posobie_tvp__elektromagnitniie_volnii

малыми, чтобы, во-первых, его можно было считать прямолинейным, а во-вторых, чтобы распределения касательной

→

составляющей вектора H в пределах ∆l в обеих средах можно было считать равномерными. В плоскости Р построим прямоугольный замкнутый контур ∆L (АВСD). Стороны АВ и СD

параллельны ∆l

и находятся в разных средах. В точке М проведем

единичную

касательную

→

к линии

пересечения

поверхности

τ

→

раздела S с плоскостью P и единичную нормаль

N к плоскости Р.

→ → →

Орты

n , τ,

N составляют правую тройку векторов

→

→ →

N

= n , τ ,

(3.75)

Обход

контура

АВСD

образует

правовинтовую

систему

с

→

вектором N .

Применим к контуру АВСD первое уравнение Максвелла в

интегральной форме

→

→ →

= ∫

→

+

∂ D

→

∫H dl

( j

∂t

) dS

,

(3.76)

ABCD

∆S

АВСD,

где

∆S

–

площадь,

охваченная

контуром

а

→

→

→

замкнутому

контуру АВСD

в

dS

= N dS =

N ∆l∆h . Интеграл по

(3.76) представляем в виде суммы по частям контура АВ и СD и

двух интегралов по боковым сторонам длиной

∆h .

Устремляем

∆h → 0 , при этом интегралы по боковым сторонам стремятся к нулю. В левой части (3.76) сохраняются интегралы по сторонам контура АВ и СD, остающимся в своих средах вблизи границы раздела

	→ →			→ →		→		→	→
∫		+	∫		= ∫		+	∂ D		∆l ∆h
	H dl			H dl		( j		∂t	) N		.(3.77)
AB			CD		∆S
				51

Далее при ∆h → 0 имеем:

→	→	на АВ и		→		→		на СD.
dl	= τ ∆l			dl	= − τ ∆l
Поскольку ∆l мало,			векторы поля и плотности токов можно
вынести из под знака интеграла. Таким образом, при									∆h → 0 из
(3.77), сокращая ∆l , получаем соотношение
							→
	→	→	→	→	→		∂D	→
	H 1	τ− H 2 τ = ( j				+	∂t	) N ∆h .	(3.78)

В реальных средах числовые значения параметров сред конечны, следовательно, векторы плотности тока проводимости и тока смещения имеют конечные значения, при этом правая часть

(3.78) при ∆h → 0 стремится к нулю. Соотношение (3.78) принимает окончательный вид граничного условия

Hτ1 = Hτ2 .

(3.79)

Применим к контуру АВСD второе уравнение Максвелла в интегральной форме, проведем аналогичные преобразования и получим граничное условие для тангенциальных составляющих

→
вектора E
	Eτ1 = Eτ2 .		(3.80)
Условия (3.79), (3.80) формулируются следующим образом:
касательные	составляющие	векторов	напряженностей

электрического и магнитного полей остаются непрерывными при переходе через поверхность раздела реальных сред.

→

→

Воспользуемся

материальным

уравнением

D = εa E

и

запишем с учетом

(3.80)

граничные условия

для

касательных

→

составляющих вектора D

1

D

=

1

D

или D

τ1

=

ε1

D

τ2 .

ε2

εa1

εa2

τ1

τ2

(3.81)

→

Касательная составляющая вектора D претерпевает разрыв, величина которого определяется отношением диэлектрических

52

→

→

проницаемостей

сред.

Из

материального

уравнения

B

= µa H и

граничного условия (3.79)

имеем

µ1

1

Bτ1

1

Bτ2 или

Bτ1

=

Bτ2 .

=

(3.82)

µ2

µa1

µa2

Граничное

условие

(3.82)

показывает,

что

касательная

→

составляющая вектора B претерпевает разрыв, величина которого зависит от соотношения между магнитными проницаемостями.

Граничные условия (3.79) и (3.82) записаны для мгновенных значений векторов переменного электромагнитного поля. В случае монохроматического поля граничные условия записываются для комплексных амплитуд векторов поля

•

•

•

•

•

ε

1

•

•

µ

1

•

H τ1

= H τ2

,

E τ1

= E τ2

,

Dτ1

=

Dτ2

,

Bτ1

=

Bτ2 . (3.83)

ε2

µ2

Обратим внимание на тот факт, что граничные условия для нормальных и тангенциальных составляющих векторов электромагнитного поля имеют различия. Причину этих различий

→

покажем на примере вектора E . Пусть имеются две изотропные среды с общей границей раздела, характеризуемые

диэлектрическими проницаемостями			εa1	и		εa 2 .	Под
воздействием	внешнего	электрического		поля		обе	среды
поляризуются,	причем вектор поляризованности				→	будет иметь
					P
различные значения, так		как εa1 ≠ εa2 . Пусть			вектор		→
							E , а,

→

следовательно, и вектор P перпендикулярны границе раздела (рис. 3.7).

