Лекция 7

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА

Курс лекций

Лекция 7

Модуль I. Электрические цепи

2. Электрические цепи синусоидального тока (продолжение).

2.8.Цепь синусоидального тока с параллельным соединением приемников. Резонанс токов

2.9.Повышение коэффициента мощности электротехнических установок

2.10.Разветвленная цепь синусоидального тока

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 7

2.8. Цепь синусоидального тока с параллельным соединением приемников. Резонанс токов

Электрическая цепь может содержать приемники, соединенные параллельно. Эти приемники могут обладать разным характером. Их параметры могут быть также различными.

Рассмотрим цепь, состоящую из двух приемников с параметрами R1, ХL1, R2, ХC2, соединенных параллельно (см. рис. 2. 32).

Рис. 2. 32. Схема цепи с параллельным включением приемников

К зажимам цепи приложено напряжение U& . Определим токи во всех участках цепи, активную, реактивную и полную мощности.

Примем начальную фазу напряжения ψu = 0 , тогда комплексное значе-

ние напряжения

U&

=Ue j 0

=U .

(2.156)

Сопротивление и ток каждой ветви в комплексной форме

jϕ

U&

U

− jϕ

− jϕ

Z

1

= R

+ jX

L1

= Z e

1

,

I&

=

=

e

1

= I

1

e

1

;

(2.157)

1

1

1

Z

1

Z1

− jϕ

2

&

U&

U

e

jϕ

2

I2e

jϕ

2

Z 2 = R2 − jX C2 = Z 2 e

,

I2

=

Z

2

=

=

(2.158)

Ток в неразветвленной части

I&

Z2

определяется токами ветвей по первому

закону Кирхгофа.

I& = I&1 + I&2

(2.159)

Напряжение источника и токи ветвей показаны на векторной диаграмме

(см. рис. 2. 33).

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 7

2

Рис. 2. 33. Векторная диаграмма разветвленной цепи.

Вектор напряжения направлен вдоль вещественной оси с учетом его начальной фазы, равной нулю (ψu = 0 ). Вектор тока первой ветви I&1 отстает от вектора U& на угол φ1 (характер первой ветви активно-индуктивный), вектор тока второй ветви I&2 опережает вектор U& на угол φ2 (характер второй ветви активно-емкостный). Результирующий вектор I&, равный сумме векторов I&1 и

I&2 , – вектор тока в неразветвленной части цепи в соответствии с (2.159). Значение тока в цепи можно определить, проводя анализ в модульной

форме. Для этого на векторной диаграмме разложим вектор каждого тока на две составляющие: активную, совпадающую по направлению с вектором U& , и реактивную, перпендикулярную к вектору U& .

I&1a и I&1L – активная и реактивная индуктивная или просто индуктивная составляющие тока I&1 ;

I&2a и I&2C - активная и емкостная составляющие тока I&2 ;

I&a и I&р – активная и реактивная составляющие тока в неразветвленной

части цепи. .

Модули активных составляющих токов:

I	1a	= I cosϕ =		U		R1	=	R1		U = G U ,	(2.160)
		1	1	Z1		Z1		Z	2	1
									1
Модуль I. Электрические цепи											Лекция 7
					3

I

2a

= I

2

cosϕ

2

=

U

R2

=

R2

U = G U

,

(2.161)

Z2

Z2

Z22

2

Ia

= I1a + I2a =G1U +G2U =(G1 +G2 )U =GU .

(2.162)

Здесь G1, G2

–

активные проводимости ветвей; G =G1+G2 –

активная

проводимость цепи. Единица активной проводимости - См (Сименс).

Модули реактивных составляющих

I

= I

sinϕ = U

X L1

=

X L1

U = B

U

,

(2.163)

Z12

1L

1

1

Z1

Z1

L1

I

2C

= I

2

sinϕ

2

=

U

XC2

=

XC2

U = B

U .

(2.164)

Z2

Z2

Z

22

C2

Из векторной диаграммы

I р = I1L − I2C = BL1U − BC 2U = (BL1 − BC 2 )U = BU

(2.165)

Здесь BL1 – индуктивная, BC2 – емкостная, B = (BL1 – BC2) – реактивная проводимости цепи.

Единица реактивной проводимости – Cм (Сименс).

