Д.З.Матрица уравнений

														1						3	1
6.	Вычислите ранг матрицы															4				2		0 .
														1						3		1
																5				2
																						0
7. Решите системы:
	3x 2x				5x 1,																3x x									x x									2x 2,
		1		2	3														б)			1							2			3						4		5
а)		x1 4x2			x3 3,																3x1													x3 2x4 2x5 4,
		x			x 5.																6x					x					3x						6x			7x						11.
		1			3																	1							2			3						4		5
																			Вариант 21
					1															1																				1
															3																			3															3
																			0																		0															0
						2							2									2										2								2						2
										1																				1														1
									3															3																			3
1.	Вычислите: а)																		0																		0													0			;
						2							2									2								2																2
																																								2
					0								0						1 0											0							1			0								0 1
					5						1								1			0 T 4
						3				0			2							0										1
					б)																1											.
						4				2										1		2								2
																				1	1						1					1

1 1 0 0

2. Вычислите определитель

1 0 1 0

1 0 0 1

а) методом понижения порядка, б) методом приведения к треугольному виду. 3. Используя свойства определителя, докажите тождество:

a3	1	a2 a 1	a2 a 1 b2 b 1		a 1	0	1
b3	1	b2 b 1			b 1	0	1		.
1	1	0			0	1	0

87

										0		3	0	0
											3	0	0	0
	4. Найдите матрицу, обратную для матрицы
										0		0	0	6
											0	0	6	0
	а) методом Гаусса, б) методом присоединенной матрицы.
	5. Решите матричное уравнение A3BX E , где
	0	2	1	1
	z A	,	B	.
	2	0	1	1
				5		3	4	6
					4	0	1	2
	6. Вычислите ранг матрицы z								.
					3	5	1	2

7. Решите системы:

5x 2x				x 5,														3x x x 3x 2x 2,
	1	2			3												б)		1						2		3				4	5
а)	x1 4x2 x3 7,																	6x1 x2 2x3 3x4 4x5 3,
	x x		2		1.													9x 2x 3x 6x x 1.
	1																		1						2				3			4 5
																	Вариант 22
											1						2										1
								3													3
											0														0
						2													2
1. Вычислите:											2														1		2
					а) 0						1 0								0								0			;
						1					3								1								3
											0														0
																			2								2
						2					2
																			1						2 T
					б) 1 2
											1 3 T								2 2								1 .
																	1								2
																			1								1
																									1		3				2	0
																									0		1				0	0

2. Вычислите определитель

1 2 3 0

1 1 1 1

а) методом понижения порядка, б) методом приведения к треугольному виду. 3. Используя свойства определителя, докажите тождество:

88

a4	b4	1	a2 b2 b2	a2 b2	b2	0
a2	b2	1		1	1	0	.
0	0	1		0	0	1

0		7	0	0
	1	0	0	0
4. Найдите матрицу, обратную для матрицы
0		0	0	7
	0	0	1	0

	а) методом Гаусса, б) методом присоединенной матрицы.
5.	Решите матричное уравнение AX B 2C , где
		1		1 1				1							1					2								2 3						0
	A		0			B			0						3					4			,		C				4 3					5
				1 1 ,																															.
			0						2 0																				1 1					0
				0 1																1
													7							6		4			3
6.	Вычислите ранг матрицы														2					1		5			3
																											.
															0					7		4		3
7.	Решите системы:
	x 2x x 3,																				3x x x x												2x 2,
		1		2	3															б)			1				2			3		4			5
а) 2x1 5x2 x3 3,																					6x1 x2 2x3 3x4 4x5 6,
	x	2x		x	7.																9x x							3x			6x				7x				11.
	1		2	3																			1				2			3				4				5
																				Вариант 23
									0						0					3
						1																			5			2 T 0								1
									3						1
1.	Вычислите:				а)		0														;		б)			1			0			1			2			2E .
									2						2
																										4			1			1			3
									1						3
							0
															2
									2															3			2			5				1
2.	Вычислите определитель																							1			7			2				0
																								5			1			10				2
																								13			6			15				3

а) методом понижения порядка, б) методом приведения к треугольному виду.

