6. Домашние задания Дз № 1. Векторная алгебра

Сборник задач по математике для втузов: В 4 ч. Ч. 1: Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Определители и матрицы системы линейных уравнений. Линейная алгебра. Основы общей алгебры / А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов [и др.]; под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2003. - 288 с.: ил.; 21 см. - ISBN 5-940520-34-0.

№ п/п	№ по Еф.	Задание		Ответ
1	1.11	ABCDEF - правильный шестиугольник, причем ,. Выразить черезивекторы,,,,,и.		, ,,,,,.
2	1.18	На стороне параллелограммаотложен вектордлиной, а на диагонали- вектордлиной. Доказать, что векторыиколлинеарны и найтитакое, что.
3	1.19	Разложить вектор по трем некомпланарным векторам:,,.
4	1.27	В тетраэдре ОАВС медиана AL грани АВС делится точкой М в отношении . Найти координаты векторав базисе из ребер,,.
5	1.35 а-г	Заданы векторы ,,и. Вычислить: а)и координаты ортавектора; б); в) координатувектора; г) пр.		а) ,; б); в); г) пр
6	1.39	Заданы векторы ,,. Найти: а) координаты орта; б) координаты вектора; в) разложение векторапо базису; г).		а) ; б); в); г).
7	1.43	Найти вектор, коллинеарный вектору, образующий с ортом острый угол и имеющий длину .
8	1.44	Найти вектор, образующий со всеми тремя базисными ортами равные острые углы, если.
9	1.46	При каких значениях ивекторыиколлинеарны?		,
10	1.38	Показать, что тройка векторов ,иобразует базис в множестве всех векторов пространства. Вычислить координаты векторав базисеи написать соответствующее разложение по базису.
11	1.65в	, ,. Вычислить.			13
12	1.66	, . Определить, при каком значениивекторыибудут перпендикулярны.
13	1.67	Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах ,, если известно, что,и.
14	1.69	В треугольнике АВС ,. Вычислить длину его высоты, если известно, чтоивзаимно перпендикулярные орты.
15	1.72	Найти угол, образованный единичными векторами и, если известно, что векторыиперпендикулярны.
16	1.78 г, ж, з, и	Даны векторы и. Вычислить: г); ж) направляющие косинусы вектора; з); и).				г) ; ж),,; з); и) 11/21.
17	1.79		Даны точки и. На оси абсцисс найти точку М, чтобы.			,
18	1.81		Для заданных векторов ,ивычислить: а) , , ;			а)
19	1.83		Найти косинус угла между диагоналямиАС и BD параллелограмма, если заданы три его вершины А(2,1,3), В(5,2,-1) и С(-3,3,-3).
20	1.88		Найти координаты вектора , коллинеарного векторуи удовлетворяющего условию.
21	1.89		Вектор перпендикулярен векторамии удовлетворяет условию. Найти координаты вектора.
22	1.98 в		, ,. Вычислить.			в)

23	1.100 г	Упростить выражение .	г) 3
24	1.102	, . Вычислить площадь треугольника, построенного на векторахи.
25	1.106 в	Заданы векторы и. Найти координаты вектора.	в)
26	1.108	В треугольнике с вершинами А(1,-1,2), В(5,-6,2) и С(1,3,-1) найти высоту .	5
27	1.109	Определить, при каких значениях ивекторбудет коллинеарен вектору, если,.	,
28	1.111	Для заданных векторов ,,,вычислить проекцию векторана вектор.
29	1.113	Найти вектор , еслиА(2,2,3), В(1,0,4), С(2,3,5).
30	1.118	Найти координаты вектора , если известно, что он перпендикулярен векторами, образует с ортом тупой угол и .
31	1.125	Векторы образуют левую тройку,,и;,. Найти.	-3
32	1.126	Заданы векторы ,и. Вычислить. Какова ориентация троек: а); б); в)?	- 7; а) левая, б) правая, в) правая
33	1.127 б	Установить, образуют ли векторы базис в множестве всех векторов, если,,.	б) да

34	1.134	В тетраэдре с вершинами в точках А(1,1,1), В(2,0,2), С(2,2,2) и D(3,4,-3) вычислить высоту .
35	1.136 б	При каком векторыбудут компланарны, если,,?	б) при любом
36	1.138 б	Найти координаты четвертой вершины тетраэдра АВСD, если известно, что она лежит на оси Оу, А(0,1,1), В(4,3,-3), С(2,-1,1), а объем V тетраэдра равен двум.	б)