Chast_3_novyy

Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет

имени первого Президента России Б.Н. Ельцина

Кафедра высшей математики

МАТЕМАТИКА

Часть 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Научный редактор – доц., канд. физ.-мат. наук Л.П. Мохрачева

Рекомендовано Уральским отделением Учебно-методического объединения вузов РФ в области строительного образования в качестве учебного пособия для студентов специальностей направления 6533500

«Строительство» всех форм обучения

Екатеринбург

УрФУ

2012

УДК 517.1(075.8) ББК 22.161 я 73, М 34

Рецензенты:

кафедра физики Уральского государственного лесотехнического университета; доктор физ.-мат. наук, проф. А.П. Танкеев, зав. лабораторией ИФМ УрО РАН

Авторы: Вигура М.А., Кеда О.А., Мохрачева Л.П., Рыбалко А.Ф., Рыбалко Н.М.

М 34 МАТЕМАТИКА. Часть 3. Математический анализ: пределы последовательностей и функций, дифференциальное исчисление функций одной переменной: учебное пособие / Вигура М.А., Кеда О.А., Мохрачева Л.П., Рыбалко А.Ф., Рыбалко Н.М.

УрФУ, 2012. 242 с.

ISBN 978-5-321-01782-1

Данное пособие представляет собой третью часть курса высшей математики и предназначено для бакалавров, программа обучения которых предусматривает равные количества аудиторных часов и часов для самостоятельной работы студентов. В учебном пособии изложены основы теории числовых последовательностей и операций над ними, начала математического анализа, теоретические основы дифференциального исчисления и его применение для построения графиков функций.

Пособие включает теоретические сведения, примеры решения задач, тексты домашних заданий, титул и варианты индивидуальной расчетной работы, образец контрольной работы и справочный материал по теме.

Подготовлено кафедрой высшей математики УДК 517.1(075.8)

ББК 22.161 я 73

ISBN 978-5-321-01782-1

© УрФУ, 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

I. ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ. ПРЕДЕЛЫ И
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ...............................................................................................	7
1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ .....................................................................................	7
1.1. Элементы математической логики ...............................................................................	7
1.2. Множества и операции над множествами. ............................................................... 12
1.3. Числовые множества. Верхние и нижние грани.........................................................	14
1.4. Числовые последовательности....................................................................................	14
1.5. Свойства ограниченных последовательностей ..........................................................	16
1.6. Предел числовой последовательности........................................................................	16
1.7. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности ...............................	17
1.8. Свойства бесконечно малых последовательностей....................................................	17
1.9. Свойства сходящихся последовательностей ..............................................................	19
1.10. Монотонные последовательности.............................................................................	20
1.11. Признак сходимости монотонной последовательности...........................................	21
1.12. Число е как предел монотонной последовательности..............................................	22
2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА..............................................................................................	22
2.1. Понятие функции. График функции. Способы задания функции .............................	22
2.2. Основные характеристики функции ...........................................................................	23
2.3. Обратная функция. Сложная функция........................................................................	25
2.4. Основные элементарные функции..............................................................................	25
3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ..............................................................................................................	28
3.1. Предел функции в точке..............................................................................................	28
3.2. Предел функции в бесконечности...............................................................................	29
3.3. Односторонние пределы .............................................................................................	30
3.4. Бесконечно малые функции и их свойства.................................................................	31
3.5. Сравнение бесконечно малых функций......................................................................	31
3.6. Бесконечно большие функции и их свойства.............................................................	33
3.7. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями...................	34
3.8. Свойства функций, имеющих предел в точке ............................................................	34
3.9. Предельный переход в неравенствах .........................................................................	36
4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ............................................................................................	36
4.1. Непрерывность функций в точке................................................................................	35
4.2. Непрерывность функций на множестве......................................................................	39
4.3. Свойства функций, непрерывных в точке .................................................................	39
4.4. Непрерывность основных элементарных функций....................................................	39
5. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ.............................................................................................	40
5.1. Первый замечательный предел ...................................................................................	40

