисах {i, j, k} и {e1 = −i + 3k, e2 = −k, e3 = j + 3k}.
9.21. Вектор	х = {х1, х2 , х3}.	Линеен	ли	оператор	А , если	Ax = {x12 − х2 , x3 , х2 −1}?
Показать линейность оператора В,			если Bx = {5x3 , 4х2 − x3 , x1 − х2 }. Найти матрицу
оператора B в базисах {i,		j, k} и {e1 = j − i + 2k, e2			= j − k, e3 = i + 3k}.
9.22. Вектор	х = {х1, х2 , х3}.	Линеен ли оператор			А , если	Ax ={x1 x2 , x3 + х1, х3}?
Показать линейность оператора В,			если Bx = {x1 − x2 − x3 , 2х1 + x2 , − х2 + x3}. Найти

матрицу оператора B в базисах {i, j, k} и {e1 = i − 2k, e2 = i − j, e3 = 2 j + k}.

9.23. Вектор

х = {х1, х2 , х3}. Линеен ли оператор

А ,

если

Ax ={2, х3 х2 , х1 − x2 }?

Показать

линейность оператора В, если

Bx = {х2 − х1,

х3 ,

х1 + 2х2 + x3}.

Найти

матрицу оператора B в базисах {i, j, k} и {e1 = i + 2 j + k, e2

= i − j, e3 = 2i − k}.

9.24. Вектор

х = {х1, х2 , х3}. Линеен ли оператор А ,

если

Ax = {x12 − 4x2 , x1 + х2 , х3}?

Показать

линейность оператора В, если

Bx = {x3 − 4x2 , 3х2 − x1, x1 + х2 }.

Найти

матрицу оператора B в базисах {i, j, k} и {e1 = −i + j + 3k, e2 = j − k, e3 = i + 3k}.

9.25. Вектор

х = {х1, х2 , х3}. Линеен ли оператор

А , если

Ax ={х3 , х2 +1+ х1, х1 + 3х2 }?

Показать

линейность оператора В, если

Bx =

[

а ×

х

]

,

где

а =

{

}

Найти

−1,3, 2 .

матрицу оператора B в базисах {i, j, k} и {e1 = i − k, e2

= j + k, e3 = j}.

9.26. Вектор

х = {х1, х2 , х3}. Линеен ли оператор А , если

Ax ={3х2 ,

x1x2 x3 ,

х2 − 4х1}?

Показать

линейность оператора В, если

Bx = а(а, х) ,

где

а = {3,1, −2}.

Найти

матрицу оператора B в базисах {i, j, k} и {e1 = i + j − k, e2

= 2k, e3 = j + k}.

А. В. З е н к о в

Л и н е й н а я а л г е б р а

Т и п о в ы е р а с ч ё т ы