По векторной диаграмме из прямоугольного треугольника со сторонами

I a , I р, I

можно,

используя теорему Пифагора, определить модуль тока в

неразветвленной цепи.

I =

I a 2 + I р2 =

(GU )2 + (BU )2 =

G 2 + B 2 U =YU .

(2.166)

Величина Y =

G 2 + B 2 =

G 2 +

(B

−B

2C

)2 – полная проводимость

цепи.

1L

Единица полной проводимости –

См (Сименс).

В предыдущем параграфе получены соотношения для активной, ре-

активной и полной мощностей цепи.

P =UI cosϕ, Q =UI sin ϕ ,

S =UI .

(2.167)

Используя эти выражения, запишем соотношения для мощностей через

составляющие токов и проводимости

=GU 2

P =UI cosϕ =UIа

(2.168)

Q =UI sin ϕ =UI р

= BU 2

= BL1U 2

− BC 2U 2 = QL1 −QC 2

(2.169)

S =UI =YU 2

(2.170)

Коэффициент мощности цепи

Iа

cosϕ =

P

=

= G

(2.171)

S

I

Y

В рассматриваемой цепи в зависимости от соотношения между реактив-

ными проводимостями BL1 и BC2 разность фаз φ всей цепи может быть положи-

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 7

4

тельной, отрицательной или равной нулю. Рассмотрим возможные режимы:

	BL1 > BC2 .
	B = (BL1 − BC 2 )> 0; I1L > I2C , I р = (I1L − I2C )> 0.			(2.172)
	Т.е. реактивная составляющая полного тока положительна.
	При этом разность фаз	I р
	ϕ=arctg		>0.	(2.173)
		Ia

Векторная диаграмма для этого режима приведена на рис. 2. 33. Приложенное напряжение опережает по фазе полный ток, цепь имеет активно– индуктивный характер.

BL1 < BC2 .
B = (BL1 − BC 2 )< 0; I1L < I2C , I р = (I1L − I2C )< 0.			(2.174)
Т.е. реактивная составляющая полного тока отрицательна.
При этом разность фаз
ϕ =arctg	I р	< 0.	(2.174)
	Ia

Векторная диаграмма для этого режима приведена на рис. 2. 34.

Рис. 2. 34. Векторная диаграмма разветвленной цепи при BL1 < BC

Напряжение отстает по фазе от полного тока цепи. Цепь имеет активно– емкостный характер.

BL1 = BC2

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 7

5

B = 0; I1L = I2C , I р = 0.

(2.176)

Т.е. в этом режиме индуктивная и емкостная составляющие взаимно скомпенсированы, а реактивная составляющая полного тока равна нулю.

При этом разность фаз

ϕ =arctg	I р	= 0.	(2.177)
	Ia

Цепь имеет активный характер, напряжение и полный ток цепи совпадают по фазе.

Векторная диаграмма для этого режима изображена на рис. 2. 35.

Рис. 2. 35. Векторная диаграмма разветвленной цепи при BL1 = BC

Явление, возникающее в разветвленной цепи с элементам L, R, С, когда полный ток цепи и приложенное напряжение совпадают по фазе, называется

резонансом токов. Условие резонанса токов: BL = BC

Реактивная мощность цепи в режиме резонанса Q = QL1 −QC 2 = 0. Сле-

довательно, цепь не потребляет от сети реактивной энергии. В ней происходит взаимный обмен энергиями между электрическим и магнитным полями емкостного и индуктивного элементов.

Рассмотрим режим резонанса токов для схемы рис. 36а. В этой цепи параллельно соединены три идеальных элемента с параметрами соответственно R, L, С.

Для рассматриваемой цепи активная проводимость G = R1 , реактивные

проводимости B	L	=	1	=	1	, B =		1	=ω C .	(2.178)
			X L		ωL	C		XC
Модуль I. Электрические цепи										Лекция 7
							6

При изменении частоты индуктивная и емкостная проводимости также изменяются. При этом меняется режим работы цепи.

На рис. 2. 36б приведены зависимости проводимостей G, BL, BC, Y и тока I в неразветвленной части цепи от частоты.