3

5.2. Второй замечательный предел....................................................................................	41
5.3. Эквивалентные бесконечно малые функции при х 0 ..........................................	41
5.4. Предел степенно-показательной функции y f x x f x 0 ..................	42
6. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ..........................................................................	43
6.1. Теорема об устойчивости знака непрерывных функций ...........................................	43
6.2. Непрерывность обратной функции.............................................................................	43
6.3. Непрерывность сложной функции..............................................................................	43
6.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке.............................................................	44
7. ТОЧКИ РАЗРЫВА И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ....................................................................	44
7.1. Точки устранимого разрыва........................................................................................	45
7.2. Точки разрыва первого рода .......................................................................................	46
7.3. Точки разрыва второго рода .......................................................................................	46
II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ .......................................................................................................	48
1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.................................................................................................	48
1.1. Основные определения................................................................................................	48
1.2. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и
нормали к графику функции .......................................................................................	49
1.3. Механический смысл производной ............................................................................	49
1.4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций..........................	50
1.5. Производная обратной функции .................................................................................	50
1.6. Производная сложной функции..................................................................................	51
1.7. Таблица производных..................................................................................................	52
1.8. Логарифмическая производная...................................................................................	53
1.9. Производная функции, заданной неявно....................................................................	53
1.10. Производная функции, заданной параметрически...................................................	54
1.11 Производные высших порядков.................................................................................	55
1.12. Вторая производная от функции, заданной неявно..................................................	56
1.13. Вторая производная от параметрически заданной функции ...................................	56
1.14. Механический смысл второй производной ..............................................................	56
2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ .............................................................................................	57
2.1. Основные определения................................................................................................	57
2.2. Дифференциал независимой переменной...................................................................	57
2.3. Свойства дифференциалов..........................................................................................	58
2.4. Геометрический смысл дифференциала.....................................................................	58
2.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям...................................	58
2.6. Дифференциал сложной функции...............................................................................	59
2.7. Дифференциалы высших порядков ............................................................................	59
3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ АНАЛИЗА.....................................................................................	60
3.1. Теорема Ролля (о нуле производной) .........................................................................	60

4

3.2. Теорема Лагранжа (теорема о конечных приращениях)............................................	61
3.3. Теорема Коши (обобщенная теорема о конечных разностях) ...................................	62
3.4. Правило Лопиталя – Бернулли....................................................................................	63
3.5. Примеры применения правила Лопиталя...................................................................	64
3.6. Формула Тейлора.........................................................................................................	65
3.7. Частные случаи формулы Тейлора .............................................................................	66
3.8. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций.................	67
3.9. Оценка остаточного члена...........................................................................................	70
3.10. Приложения формул Тейлора и Маклорена.............................................................	70
III. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ........................................	72
1. АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ.................................................................................	72
1.1. Вертикальные асимптоты............................................................................................	72
1.2. Горизонтальные асимптоты ........................................................................................	72
1.3. Наклонные асимптоты.................................................................................................	73
2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ
ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ.....................................................................................................	74
2.1. Монотонность функции ..............................................................................................	74
2.2. Локальный экстремум функции..................................................................................	75
2.3. Необходимые условия экстремума .............................................................................	75
2.4. Достаточные условия экстремума ..............................................................................	76
2.5. Правило отыскания экстремумов функции ................................................................	77
3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ
ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ.....................................................................................................	78
3.1. Исследование функций на максимум и минимум
с помощью второй производной.................................................................................	78
3.2. Направление выпуклости и точки перегиба кривой ..................................................	78
3.3. Общая схема исследования функции и построения графика.....................................	80
3.4. Примеры исследования функций................................................................................	81
4. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ................................................................................................	87
4.1. Предел последовательности........................................................................................	87
4.2. Предел функции...........................................................................................................	96
4.3. Функции. Непрерывность .........................................................................................	103
4.4. Дифференцирование. Теоретические упражнения...................................................	111
4.5. Производная функции ...............................................................................................	113
4.6. Дифференциал ...........................................................................................................	119
4.7. Правило Лопиталя .....................................................................................................	120
4.8. Формула Тейлора.......................................................................................................	123
4.9. Исследование функций и построение графиков ......................................................	127
4.9.1. Возрастание и убывание функций ...................................................................	127
4.9.2. Экстремумы функции .......................................................................................	129
4.9.3. Асимптоты графика функции...........................................................................	131
4.9.4. Построение графиков функций ........................................................................	133
4.9.5. Определение скорости возрастания и убывания функций..............................	135

5

4.9.6. Доказательство неравенств с помощью производной.....................................

