Domashnie_zadania_po_lineynoy_algebre

Министерство образования и науки Российской федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Уральский федеральный университет имени первого президента России Б.Н. Ельцина»

================================================================

А.В. ЗЕНКОВ

================================================================

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

================================================================

З а д а ния д л я т иповы х ра с чё т ов

Е ка теринбург

2 0 1 3

УДК 512 (075.8) ББК 22.37

З30

ЗЕ Н К ОВ А.В.

З30 Линейная алгебра: Задания для типовых расчётов / А.В. Зенков.

Екатеринбург: УрФУ, 2013. 26 с. ISBN 5-321-19442-5

Учебное пособие предназначено для студентов экономических специальностей и содержит 26 вариантов типовых расчётов по линейной алгебре – разделу математики, изучаемому во втором семестре.

В оформлении обложки использованы картины художников-прерафаэлитов Дж.Э. Миллеса «Осенние листья» (1856) и А. Хьюза «Апрельская любовь» (1855-56).

УДК 512 (075.8) ББК 22.37

ISBN 5-321-19442-5

© А.В. Зенков, 2013

4	Индивидуальные задания
	по линейной алгебре

1. Вычислить определитель

1.1.							1				1	4	3
							5				1	1	2					;
							2				1	2	1
							1				0	3	1
1.3.							1				1	1	4
							1				1	2	1					;
							1				2	1	1
							4				1	1	1
1.5.						3						4	6					7
						1					−2		3					4		;
						5					−1		2					4
						8						7	1					5
1.7.										1	1	4	1
										2	1	3	2					;
										3	1	2	1
										4	1	1	0
1.9.								1			2	6	7
								2			2	3	4					;
								3			3	3	4
								4			4	4	4
1.11.									3		1	1	1
									1		2	1	1					;
									1		1	2	1
									1		1	1	3
1.13.					1							1	1					1
					1							2	3					4	;
					1							4	10					20
					1							3	6					10
1.15.								1			2	3	4
								2			3	4	1					;
								3			4	1	2
								4			1	2	3

1.2.						1				1	1						1
						1				2	3				4					;
						1				4	9	16
						1				8	27	64
1.4.					1					2	3	4
									−2	1 −4		3					;
					3					−4	−1	2
					4					3 −2 −1
1.6.						2				1	3	1
						4				3	7	3					;
						1				7	8	7
						3				9	12	6
1.8.									1	3	−1				1
									1	2	3	−1						;
									3	0	−1				1
									1	1	4	5
1.10.							2			1 −1		0
							3			5	4 −1				;
							0			2	1	3
									1 −1		3	1
1.12.							1			2	3	1
							3			0 −1 −1					;
							7			1	1	3
							4			1	4 −1
1.14.								1		2	1 −1
								1		5	4	1			;
								3		0	7	1
								1		1	3	1
1.16.							2			1	3	0
							3			5	4 −1				;
							0			2	1	3
									1 −1		4	4

А. В. З е н к о в

Л и н е й н а я а л г е б р а

Т и п о в ы е р а с ч ё т ы

5

1.17.		1		2	3 −1						1.18.				1	1	3 −1
		1		1 −1		1	;								1	0 −1		1	;
			3 0 −1 2												3 7 −1 1
		0		1	4 −1										0	4	4 −1
1.19.		2		1 −1		0					1.20.				2	1	4	2
		2		3	2	3	;								3	5	4 −1		;
		4		2	1	3									0	2	1	3
		1		−1	6	1									3 −1		3	1
1.21.		2		−5	1	2					1.22.				2	1 −1		0
			3 5 4 −1							;					3 3 4 −1				;
		0		2	1	3									1	2	1	3
			1 −6		3	1									1 −1		3	1
1.23.			2	1 −1		1					1.24.			1		3	−1		1
			3	5	4	−1				;				1		2	3		8		;
			0 2 1 3												3 0 −1 1
			5	−1	3 −9									2		1	4		5
1.25.		2		−2	−1	1					1.26.				1	6	−1		1
		3		5	4	−1				;					1	2	3	−1			.
		0 2 1 4													3 0 −1 1
			1 −1		3	1									1	2	4		5