а

б

Рис. 2. 36. Резонанс токов

При частоте, равной резонансной, индуктивная и емкостная проводимости равны. При этом реактивная проводимость всей цепи равна нулю:

B = BL − BC = 0 ,	(2.179)
а полная проводимость цепи минимальна и определяется проводимостью
резистора: Yрез = G .	(2.180)
Модуль I. Электрические цепи	Лекция 7
7

Ток цепи в режиме резонанс токов минимален:

I рез =YрезU =GU .	(2.181)
Коэффициент мощности. cosϕрез	=1.

Явление резонанса токов используется в электротехнике для повышения коэффициента мощности установок и в радиотехнике при составлении схем резонансных фильтров.

2.9. Повышение коэффициента мощности электротехнических установок.

Как показано ранее, полезное преобразование электрической энергии в другие виды энергии в электрической цепи характеризует активная мощность P. Активная мощность составляет часть полной мощности. Доля активной мощности в полной определяется коэффициентом мощности:

	cosϕ =	P	(2.182)
		S

Чем ближе cos ϕ к единице, тем большую часть в полной мощности цепи

составляет активная мощность, тем эффективней преобразование электрической энергии в другие виды энергии.

Поэтому коэффициент мощности имеет важное экономическое значение. Большинство потребителей электрической энергии имеют активноиндуктивный характер, то есть они потребляют активную P и реактивную индуктивную мощность QL . Разность фаз φ>0. Коэффициент мощности cosφ < 1. При номинальной нагрузке потребителей cosϕ = (0,7 ÷0,9) , а при нагрузке

меньше номинальной – ниже. Это требует мер по повышению коэффициента мощности.

Источником снижения cosϕ является излишнее потребление

реактивной мощности недогруженными двигателями и трансформаторами. Один из способов повышения коэффициента мощности – рациональное использование электрооборудования. Другой способ – применение специальных косинусных конденсаторов или синхронных компенсаторов, обладающих емкостным характером, подключаемых параллельно приемнику и потребляющих емкостный ток.

Схема замещения активно-индуктивного потребителя представлена последовательным соединением активного и индуктивного элементов с параметрами Rп и Xп (рис. 2. 37).

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 7

8

Рис. 2. 37. Схема замещения потребителя и косинусного конденсатора

Ток приемника

I&П =	U&	.	(2.183)
	Z П

Активная мощность определяется активной составляющей тока приемни-

ка:

P =U I П cosϕП =U I Па.

(2.184)

Ток в линии передачи до подключения конденсатора определяется током приемника:

I&Л = I&П .

(2.185)

При замыкании ключа К емкостный элемент подключается параллельно приемнику. При этом ток в приемнике не изменяется и определяется выражением (2.183). Активная мощность по–прежнему определяется активной составляющей тока приемника в соответствии с (2.184).

Ток в конденсаторе

I&С =	U&	.	(2.186)
	− jX C

Ток в линии передачи при подключенном конденсаторе по первому закону Кирхгофа:

I&′Л = I&П + I&C .

(2.187)

Анализ эффективности этого способа повышения коэффициента мощности может проведен по векторной диаграмме, показанной на рис. 2. 38.

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 7

9

Рис. 2. 38. Векторная диаграмма потребителя и косинусного конденсатора и диаграмма мощностей цепи.

Здесь ток приемника IП имеет активно–индуктивный характер и отстает от напряжения на угол, определяемый разностью фаз приемника φП. Ток конденсатора IC опережает по фазе напряжение на π/2. Ток в линии I ′Л при под-

ключенном конденсаторе определяется в соответствии с (185) суммой векторов IП и IC. При этом ток в линии отстает по фазе от напряжения на угол ϕ′, меньший, чем φП :

ϕ′ < ϕП ,	(2.188)
т.е. коэффициент мощности увеличился:
cosϕ′> cosϕП.	(2.189)

. Величина тока в линии передачи уменьшилась при подключении конденсатора. Практически это означает, что при той же активной мощности приемника полная мощность уменьшилась, т.к. уменьшился ток:

P =U I Па = S cosϕП =U I П cosϕП = S ′cosϕ′=U I ′Л cosϕ′

(2.190)

Таким образом, подключив конденсатор параллельно потребителю, можно повысить коэффициент мощности установки при неизменной активной мощности.

Меньший ток в линии передачи обуславливает меньшие потери, меньшую нагрузку для источника электроэнергии, позволяет подключать к нему дополнительные потребители. Все это делает электроустановку в целом более ра-

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 7

10