Д.З.Матрица уравнений

4. ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ

Сборник задач по математике для втузов: В 4 ч. Ч. 1: Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Определители и матрицы системы линейных уравнений. Линейная алгебра. Основы общей алгебры / А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов и др. / Под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. - 4-е изд., пере-

раб. и доп. - М.: Физматлит, 2003. - 288 с.: ил.; 21 см. - ISBN 5-940520-34-0.

4.1. ДЗ № 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

	№	№ по	Задание	Ответ
	п/п	Еф.

Вычислить определитель

a b

a b

.

1

2.2

a b

a b

4ab

Вычислить определитель

2sin cos

2sin

2 1

.

2

2.6

1

2sin cos

1

2cos2

Вычислить определитель

2 1

3

2.15

2 1

.

a2 2

2 1

2 1

Вычислить определи-

sin

cos

1

4

2.16

тель

sin

cos

1

sin sin sin

sin

cos

1

.

Используя свойства определителей 3-го порядка, дока-

зать тождество:

5

2.25

a1 b1x

a1x b1

c1

1 x2

a1

b1

c1

a2 b2 x

a2 x b2

c2

a2

b2

c2

.

a3 b3x

a3x b3

c3

a3

b3

c3

57

		Используя свойства определителей 3-го порядка,
			x y					z	1
6	2.27	вычислить определитель	y z					x	1				.										0
			z x					y	1
		Используя свойства определителей 3-го порядка,
						a 1 2								a2 1 a
7	2.28	вычислить определитель				b 1 2								b2 1 b					.				0
						c 1 2
														c2 1 c
								1	1					1
		Проверить, что определитель						x			y			z	делится на
8	2.31							x2			y2			z2
		x y , y z и x z .
											2			1	1			0
		Вычислить определитель									0			1	2			1
9	2.55										3			1	2			3			.			0
											3			1	6			1
								0	a					b	d
10	2.59	Вычислить определитель						a 0 c							e			.					be cd 2
								b	c					0	0
								d	e					0	0
					1			2	3					...	n
					1			0	3					...	n
11	2.67	Вычислить определитель			1			2	0					...	n			при-					n!
					.			.	. . .
					1			2			3			...	0
		ведением к треугольному виду.

58

										3		2	2		...		2
										2 3 2 ... 2
		Вычислить определитель								2		2	3		...		2	приведе-
12	2.68									.		. . . .														2n 1
										2 2 2 ... 3
		нием к треугольному виду.
										0		0	1		1			1								5
											1	1 2
																2	2		4
13	2.85	Вычислить произведение										2									.						15
										2			3			1	1			1
											3	3	4													25
																											35
		Вычислить			1	a n	, если a R.																		1		na
14	2.87
					0	1																					1
																									0
		Найти значение многочлена										f A
		от матрицы А, если f x 3x2 4 ,																			8		15
15	2.90	2		1
		A		.																	0		23
		0		3
		Вычислить AB BA, если
		1		1	1		7		5		3									0			0		0
16	2.95		0	1		B		0	7		5										0		0		0
		A			1 ,							.
			0	0 1				0 0 7
																					0		0		0
		Найти все матрицы 2-го порядка,
		квадраты которых равны нулевой															a			b
17	2.99	матрице O			0	0																, a		2	bc 0
						0	.
					0												c			a

59

					Найти матрицу, обратную к матрице
					cos			sin								cos					sin
	18		2.108							.
								cos									sin				cos
					sin
					Найти матрицу, обратную к матрице
					3		4		5							8			29			11
	19		2.110			2	3										5		18			7
									1 .
						3	5		1
																	1		3			1
					Найти матрицу, обратную к матрице
					2		7	3							7 /3				2			1/3
	20		2.114			3	9	4								5/3			1			1/3
									.
						1	5	3
																2			1				1
					Решить матричное уравнение
					3		1		5		6	14 16							1		2
	21		2.123					X						.
						5	2			7			10						3		4
											8	9
					Решить матричное уравнение
							5		3 1			8	3 0				1		2			3
					X				3	2			9					4	5			6
	22		2.125				1					5		0
							5		2 1			2	15 0					7 8				9
					4.2. ДЗ № 2. Системы линейных уравнений
	№	№ по									Задание											Ответ
	п/п	Еф.
	1	2.187							3x 5y 13,				по правилу Крамера.								x 16 ,				y 7
				Решить систему
									2x 7y 81