А. В. З е н к о в

Л и н е й н а я а л г е б р а

Т и п о в ы е р а с ч ё т ы

6

2. Найти значение полинома f(x) от матрицы A

2.1. f (x) = 3x2 − 2x + 5,

	1 −2
A =		3	;
	2 −4	1
	3 −5	2

2.2. f (x) = x3 − 7x2 − 2x + 5,

			5
	A =			2 −3		;
			1	3	−1
			2	2 −1
2.3.	f (x) = x3 − x2 − 9x + 9,
			1	2
	A =				−2	;
			1	0	3
	1 3 0
2.4.	f (x) = x3 − 5x2 + 7x − 3,
			1	−2
	A =				0	;
		−2		1	0
			0	0	3
2.5.	f (x) = 4x4 −10x3 + 3x2 ,
		0
	A =		1 0
		0 0 1 ;
		0 0 0

2.6.f (x) = x2 − 3x − 9,

5 2 −3

A = 1 3 −1 ;

2 1 −1

2.7. f (x) = x2 − 2x + 3,

A =	1 0 0	;
	0 1 2
	4 3 5

2.8. f (x) = 3x2 − x + 4,

	1	−1
A =			2	;
	3	0	1
	0	2	−1

2.9. f (x) = (x −1)2 ,

	3	2
A =			−1	;
	1	1	5
	2 −3		1

2.10. f (x) = (2x − 2)3 ,

	3	0
A =			0	;
	−1	2	2
	0	1	1
2.11. f (x) = 2x3 + 3,
	−1	2
A =			1	;
	1	0	3
	2 −1		1

2.12. f (x) = x3 − x2 + 4,

	1	2
A =			0	;
	−1	1	0
	2	0	−1

2.13. f (x) = x3 − 2x + 4,

	0	1
A =			1	;
	−1	1	−3
	1	−1	0

2.14. f (x) = x3 − x + 5,

	1	0
A =			0	;
	2	−1	0
	0	1	2

2.15. f (x) = 2x2 + x + 3,

	4	−2
A =			0	;
	0	3 −1
	1	1	1

2.16. f (x) = 2x2 − x − 3,

	0	−1
A =			1	;
	1 −1		0
	0	2 −1

А. В. З е н к о в

Л и н е й н а я а л г е б р а

Т и п о в ы е р а с ч ё т ы

7

2.17. f (x) = x3 + 2x2 −1,

	1	2	0
A =	0	0	2	;
	1	2	−1

2.18. f (x) = x3 − 3x + 4,

	1	2	−1
A =	0	0	1	;
	2	−1	0

2.19. f (x) = x3 + 6x2 − 2x + 3,

	−1	0	1
A =	0	1	1	;
	1	1	−1

2.20. f (x) = 3x2 + x −1,

	1	0	1
A =	−1	3	1	;
	1	1	1

2.21. f (x) = 2x2 + 3x +1,

	1	0	−1
A =	1	1	0	;
−1		2	1

2.22.f (x) = 3x2 + x −1,

1 2 −1

A = 0 1 −2 ;

2 1 0

2.23. f (x) = 3x2 + 2x −1,

	1	2	−1
A =	0	1 −2		;
	2	2	0

2.24. f (x) = (x + 2)3 ,

	1	0	2
A =	0 −2		1	;
	1	1 −1

2.25. f (x) = 2x2 + 3x −1,

	3	2	−1
A =	0	1	−2	;
	2	1	0

2.26.f (x) = (3x +1)2 ,

1 −1 1

A = 1 0 1 .

0 2 −1

А. В. З е н к о в

Л и н е й н а я а л г е б р а

Т и п о в ы е р а с ч ё т ы

8

3.Найти матрицы, обратные данным; проверить правильность вычислений, перемножив взаимно обратные матрицы