135

4.9.7.Применение производной в теории многочленов для нахождения интервала залегания корней и определения их количества.

	Связь многочлена со своей производной.........................................................	136
	4.9.8. Нахождение наибольшего и наименьшего значения
	непрерывной функции на отрезке....................................................................	136
	4.9.9. Текстовые задачи разного содержания на нахождение наибольшего и
	наименьшего значения величин.......................................................................	137
	4.9.10. Различные задачи............................................................................................	137
5.	ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ ....................................................................................................	146
	ДЗ № 1. Пределы числовых последовательностей..........................................................	146
	ДЗ № 2. Пределы функций...............................................................................................	148
	ДЗ № 3. Функции. Непрерывность ..................................................................................	153
	ДЗ № 4. Дифференцирование функций...........................................................................	158
	ДЗ № 5. Дифференцирование функций ..........................................................................	160
	ДЗ № 6. Дифференциал. Правило Лопиталя ..................................................................	162
	ДЗ № 7. Формула Тейлора ...............................................................................................	164
	ДЗ № 8. Исследование функций ......................................................................................	166
6.	РАСЧЕТНАЯ РАБОТА.........................................................................................................	169
	Расчетная работа № 3. Часть 1. Варианты.......................................................................	170
	Расчетная работа № 3. Часть 2. Варианты.......................................................................	199
7.	ПРИМЕР ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ............................................................	225
8.	ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ....................................................................	226
9.	БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК...................................................................................	241

6

8. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Арифметическая прогрессия

Геометрическая

прогрессия

bn

–

an

– числовая

числовая

последовательность

последовательность

b1 , b2 , , bn , , n N такая,

что

b1 0

a1 , a2 , ,an , , n N

такая, что

и

n 1,

b

b

q

n 1, an

an 1 d

n

n 1

( q – знаменатель).

( d – разность).

bn2

bn 1 bn 1 n 1 .

an

a

a

n 1

n 1 .

bn q b1

n 1

Sn

, q 1.

2

S

a a

n

2a1 d n 1

q 1

n

n

1

n .

S lim Sn

b

, если 0

q

1.

2

2

1

1 q

{xn} – последовательность xn.

n

xn f (n)

- формула общего члена последовательности.

a lim xn - предел последовательности {xn}.

n

Если {xn} бесконечно малая последовательность, то lim xn

0 .

n

Если lim xn

a , то xn a n , где { n} – бесконечно малая последовательность.

n

Если lim xn

a и lim xn

b , то:

n

n

lim(xn

yn ) lim xn

lim yn

a b ;

n

n

n

lim(xn

yn ) lim xn

lim yn

a b ;

n

n

n

lim(xn

yn ) (lim xn ) (lim yn ) a b ;

n

n

n

xn

(lim xn )

a

,

если yn 0, b 0 ;

lim

n

n yn

(lim yn )

b

n

lim(xn

b) lim xn

b a b ;

n

n

lim(C xn ) C lim xn

C a .

n

n

Если для любого n

xn

b ,

то lim xn

b .

n

Если для любого n

xn

b ,

то lim xn

b .

n

Если для любого n

xn

yn

zx и lim xn lim zn a ,

то lim yn

a .

n

n

n

Бесконечно малая последовательность ограничена.

Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

Разность двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

226

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть последовательность бесконечно малая.

Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

Если элементы бесконечно малой последовательности xn не равны нулю, то

1

последовательность

будет бесконечно большой.

Если

xn

xn

–

бесконечно

большая

последовательность и xn 0 , то

1

последовательность

– бесконечно малая.

xn

e lim

1 n

,

e 2,7182 .

1

n

n

n n

n! 1 2 3 ... n ,

формула Стирлинга: n!~

2 n

.

e

Неравенство Бернулли:

1 n

1 n ,

1,

n N .

Формула бинома Ньютона

a b

n

n n 1

n n 1 n 2

anb0 nan 1b1

an 2b2

an 3b3 ....

2!

3!

...

n n 1 n 2 ... n n 1

a0bn .

n

n!

1

1

1

1

1

2

1

1 Cn

Cn

...

n

n

n

2

n

n

1 n

1

n(n 1)

1

n(n 1)(n 2)

1

...

n(n 1)(n 2)...(n (n 1))

1

.