60

	2.191							2x y 5,										x 1,	y 3,
																		z 5
2		Решить систему x 3z 16, по правилу Крамера.
								5y z 10
	2.201	Решить систему уравнений																x1 2 ,
		2x1 3x2 11x3 5x4 2,																x2 0,
		x	x	2	5x		2x			1,								x 1,
		1				3		4										3
3		2x x			2	3x 2x 3,												x4 1
			1				3			4
		x	x	2	3x		4x			3.
		1				3		4
	2.211	Исследовать на совместность и найти общее реше-																Система не-
							3x		5x		2x	4x			2,			совместна
								1		2	3		4
4		ние системы						7x1		4x2 x3		3x4			5,
							5x		7x		4x	6x			3.
								1		2	3		4
	2.212	Исследовать на совместность и найти общее реше-																c1
							9x1 3x2 5x3 6x4 4,
									2x2		3x3	4x4						13 c1
5		ние системы					6x1								5,			7
														8.
							3x1 x2 3x3 14x4											0
	2.225	Найти фундаментальную систему решений и общее																Система
												3x		2x		x 0,		имеет толь-
													1		2	3		ко триви-
6		решение системы уравнений										2x1		5x2		3x3	0,	альное ре-
												3x		4x		2x	0.	шение
													1		2	3
	2.226	Найти фундаментальную систему решений и общее																c1E1 ,
												2x1 3x2 x3 0,							4
		решение системы уравнений											x2 x3 0,					E		1
7												x1
																		1
														2x2 2x3 0.						5
												3x1

61

5.РАСЧЕТНАЯ РАБОТА №1

5.1.ТИТУЛЬНЫЙ ЛИСТ

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный технический университет – УПИ

имени первого Президента России Б.Н. Ельцина

Кафедра высшей математики

РАСЧЕТНАЯ РАБОТА №1

Дисциплина: МАТЕМАТИКА. Часть 1. Алгебра

Модуль 1: Алгебра: определители, матрицы, системы (1 зачетная единица)

Студент

Группа

Преподаватель

Вариант

Дата

Екатеринбург 2012

62

										5.2. ВАРИАНТЫ
																Вариант 1
		1												3
						0						3
		2								2
						1
		0								0
1. Вычислите: а)																		;
		3								1
						0
		2								2
1 1									2					3 T					2				1 3
									1 1									2
б)																				1 4				2	.
		0 1							0				1
																3		1	1		1
2. Вычислите определитель																1		3	1		1
																1		1	3		1
																1		1	1		3

а) методом понижения порядка, б) методом приведения к треугольному виду. 3. Используя свойства определителя, докажите тождество:

				a b x a x2			c				b a c
				1	1	1	1					1	1		1
				a b x a x2			c	x3			b a c					.
				2	2	2	2					2	2		2
				a b x a x2			c				b a c
				3	3	3	3					3	3		3
															0		1	0	0
																2	0	0
	4.	Найдите матрицу, обратную для матрицы																	0
															0		0	2	0
																0	0	0
																			2
	а) методом Гаусса,					б) методом присоединенной матрицы.
	5.	Решите матричное уравнение: ABXC 6D 3E , где
		3 4			0 1		1 0					3 2
	A		, B			, C			,			D	4 3		.
			4 5		1 0		2 3
							1		3			2	0
	6.	Вычислите ранг матрицы 2							1			3	0	.
							3		5			4	0
									17			4	0
							1

63

7. Решите системы:

2x y z 4,											x1 x2 4x3 2x4 3x5 0,
								б)																		2x4			2x5 1,
а) 3x 4y 2z 11,											2x1 x2 2x3
3x 2y 4z 11.													2x			x					x					x	4	x 0.
														1				2							3				5
												Вариант 2
		0												0							0				2
1								0 1
		3						1								3					1
1. Вычислите: а)	0												0													;
		2							2					2							2
	0	1							3				0			1					3
		2														2					2
								2
1											2			1													T
		5 2										3		6				7					1 1
б)	4																									.
		0 1										4		0											0 1
													2	1				0			0
2. Вычислите определитель													1	2				1			0
													0	1				2			1
													0	0				1			2

а) методом понижения порядка, б) методом приведения к треугольному виду. 3. Используя свойства определителя, докажите тождество:

a1	b1	a1x b1 y c1		a1	b1	c1
a2	b2	a2 x b2 y c2		a2	b2	c2	.
a3	b3	a3 x b3 y c3		a3	b3	c3

		1		0	0	0
			0	0	3	0
	4. Найдите матрицу, обратную для матрицы
		0		3	0	0
			0	0	0	3

а) методом Гаусса, б) методом присоединенной матрицы. 5. Решите матричное уравнение A3 X B , где

	1			0	1
														2		0	0
	2
					2
A 0			1		0								, B		0	2	0
																		.
	1					1									0	0	2
			0
	2				2

64

																							1					0						1	0
																									1			1						0	0
6.	Вычислите ранг матрицы																						0					1						1	0
																									0			0						1	1		.
																									0			1						0	1
7.	Решите системы:
		2x2						3x3 1,																x1 x2 4x3 2x4 3x5 1,
									2,
а)		x1 3x3																																		4x3 2x4 2x5 1,
			x		2x				3,												б) 2x1 x2
																												x				2x					x						x		x 2.
			1					2																												2
		4x						4.																				1									3							4	5
					4
																												Вариант 3
1.	Вычислите:
											1													1															1
					3			0										3			0										3			0
			2														2											2									2
											2													2
	а)	0 1									0 0 1											0 0 1																	0					;
					1												1														1
								0				3								0				3										0						3
					2												2					2									2						2
											2

1	3 T 5	0	1	2		1 0
б)		1		6	3	4 0			.
0	1 2		0
								5	6	0	0	0
								1	5	6	0	0
2. Вычислите определитель								0	1	5	6	0
								0	0	1	5	6
								0	0	0	1	5

а) методом понижения порядка, б) методом приведения к треугольному виду. 3. Используя свойства определителя, докажите тождество:

1	a	bc	b a c a	1	0	0
1	b ac			0	1	c	.
1	c	ab		0	1	b

		3		0	0	0
			0	5	0	0
	4. Найдите матрицу, обратную для матрицы
		0		0	0	5
			0	0	5	0

а) методом Гаусса, б) методом присоединенной матрицы.

65

5. Решите матричное уравнение AXA C , где
0		0	0	1			3 0			0	0
	0	0	1	0				0	3 0		0
A						,	C					.
0		1	0	0			0		0	3	0
	1	0	0	0				0 0		0	3

																		1				0			0	0		2
																					0	1			0	2
																												0
6.	Вычислите ранг матрицы																	0				0			1	0		0 .
																					0			1	0	2
7.	Решите системы:																											0
	x1 2x2				3x3 4x4							21,											x1 x2 4x3 2x4 3x5 1,
				3x2 0,
	2x1
а)		2x		3x			21,														б) x1 x2 4x3 2x4 2x5 0,
																									2x	x		x			x	x	0.
			2	3
	2x			4x			14.																		1	2		3			4	5
		3		4
																								Вариант 4
																1								3
											3
																						0
									2							2
										1						3
																						0			;
																2
1. Вычислите: а)									2
									0							0						1
							2							3							5			4	T		1 0					1
							б)		4				0								1	0			4			0 1 2 .
							5							1													1 0					1
																					0	2
									0				2
																												2 3 1
																								2	1	1	1	1
																								1	3	1	1	1
2.	Вычислите определитель																							1	1	4	1	1
																								1	1	1	5	1
																								1	1	1	1	6

а) методом понижения порядка, б) методом приведения к треугольному виду. 3. Используя свойства определителя, докажите тождество:

66