	A = (	23 −−21),												3.15. A = (−05		21),				1
					B =				1 1 0			;						B =				3 −2		;
3.1.									2 3 1											2		−1	1
								4 1 0												3		2	0
	A = (31 24),						2		5	7				3.16. A = (−71 −−21),						1		−1
				B =														B =					2
3.2.							6		3	4 ;										2		4 −1		;
					5 −2 −3														4 2 0
	A = (53	77),						3	−4					3.17. A = (	21 −21),					5 −6
				B =						5								B =					4	;
3.3.								2	−3	1 ;										3 −3			2
					3 −5 −1														4 −5 2
	A = (−23		41),											3.18. A = (	21 −63),					−1		−1
					B =				2 7 3			;						B =					2	;
3.4.									3 9 4											0		5 −3
								1 5 3											−1 4 0
	A = (45 33),							1	2					3.19. A = (	31 −42),					2		3
				B =						2								B =					1
3.5.							2		1 −2 ;											4 −1			1	;
					2 −2 1														5 1 1
	A = (−−21		45),											3.20. A = (−11		01),				4	−3
					B =				1 1 3			;						B =					2	;
3.6.									0 0 1											6 −2			3
								3 4 1											5 −3 2
	A = (−65		04),											3.21. A = (−11		72),				5 −6
					B =			2 1 5										B =					4	;
3.7.								3 2 0 ;												3 −3			2
						0 0 1													4 −5 2
	A = (53 12),						3		1					3.22. A = (12	13),				4	5
				B =						1							B =					1
3.8.							2		0	1 ;									3	4		0	;
					0 1 −1													1 1 −1
	A = (13 79),					−2			1					3.23. A = (		−23),				2	3
				B =						0					51			B =				5	;
3.9.								3	1	1 ;										3 7		4
					1 2 −1														1 2 2
3.10. A = (43			22),				2		1					3.24. A = (−72		41),				2	7
					B =					1								B =				3
							3		0	1 ;										3 9 4			;
					0				1	4									1 5 3
3.11. A = (24 −11),									1	3				3.25. A = (43		21),			2	1
					B =							1						B =				1
									4	1		1 ;							3	0		1 ;
						−5 −4 −1												0 1 4
3.12. A = (−31 −21),									5					3.26. A = (11 51),					2	1
					B =					3 −1							B =					−1
									0	1		2 ;							1	2		1 .
							−1 1 0											1 −2 0
3.13. A = (−72 −11),									1 −2
					B =							3	;
									3	−1		0
									0	4		2
3.14. A = (42			53),				9		7
					B =					6
							1		1	2 ;
					1				1	1

А. В. З е н к о в

Л и н е й н а я а л г е б р а

Т и п о в ы е р а с ч ё т ы

9

4. Методом Гаусса найти общее решение и какое-нибудь частное решение (если таковые существуют)

3x1 +			2x2	+	x3	+	x4	− 3x5		= −2,
	x	+	x	+ 2x		+ 2x		+ 6x		= 23,
4.1.			x2	+	x3	+	x4	+	x5	= 7,
	1	+	2		3		4	−	5	= 12;
5x1			4x2	+ 3x3		+ 3x4			x5

2x1

− x2

− x3

+ 3x4

= 1,

4x

− 2x

− x + x

= 5,

4.2.

6x1

− 3x2

−

x3

−

x4

=

9,

2x1

−

x2

+ 2x3

− 12x4

= 10;

1

2

3

4

2x1

− x2

+ 5x3

− 6x4

= 1,

2x

− x − 3x + 4x

= 5,

4.3.

2x1

−

x2

+

x3

−

x4

= 3,

4x1

− 2x2

− 2x3

+ 3x4

= 2;

1

2

3

4

2x1

+ 7x2

+ 3x3

+ x4

= 5,

x

+ 3x

+ 5x

− 2x

= 3,

4.4.

x1

+

5x2

− 9x3

+ 8x4

=

1,

5x1

+ 18x2

+ 4x3

+ 5x4

= 12;

1

2

3

4

2x1

+ 3x2

− x3

+ x4

= 1,

8x

+ 12x

− 9x

+ 8x

= 3,

4.5. 4x1

+

6x2

+ 3x3

− 2x4

= 3,

2x1

+ 3x2

+ 9x3

− 7x4

= 3;

1

2

3

4

3x1

+ 2x2

+ 5x3

+ 4x4

= 3,

2x + 3x + 6x + 8x

= 5,

4.6.

x1

− 6x2

− 9x3

− 20x4

= −11,

4x1

+

x2

+ 4x3

4

= 2;

1

2

3

2x1

− x2

+ 3x3

− 2x4

= 4,

4x

− 2x

+ 5x

+ x

= 7,

4.7.

2x1

−

x2

+

x3

+ 8x4

= 2,

1

−

2

3

4

= 29;

14x1

7x2

+ 22x3

− 19x4

2x1

− 3x2

+ 5x3

+ 7x4

= 1,

4x

− 6x + 2x

+ 3x

= 2,

4.8.

2x1

− 3x2

− 11x3

− 15x4

= 1,

6x1

− 9x2

−

x3

− x4

= 3;

1

2

3

4

3x1

+ 3x2

− 2x3

− 4x4

= 1,

2x

− x

+ 3x

− 4x

= 3,

4.9.

x1

− 14x2

+ 21x3

− 8x4

= 12,

9x1

+ 18x2

− 19x3

− 8x4

= −1;

1

2

3

4

3x1

− 2x2

+ 5x3

+ 4x4

= 2,

6x

− 4x

+ 4x

+ 3x

= 3,

4.10. 9x1

− 6x2

+

3x3

+ 2x4

=

4,

3x1

− 2x2

− 13x3

− 11x4

= −1;

