Chast_7_4_RR
.pdfВариант 10
1. Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле f x, y dxdy , ес-
G
ли область G ограничена прямыми и полуокружностью и имеет вид:
2
1
1 0 1
Рассмотреть различные порядки интегрирования в повторном интеграле.
2. Вычислить интеграл y ctgx dxdy , где G – область, ограниченная кривы-
G
ми y 0, y ctgx, x . 4
3. Перейти к полярным координатам и вычислить интеграл
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x dxdy , |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где G – область, ограниченная неравенствами 1 x2 y2 4, |
x 0 . |
|||||||||||||||||||
4. |
Найти координаты центра масс однородной пластины, ограниченной кривы- |
|||||||||||||||||||
ми: x2 y2 1, |
y |
2 |
, |
если |
y |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
Вычислить тройной интеграл xy cos x2 |
2y2 z dxdydz по области V , за- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
данной неравенствами: |
x 0, |
y 0, |
1 z 4 x2 y2 . |
|
||||||||||||||||
6. |
Перейти в цилиндрические координаты и найти моменты инерции Ix , I y , Iz |
|||||||||||||||||||
однородной фигуры, ограниченной поверхностями: |
|
|||||||||||||||||||
2z x2 y2 , |
z 2, |
x 0, |
y x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7. |
Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями: |
|||||||||||||||||||
x2 y2 z2 16, |
z 2 2 x2 y2 , |
z 0, |
z 0 . |
|
||||||||||||||||
8. |
Перейти в сферические координаты и найти массу тела, заданного неравен- |
|||||||||||||||||||
ствами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 z2 4, |
x2 y2 z2 1, |
|
x |
|
y |
|
, |
|
x 3z2 . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
79
Вариант 11
1. Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле f x, y dxdy , ес-
G
ли область G ограничена прямыми и полуокружностью и имеет вид: 2
1
0 |
1 |
2 |
Рассмотреть различные порядки интегрирования в повторном интеграле.
2. Вычислить интеграл x sin x dxdy , где G – область, ограниченная кривы-
G
ми y 0, y sin x, x , x .
22
3.Перейти к полярным координатам и вычислить интеграл
|
dxdy |
|
|||
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
G x2 y2 x2 y2 |
|
||||
где G – область, ограниченная неравенствами 4 x2 y2 9, |
y x . |
4. Найти координаты центра масс однородной пластины, ограниченной кривы-
ми: x2 y2 4, |
y 1, |
y |
1 |
. |
|
||||
|
|
2 |
|
5. Вычислить тройной интеграл xyex2 2 y2 z dxdydz по области V , заданной не-
|
|
V |
равенствами: x 0, |
y 0, |
0 z 1 4x2 y2 . |
6. |
Перейти в цилиндрические координаты и найти моменты инерции Ix , I y , Iz |
||||||||
однородной фигуры, ограниченной поверхностями: |
|||||||||
2z x2 y2 , |
z 8, |
x 0, |
y 0. |
|
|
||||
7. |
Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями: |
||||||||
x2 y2 z2 5, |
z 1 2 |
x2 |
y2 , |
z 0, |
z 0, вне конуса. |
||||
8. |
Перейти в сферические координаты и найти массу тела, заданного неравен- |
||||||||
ствами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 z2 1, |
x 0, |
y 0, |
x2 y2 . |
80
Вариант 12
1. Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле f x, y dxdy , ес-
G
ли область G ограничена прямыми и полуокружностью и имеет вид:
2
1
0 |
1 |
2 |
Рассмотреть различные порядки интегрирования в повторном интеграле.
2. Вычислить интеграл y cos x dxdy , где G – область, ограниченная кри-
G
выми y 0, y cos x, x 0, x 0 .
3. Перейти к полярным координатам и вычислить интеграл
|
e4 x2 y2 dxdy |
|
, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
4 x2 y2 |
3 |
|
|
||||
G |
|
|
|
|
|
||
где G – область, ограниченная неравенствами |
|
1 x2 y2 4, |
x 0, |
y 0 . |
4. Найти координаты центра масс однородной пластины, ограниченной кривы-
ми: x2 y2 1, y 1, y 1 .