53

ε1		ε
	→	1
→
	P1
P1

→

→ E

E

	→	→
		P2
	P2		ε2

ε2

Рис. 3.7. Поляризация диэлектриков при нормальной ориентации

	→
	вектора E
	→
	P1
ε1
ε2	→
	P2

Рис. 3.8. Поляризация диэлектриков при касательной ориентации

→

вектора E

На рис. 3.7. показан случай, когда εa1 < εa2 и вторая среда поляризуется легче (символически это отображено на рис. 3.7) тем, что во второй среде больше молекулярных диполей,

→

ориентированных параллельно вектору E . На границе раздела возникают нескомпенсированные положительные связанные заряды (вторичные источники). Эти заряды создают дополнительное электрическое поле, которое в первой среде складывается с первичным полем, а во второй – вычитается, так что

54

n1 ≠ n2 и нормальная составляющая вектора → имеет разрыв

E E E

при переходе через границу раздела.

→→

Если векторы E и P параллельны поверхности раздела

(рис. 3.8), то нескомпенсированных зарядов на границе раздела не
возникает,	Eτ1 = Eτ2	и	тангенциальная	составляющая

непрерывна. Но при этом тангенциальная составляющая вектора индукции электрического поля Dτ = ε0 Eτ + Pτ испытывает скачок в силу одинаковых Eτ в обеих средах, но разных Pτ.

Различие в граничных условиях для нормальных и тангенциальных

→ →

составляющих векторов магнитного поля H и B объясняется разной степенью намагниченности сред, что приводит к появлению поверхностных молекулярных токов, создающих дополнительное магнитное поле.

3.7.4. Граничные условия на поверхности идеального проводника

При изучении переменных электромагнитных полей вблизи поверхности металлического тела предполагают, что рассматриваемое тело является идеальным проводником. При этом граничные условия упрощаются, так как в среде с σ → ∞ переменное поле отсутствует. Пусть идеально проводящей является

→	→	→	→	= 0 . Первая среда
вторая среда, тогда D2	= E 2	= B2	= H 2

изотропная, непроводящая. Поведение нормальных составляющих векторов поля установим с помощью соотношения (3.69)

	→ →	→ →	= ρ∆h.
D n		− D n
	1	2

В присутствии переменного поля заряды идеального проводника сосредотачиваются на его поверхности в бесконечно тонком слое, распределяясь с некой поверхностной плотностью. Представим объемную плотность зарядов в следующем виде:

55

ρ =	∆Q	=	∆Q	=	ρS	,	(3.84)
	∆V		∆S ∆h		∆h

где ∆S – элемент поверхности проводника;

ρS = ∆∆QS – поверхностная плотность заряда (её часто называют также плотность поверхностных зарядов).

Тогда правая часть соотношения (3.69) принимает вид ρS , и, приравняв нулю D n 2 , получаем граничное условие для

→

нормальной составляющей вектора D на поверхности идеального проводника

Dn1 = ρS .						(3.85)
					→
Нормальная составляющая		вектора E				определяется из
→			→
материального уравнения D = εa E
En1	=		ρS
			ε	.
				a1		(3.86)

Нормальные составляющие векторов магнитного поля определяются из (3.72) и (3.73)

	Bn1 = 0 ,					Hn1	= 0 .		S	(3.87)
Поведение	касательных				к	поверхности				проводника
			→			→
составляющих	векторов		E		и	H	установим			с помощью
соотношения (3.78)
							→
	→	→	→		→	→	∂ D	→
	H 1	τ− H 2		τ = ( j+			∂t	) N	∆h	.

Объемная плотность тока смещения величина всегда конечна, так как векторы поля и их производные величины ограниченные,

56

	→
	∂ D	∆h → 0 при ∆h → 0.
поэтому в правой части (3.78) имеем
	∂t

Особый разговор об объёмной плотности тока проводимости в правой части (3.78)

→	→	→	∆Q
∆h j	= ∆h ρ υ	= ∆h υ		,	(3.88)
			∆S∆h

→

где υ – скорость носителей заряда.

Поскольку заряд сосредоточен на поверхности, (3.88) примет вид

→	→	ρS =	→
∆h j	= υ		j s ,	(3.89)

→

где jS – поверхностная плотность тока проводимости (её часто

называют плотность поверхностного тока).