1

2

3

4

3x +			4x	+ x +		2x	= 3,
	1	+	2	3	+	4	= 7,
4.11. 6x1			8x2	+ 2x3		5x4
	9x	+	12x	+ 3x	+	10x	= 13;
	1		2	3		4

5x −			5x	+ 8x		− 7x	4	= 3,
	1	−	2	+	3			= 2,
4.12.	x1		x2		2x3	− x4
	x	−	x	+	x	− 2x		= 1;
	1		2		3		4

5x1		− 3x2	+ 2x3	+ 4x4	= 3,
4x		− 2x	+ 3x	+ 7x = 1,
4.13. 8x1		− 6x2	− x3	− 5x4	= 9,
7x1		− 3x2	+ 7x3	+ 17x4	= 0;
	1	2	3	4

2x1		+	x2	−	x3	−	x4	+ x5	= 1,
	x −		x +		x +		x − 2x		= 0,
4.14.	3x1	+ 3x2		− 3x3		− 3x4		+ 4x5	= 2,
4x1		+ 5x2		− 5x3		− 5x4		+ 7x5	= 3;
	1		2		3		4	5

2x

− 3x

+ 5x

+ 7x

=

1,

1

2

+

3

+

4

= 2,

4.15. 4x1

− 6x2

2x3

3x4

2x − 3x − 11x

− 15x

= 1;

1

2

3

4

3x

− 2x

+ 5x

+ 4x = 2,

1

2

+

3

4

= 3,

4.16. 6x1

− 4x2

4x3

+ 3x4

9x − 6x + 3x + 2x = 4;

1

2

3

4

2x1

− x2

+ x3

+ 2x4

+ 3x5

= 2,

6x

− 3x

+ 2x

+ 4x

+ 5x

= 3,

4.17. 6x1

− 3x2

+ 4x3

+ 8x4

+ 13x5

= 9,

4x1

− 2x2

+ x3

+ x4

+ 2x5

= 1;

1

2

3

4

5

6x1

+ 4x2

+ 5x3

+ 2x4

+ 3x5

= 1,

3x

+ 2x + 4x

+ x + 2x

= 3,

4.18. 3x1

+ 2x2

− 2x3

+

x4

5

= 7,

9x1

+ 6x2

+ x3

+ 3x4

+ 2x = 2;

1

2

3

4

5

8x1

+ 5x2

− 10x3

− 3x4

= 37,

x

+ 5x

+

3x

+ 2x

= 13,

4.19.

x1

+

x2

3

4

=

5,

1

2

− 2x3 + x4 = −2;

3x1

− 2x2

8x1

−

x2

− x3

+ 3x4

= 30,

5x −

5x

2

− x − 2x = 1,

4.20.

1

+ 3x

3

4

= 51,

10x

+ 2x

3x1

+

2x2

+

x4

= 19;

1

2

4

3x1

+

x2

+ 2x

+

2x4

= 27,

4x

+ 3x

−

x

= 50,

4.21. 9x1

+ 7x2

− 6x3

+ 17x4

= 93,

2x1

+ 2x2

− 7x3

+

7x4

= 12;

1

2

3

4

5x1

+ 5x2

+

7x3

−

4x4

= −19,

5x

+ 6x

+ 24x

−

14x

= −74,

4.22. 2x1

+ 4x2

+

x3

4

= −17,

1

2

−

3

+ 2x4 = 1;

x2

3x3

2x1

−

4x2

+ 2x3

+

x4

= −23,

10x

−

9x

+ 7x

− 5x

= −37,

4.23.

1

+

10x2

+

3

+ 2x4

=

96,

4x

3x2

x

4

=

62;

1

2

3

5x1

+ 3x2

+

x3

−

x4

=

37,

5x

+ 2x

+ 18x

+ 2x

= 122,

4.24. 6x1

+

5x3

+

x4

=

64,

2x1

+

x2

+

3x3

4

=

28;

1

2

3

А. В. З е н к о в

Л и н е й н а я а л г е б р а

Т и п о в ы е р а с ч ё т ы

10

5x −

4.25. x11 −

2x1 −

23xx1 +−

4.26. x1 −

9x11 +

5x2	+ 8x3	− 7x4	= 3,
x2	+ 2x3	− x4	= 2,
x2	+ x3	− 2x4	= 1;

x2	− 2x3	− 4x4	= 1,
x2	+ 3x3	− 4x4	= 3,
4x2	+ 21x3	− 8x4	= 12,
18x2	− 19x3	− 8x4	= −1.

А. В. З е н к о в

Л и н е й н а я а л г е б р а

Т и п о в ы е р а с ч ё т ы