2

3

n

n

2

n

3!

n

n!

n

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Определение предела по Гейне (на языке последовательностей). Число A

называется пределом функции

y f x

в

точке

a ,

если для любой

последовательности xn

такой, что

xn D f ,

xn a,

lim xn

a , выполняется

n

равенство lim f xn A ,

которое обозначают: lim f x A .

n

x a

Определение предела по Коши (на языке

- ).

Число A называется пределом функции y f x в

точке a , если

0 0 x : 0

x a

f x A

.

227

Понятие

Обозначение

Определение

Предел функции

lim f

x

A

0

0 x : 0

x

a

f x

A

f x в точке x a

x a

«Обращение

lim f x

M

0

x

a

f x

M

функции

f x в

x a

M

x : 0

бесконечность» в

lim f x

M M 0

x : 0

x a

f x M

точке x a

x a

lim f

x

M

M

0

x : 0

x

a

f

x

M

x a

Предел функции

lim f x A

0

M

x : x M

f x A

f x при x

,

x

соответственно

lim f

x

A

0

M

x : x M

f x A

x

x

«Обращение

lim

f x

M

x0

M

x :

x x0

f x M

функции

f x

x

lim

f

x

M

x

M

x :

x x

f

x

M

в бесконечность»

x

0

0

при x ,

lim

f x

M

x0

M

x :

x x0

f x M

соответственно

x

x

lim

f x

M

x0

M

x :

x x0

f x M

x

lim f x

M

x0

M

x :

x x0

f x

M

x

lim f x

M

x0

M

x :

x x0

f x

M

x

Пределы справа и

lim

f x A

0

0

x :

0 x a

f x A

слева

x a 0

lim

f x A

0

0

x :

0 a x

f x A

x a 0

«Обращение

lim

f x

M

M 0

x : 0 x a f x M

функции

f x в

x a 0

lim

f x

M

M 0

x : 0 a x f x M

бесконечность»

x a 0

справа и слева в

lim

f x

M

M 0

x : 0 x a f x M

точке x a

x a 0

lim

f x

M

M 0

x : 0 a x f x M

x a 0

lim

f x

M

M 0

x : 0 x a

f x

M

x a 0

lim

f x

M

M 0

x : 0 a x

f x

M

x a 0

Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства

Функция x называется бесконечно малой в точке a , если lim x 0 .

f x

бесконечно

большой

x a

a ,

Функция

называется

в

точке

если

M M 0 : x :

0

x a

f x

M .

Записывается

это

как

lim f x .

x a

Свойства:

10 . Если lim x lim x 0 , то lim x x 0 .

x a x a x a

228

20 . Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть функция бесконечно малая.

30 . Произведение бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

40 .	Если lim f x A 0, lim x 0 , то lim					x	0.
			x a	x a	x a f x			и x 0
50 .	Если x			- бесконечно малая функция при x a					при x a , то
	1		- бесконечно большая функция при x a . Если x						- бесконечно
		x

1

большая, то x - бесконечно малая.

6˚. Произведение бесконечно большой функции на ограниченную функцию, не равную нулю, есть функция бесконечно большая.

7˚. Произведение бесконечно больших функций есть функция бесконечно большая.

Свойства функций, имеющих предел

	lim f (x) A f (x) A (x),			где lim (x) 0;
	x x0			x x0
	lim (x) B	(x) B (x),		где lim (x) 0
	x x0			x x0
Если lim f (x) A и		lim (x) B , то
x x0		x x0
1)	lim f (x) (x) lim		f (x) lim (x);
	x x0	x x0	x x0
2)	lim f (x) (x) lim		f (x) lim (x);
	x x0	x x0	x x0
3)	lim k f (x) k lim f (x);
	x x0	x x0

4) lim f (x)

x x0 (x)

lim f (x)

x x0	, где (x) (x) .

lim (x)

x x0

Если функции y f (x) и	y (x)	имеют одну область определения D и
x D f x x , то lim	f (x) lim (x).
x x0	x x0
Теорема о пределе промежуточной функции.
Если 1) x D f x x g x , 2)		lim f (x) lim g(x) A ,
		x x0	x x0
то lim (x) существует и lim (x) A.
x x0	x x0

Замечательные пределы

229