→

Поверхностная плотность тока проводимости jS имеет размерность А/м. Теперь предельный переход в (3.78) даст правую часть, отличную от нуля

			→		→	→ →
			H1 τ =			jS N .	(3.90)
Заменяем	→		→ →		и	используем	свойства циклической
	τ = N, n

перестановки сомножителей в смешанном произведении, в результате получаем

→ →	→	→ →
n, H1	N = jS N .
Поскольку это равенство		выполняется при

→

направлении орта N , то из этого следует:

→ →		→		→	→
n, H1		= jS или	n, H τ1		= jS

любом

. (3.91)

57

Из уравнения (3.80) получаем граничное	условие для
→
тангенциальной составляющей вектора E
Eτ1 = 0 .	(3.92)

Итак, на поверхности идеального проводника выполняются следующие граничные условия для нормальных и тангенциальных составляющих векторов поля:

ρ

→ →

→

E

=0 ,

E

=

S

,

H

=0,

n, H

= j

τ1

n1

εa1

n1

τ1

S

. (3.93)

Тангенциальная составляющая магнитного поля наводит на поверхности идеального проводника электрический ток с

→
плотностью jS , который	перпендикулярен вектору	магнитного
→	идеального проводника	нормальная
поля H . На поверхности
→		→

составляющая вектора H и касательная составляющая вектора E

обращаются в нуль. Силовые линии магнитного поля (замкнутые) подходят к идеальному проводнику так, что только касаются его поверхности. Силовые линии электрического поля к идеальному проводнику подходят так, что всегда перпендикулярны его поверхности.

Глава 4. Плоские электромагнитные волны в однородной изотропной среде

4.1. Волновые уравнения

Одним из важнейших результатов, полученных Максвеллом, явилось доказательство волновой природы переменного во времени электромагнитного поля. Уже утверждалось то, что изменение во времени электрического поля приводит к возникновению вихревого магнитного поля, изменяющегося в пространстве, и наоборот. Докажем волновой характер электромагнитного поля математически. Сведем уравнения Максвелла к другим уравнениям, которые заведомо описывают волновой процесс. Для

58

этого можно взять уравнение Максвелла в виде, не охватывающем явление «первичного возбуждения» электромагнитного поля, то есть без сторонних источников, и исследовать поведение поля за пределами области, где находятся его источники.

Рассмотрим однородную изотропную среду с заданными параметрами εа,µа . Для упрощения математических

преобразований предположим, что проводимость среды σ = 0 , то есть это идеальная диэлектрическая среда без потерь. Исходными являются уравнения Максвелла для данной среды

		→		→
			= εа ∂E ;
	rot H						(4.1)
				∂t
		→		→
			= −µа ∂H				(4.2)
	rot E				;
		→		∂t
				= 0;			(4.3)
	div E
		→		= 0 .			(4.4)
	div Н
Уравнения (4.1) и (4.2) взаимосвязаны, в каждое из них входит
→		→
и вектор E ,	и вектор	H . При			выделении	из	(4.1) и (4.2)	в
		→				→
отдельности	вектора	E		и	вектора	H	приходим	к

дифференциальным уравнениям второго порядка для каждого вектора. Возьмем ротор от обеих частей уравнения (4.1) и изменим порядок дифференцирования по времени и по пространственным координатам в правой части (4.1)

	→		∂	→
	rot rot H	= εа		rot E .
			∂t

Используем равенство из векторного анализа

→	→	− 2	→
rotrot H	= grad div H		H ,

(4.5)

(4.6)

где 2 = ∆ – оператор Лапласа.
Подставляя (4.4)	в (4.6)		и	(4.2),	(4.6) в (4.5), приходим к
дифференциальному уравнению второго порядка для вектора						→
						H
→	−εаµа ∂	2	→	= 0 .
2 H			H			(4.7)
	∂t2
			59

Взяв ротор от обеих частей уравнения (4.2), аналогичным

→

образом выводится уравнение для вектора E

	→			2 →
2	E	− εаµа	∂		2E	= 0 .	(4.8)
			∂t

Коэффициент перед второй производной по времени в уравнениях (4.7), (4.8) имеет размерность сек2/м2 , то есть обратно пропорционален квадрату скорости. Каждое из векторных уравнений (4.7), (4.8) эквивалентно трем скалярным уравнениям. Обозначим через S любую из пространственных составляющих

→	→
векторов E	и H , тогда скалярные уравнения принимают вид
	2S −	1	∂2S	= 0 .	(4.9)
		V 2	∂t2

Как известно, уравнения вида (4.9) описывают волновые процессы, причем параметр V равен скорости распространения этого процесса. Такие уравнения называют однородными (с правой нулевой частью) уравнениями Даламбера или однородными волновыми уравнениями. Искомая функция S, описывающая волновой процесс, изменяется и в пространстве и во времени. При учете источников волновых процессов правая часть уравнения (4.9) не равна нулю и уравнение называется неоднородным. Волновое уравнение (4.9) представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка, решением которого являются функции вида

	r
F t m			, где верхний знак соответствует волне, бегущей вдоль
	V

направления r, а нижний знак - волне, бегущей в противоположном направлении. Выбор физического решения выполняется на основе знания местоположения источника.

→ →

Полученные уравнения для векторов E и H электромагнитного процесса отличаются от (4.9) только тем, что входящие в них функции являются векторными. Уравнения такого типа (4.7), (4.8) называют однородными векторными уравнениями Даламбера или однородными векторными волновыми уравнениями. Входящий в уравнения (4.7), (4.8) параметр

60