34
5.Вычислить тройной интеграл xye x2 y2 z dxdydz по области V , заданной не-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равенствами: |
|
|
x 0, |
y 0, |
|
1 z 4 4x2 |
y2 . |
|
|
|
|
|||||||||||||
6. |
Перейти в цилиндрические координаты и найти моменты инерции Ix , I y , Iz |
|||||||||||||||||||||||
однородной фигуры, ограниченной поверхностями: z x2 y2 , |
z 1, |
z 2. |
||||||||||||||||||||||
7. |
Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями: |
|
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
5 |
|
|
1 2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||
x |
|
y |
|
z |
|
|
|
, |
z |
|
|
x |
|
y |
|
, |
z |
|
|
z |
|
. |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
8. Перейти в сферические координаты и найти массу тела, заданного неравенствами:
x2 y2 z2 16, |
x2 y2 z2 9, |
y 3x, |
z 0, |
2x2 z . |
81
Вариант 13
1. Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле f x, y dxdy , ес-
G
ли область G ограничена прямыми и полуокружностью и имеет вид:
2
1
1 |
0 |
1 |
2 |
Рассмотреть различные порядки интегрирования в повторном интеграле.
2. Вычислить интеграл yex 1 dxdy , где G – область, ограниченная кривыми
G
y ex , y e2 x , x 1.
3. |
Перейти к полярным координатам и вычислить интеграл |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
e |
1 x2 y2 |
|
|
dxdy , |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 y2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где G – область, ограниченная неравенствами |
x2 y2 1, |
y 0, |
y x . |
||||||||||||||||||
4. |
Найти координаты центра масс однородной пластины, ограниченной кривы- |
||||||||||||||||||||
ми: x2 y2 4, |
y |
3 |
, |
y |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
Вычислить тройной интеграл xsin y z dxdydz по области V , заданной |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
||
неравенствами: |
x 0, |
y 0, |
y 3x 1, |
|
0 z xy . |
|
|
||||||||||||||
6. |
Перейти в цилиндрические координаты и найти моменты инерции Ix , I y , Iz |
||||||||||||||||||||
однородной фигуры, ограниченной поверхностями: |
|
|
|||||||||||||||||||
z x2 y2 , |
z 4, |
z 9, |
|
x 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7. |
Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями: |
||||||||||||||||||||
x2 y2 z2 2, |
x2 y2 |
z2 |
2 z 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
Перейти в сферические координаты и найти массу тела, заданного неравен- |
||||||||||||||||||||
ствами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 z2 4, |
x2 y2 z2 1, |
x 0, |
z 0, |
x 3z . |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
82 |
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 14
1. Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле f x, y dxdy , ес-
G
ли область G и ограничена прямыми и полуокружностью и имеет вид: 1
1 0 1
1
Рассмотреть различные порядки интегрирования в повторном интеграле.
2. Вычислить интеграл ye x 2 dxdy , где G – область, ограниченная кривы-
G
ми y ex , y e x , x 1.
3. |
Перейти к полярным координатам и вычислить интеграл |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdxdy |
|
|
|
, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
y |
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где G – область, ограниченная неравенствами |
4 x2 y2 9, |
x 0, |
y 0 . |
|||||||||||||||||||
4. |
Найти координаты центра масс однородной пластины, ограниченной кривы- |
|||||||||||||||||||||
ми: x2 y2 4, |
y |
1 |
, |
y |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
Вычислить тройной интеграл z sin x y dxdydz по области V , заданной |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неравенствами: |
x 0, |
y 0, |
y 2x 2, |
|
xy z 2 . |
|
|
|||||||||||||||
6. |
Перейти в цилиндрические координаты и найти моменты инерции Ix , I y , Iz |
|||||||||||||||||||||
однородной фигуры, ограниченной поверхностями: |
|
|
||||||||||||||||||||
3z x2 |
y2 , |
z 3, |
z 27, |
y 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7. |
Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями: |
|
||||||||||||||||||||
x2 |
y2 |
z2 2, |
x2 y2 z2 2 |
y 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
Перейти в сферические координаты и найти массу тела, заданного неравен- |
|||||||||||||||||||||
ствами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x2 y2 z2 4, |
x2 y2 z2 1, |
z 0, |
|
y 0, |
x2 2y . |
|
|
83
Вариант 15
1. Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле f x, y dxdy , ес-
G
ли область G ограничена прямыми и полуокружностью и имеет вид: 2
1
2 1 0
Рассмотреть различные порядки интегрирования в повторном интеграле.