89

3. Используя свойства определителя, докажите тождество:

							2ab a2 b2 b																a b												1 b a b
							2ab a2 b2 c																b c					2ab							1	c b c			.
							2ab a2 b2 d																c d												1 d c d
																																			8			0	0	0
																																				0		0	0	8
4.	Найдите матрицу, обратную для матрицы
																																				0		0	8	0
																																				0		8	0	0
	а) методом Гаусса, б) методом присоединенной матрицы.
5.	Решите матричное уравнение AXB C , где
		2		1			B		3						2										2							4
	A				,														,		C												.
		3 2							5						3										3						1
																		2			7				1				4
																				0	3		2						0
6.	Вычислите ранг матрицы																															.
																		1			3				1				0
																				3	0		3						2
7.	Решите системы:
	5x x				x		14,													x 2x 3x												2x				4x		1,
			1	2	3										б)						1		2						3					4			5
а) 2x1			x2 x3 5,																		4x1 4x2 x3 x4 6x5 2,
	3x		5x		1.																2x 2x x 6x 2x 0.
		1		2																			2						3					4			5
																					Вариант 24
															1														1						2
											3														3
																				0													0
									2														2						2
															2
									1														1
																	3													3
1. Вычислите: а)																				0													0			;
									2						2														2
																							2
									0						0					1			0						0				1
										5					4				T		2 0								3				1			0
						б) 3									1										1				2					2		1	.
										2											4													1		3

90

1 2 1 5

1 5 6 3

2. Вычислите определитель

1 2 3 5

2 4 2 8

а) методом понижения порядка, б) методом приведения к треугольному виду. 3. Используя свойства определителя, докажите тождество:

		2b a	a b	a	a b c d		b	a b a
		2c b	c	b		c b		c		b	.
		d c	d	d c			0	1		1
						0		0	9	0
							0	9	0	0
	4. Найдите матрицу, обратную для матрицы
						9		0	0	0
							0	0	0	9

а) методом Гаусса, б) методом присоединенной матрицы.

5. Решите матричное уравнение XA 2B E , где
	1		1	3				1		3	2
A		2	5	7		,	B		1 2		0
												.
		1	1	2					3	1	4

2		7	1	0
	1	3	2	6
6. Вычислите ранг матрицы					.
2		6	4	12
	3	0	3	2

7. Решите системы:

5x x 2x 9,				x x 5x 2x 4x 1,
	1	2	3	1 2		3	4	5
а) 2x1	3x2 x3 7,			б) x1 x2 5x3 x4 7x5				3,
x		x x 0.		x 2x	2	x x 2x		2.
1		2	3	1		3 4	5

91

Вариант 25

		3
1 0	0

		1													2			3 1	T		5		1				1
										3														2
1. Вычислите: а)		0											; б)		3	4	0 2					2	0			1	2	.
		2							2													1	3
		3							1
		0
		2								2			2	3	1		0
2. Вычислите определитель													4	7	0		0
													8	2	1		0
													5	7	0		1

а) методом понижения порядка, б) методом приведения к треугольному виду. 3. Используя свойства определителя, докажите тождество:

					b2	b 1				b 1 2		c 1 2		d 1 2
					c2	c	1			b		c		d				.
					d 2	d	1			1		1		1
														0		3	0		0
																0	0
4. Найдите матрицу, обратную для матрицы														1					0
														0		0	3		0
																0	0
														0					3
а) методом Гаусса, б) методом присоединенной матрицы.
5. Решите матричное уравнение AXB 2BC 3D , где
		A	2	1			3			1		C	1	0		D		5	1
					,	B					,			,					1	.
			0	1			1 0						0	2				2
							1			4	1
6. Вычислите ранг матрицы 0										1	1 .
							3			12 3
										1
							2				1
7. Решите системы:
5x		2x	x	3,						x x 3x 2x						4x 3,
	1	2	3								1	2	3		4		5
а) x1	3x2 x3 6,									б) 2x1 2x2 5x3 x4 7x5 7,
3x		x 0.									x	x	x	8x		2x			2.
	1	2									1	2	3	4			5

92

6. ПРИМЕР ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Вариант 0 (образец)

2		1	1		,	2		1	0
1. Вычислите 3A 2B , если A	0	1	4			B	3	2	2	.

ОТВЕТ:							2	5	3
	3A 2B							7	.
							6		8
									2	1	1			3		1
2. Найдите		C				AB						,	B		2	1
							, если A										.
									3	0	1				1	0

ОТВЕТ: -3.

											1	1	1		1
3.	Найдите матрицу, обратную для матрицы A 1											1	1	1 .
											1	1	1	1
												1	1	1
											1
	14	14		14		14				1 1 1			1
	14	14	14			14		1		1 1		1	1	1
	ОТВЕТ: A 1	14		14							1 1					A.
	14					14		4 1					1	4
		14	14								1	1
	14					14				1			1
				1		1	1
4.	Найдите ранг матрицы A				2	2	2
								.
					1	1
							1

ОТВЕТ: Ранг матрицы r(A) 2 .

	x1 4x2 2x3 0,
5. Найдите общее решение системы			3x2	x3	5x4	0,.
	2x1
	3x 7x			x 5x 0.
		1	2	3	4

				19		c			3		c			1		c
			8			1	8					2	2				3
			7					25							1
	X c1,c2 ,c3				c						c						c
ОТВЕТ:			8			1	8					2	2				3	.
									c1
									c2
									c3

93