2. Вычислить интеграл xey 1 dxdy , где G – область, ограниченная кривыми
G
y ln x, y 2ln x, x e .
3. Перейти к полярным координатам и вычислить интеграл
|
|
y 1 |
|
|
dxdy , |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
2 |
y |
2 |
|
||||
G |
|
|
|
|
|
|||
где G – область, ограниченная неравенствами 1 x2 y2 4, |
y 0 . |
4. |
Найти координаты центра масс однородной пластины, ограниченной кривы- |
|||||||||
ми: x2 y2 1, |
x 2 . |
|
|
|
|
|||||
5. |
Вычислить тройной интеграл x 1 2 cos y z dxdydz по области V , за- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
данной неравенствами: x 0, |
y 0, |
y x 1, |
1 z xy . |
|||||||
6. |
Перейти в цилиндрические координаты и найти моменты инерции Ix , I y , Iz |
|||||||||
однородной фигуры, ограниченной поверхностями: |
||||||||||
z 2x2 2y2 , |
z 1, |
x 0, |
y 0 . |
|
|
|||||
7. |
Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями: |
|||||||||
x2 |
y2 |
|
z2 3, |
x2 y2 z2 3 |
y 0 . |
|
||||
|
|
|||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
Перейти в сферические координаты и найти массу тела, заданного неравен- |
|||||||||
ствами: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
x2 y2 z2 4, |
x2 y2 z2 1, |
x 0, |
y x, |
x2 1 . |
84
Вариант 16
1. Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле f x, y dxdy , ес-
G
ли область G ограничена прямыми и полуокружностью и имеет вид: 2
1
1 0 1
Рассмотреть различные порядки интегрирования в повторном интеграле.
2. Вычислить интеграл xe y 3 dxdy , где G – область, ограниченная кривы-
G
ми y ln x, y 1, x 1.
3.Перейти к полярным координатам и вычислить интеграл
x2 y2 1
x2 y2 2 dxdy ,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
где G – область, ограниченная неравенствами x2 y2 1, |
x 0, |
y 0. |
||||||||||||
4. |
Найти координаты центра масс однородной пластины, ограниченной кривы- |
|||||||||||||
ми: x2 y2 1, |
y 0, |
x 2 . |
|
|
|
|
|
|||||||
5. |
Вычислить тройной интеграл z cos x y dxdydz по области V , заданной |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
неравенствами: |
x 0, |
y 0, |
y 2x 3, |
xy z 0. |
|
|
||||||||
6. |
Перейти в цилиндрические координаты и найти моменты инерции Ix , I y , Iz |
|||||||||||||
однородной фигуры, ограниченной поверхностями: |
|
|
||||||||||||
5z x2 y2 , |
y 0, |
y x, |
x 0, |
z 5 . |
|
|
|
|||||||
7. |
Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями: |
|||||||||||||
|
x2 |
|
y2 |
z2 1, |
x2 y2 z2 4 z 0 . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
44
8.Перейти в сферические координаты и найти массу тела, заданного неравен-
ствами:
x2 y2 z2 9, |
z |
x2 y2 , |
y 0, |
x2 3y . |
85
Вариант 17
1. Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле f x, y dxdy , ес-
G
ли область G ограничена прямыми и полуокружностью и имеет вид:
2
1
1 0 1
Рассмотреть различные порядки интегрирования в повторном интеграле.
2. Вычислить интеграл ye2 x 3 dxdy , где G – область, ограниченная кривы-
|
G |
ми y e x , |
y e 2 x , x 1. |
3.Перейти к полярным координатам и вычислить интеграл
x2 y2 dxdy ,2 2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
x y |
2 |
|
|
|
|
|
где G – область, ограниченная неравенствами x2 y2 |
4, |
x y . |
|
|
||||||||||||||||||
4. |
Найти координаты центра масс однородной пластины, ограниченной кривы- |
|||||||||||||||||||||
ми: x2 y2 1, |
|
y 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5. |
Вычислить тройной интеграл x y dxdydz по области V , заданной нера- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
венствами: |
x 0, |
y 0, |
|
y 2x 1, |
z x2 y2 , |
z 2 x2 y2 . |
|
|||||||||||||||
6. |
Перейти в цилиндрические координаты и найти моменты инерции Ix , I y , Iz |
|||||||||||||||||||||
однородной фигуры, ограниченной поверхностями: z2 x2 |
y2 , |
z 1, |
z 2. |
|||||||||||||||||||
7. |
Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями: |
|
||||||||||||||||||||
x |
2 |
|
y2 |
z |
2 |
x |
2 |
y |
2 |
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1, |
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
Перейти в сферические координаты и найти массу тела, заданного неравен- |
|||||||||||||||||||||
ствами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x2 y2 z2 4, |
0 z x2 y2 , |
x 0, y 0, yx . |
|
|
|
86
Вариант 18
1. Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле f x, y dxdy , ес-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
ли область G ограничена прямыми и полуокружностью и имеет вид: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
1 |
|
Рассмотреть различные порядки интегрирования в повторном интеграле.
2. Вычислить интеграл ye3x 1 dxdy , где G – область, ограниченная кривы-
G
ми y e x , y e2 x , x 2.
3.Перейти к полярным координатам и вычислить интеграл
sin x2 y2 dxdy ,
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
где G – область, ограниченная неравенствами |
x2 y2 |
4, |
x 0 . |
|||||||
4. |
Найти координаты центра масс однородной пластины, ограниченной кривы- |
|||||||||
ми: x2 y2 4, |
y 3. |
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
Вычислить тройной интеграл 2x y dxdydz по области V , заданной не- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
равенствами: |
x 0, |
y 0, |
y x 2, |
z 2x2 y2 , |
z 1 2x2 y2 . |
|||||
6. |
Перейти в цилиндрические координаты и найти моменты инерции Ix , I y , Iz |
|||||||||
однородной фигуры, ограниченной поверхностями: |
|
|
||||||||
4z2 x2 y2 , |
z 1, |
z 4 . |
|
|
|
|
|
|
||
7. |
Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями: |
|||||||||
x2 y2 z2 5, |
|
x2 y2 z2 1 |
z 1 (меньшая часть). |
|
||||||
8. |
Перейти в сферические координаты и найти массу тела, заданного неравен- |
|||||||||
ствами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 z2 4, |
|
x2 y2 z2 1, |
z2 x2 y2 , |
z 0, |
y2 z . |
87
Вариант 19
1. Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле f x, y dxdy , ес-
G
ли область G ограничена прямыми и полуокружностью и имеет вид: 2
1
2 |
1 0 |
1 |
Рассмотреть различные порядки интегрирования в повторном интеграле.
2. Вычислить интеграл xx 2ydxdy , где G – область, ограниченная кривы-
G
ми y x, y x 2, x 0.
3.Перейти к полярным координатам и вычислить интеграл
cos x2 y2 dxdy ,
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
где G – область, ограниченная неравенствами x2 y2 1, |
y 0. |
||||||||
4. |
Найти координаты центра масс однородной пластины, ограниченной кривы- |
||||||||
ми: xy 2, |
y 3 x . |
|
|
|
|
|
|||
5. |
Вычислить тройной интеграл x y dxdydz по области V , заданной нера- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
венствами: |
x 0, |
y 0, |
y 3x 1, |
z 1 x2 2y2 , |
z x2 2y2 . |
||||
6. |
Перейти в цилиндрические координаты и найти моменты инерции Ix , I y , Iz |
||||||||
однородной фигуры, ограниченной поверхностями: |
|
||||||||
z2 x2 y2 , |
z 1, |
x 0, |
y 0. |
|
|
||||
7. |
Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями: |
||||||||
x2 y2 z2 4, |
x2 y2 z 1 2 1. |
|
|
||||||
8. |
Перейти в сферические координаты и найти массу тела, заданного неравен- |
||||||||
ствами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 z2 1, |
y 0, |
z 0, |
yz2 . |
|
88