Лекция 6

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА

Курс лекций

Лекция 6

Модуль I. Электрические цепи

2. Электрические цепи синусоидального тока (продолжение).

2.7. Цепь синусоидального тока с последовательным соедине нием R, L, C – элементов. Резонанс напряжений

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 6

2.7. Цепь синусоидального тока с последовательным соединением R, L, C – элементов. Резонанс напряжений

В общем случае любое реальное устройство, содержащееся в электрической цепи, может быть представлено в схеме замещения тремя идеальными элементами. Поэтому целесообразно при анализе цепей синусоидального тока знать соотношение тока и напряжения для участка цепи с тремя последовательно соединенными элементами: резистором, идеальным индуктивным и идеальным емкостным элементами.

Схема замещения такой неразветвленной цепи показана на рис. 2. 23.

Рис. 2. 23. Схема цепи с последовательным соединением элементов R, L, C.

Под действием синусоидального напряжения в цепи возникает синусоидальный ток i. Необходимо определить соотношение между синусоидальными

током и напряжением этой цепи по величине и по фазе.
Синусоидальный ток с амплитудой Im и начальной фазой ψi	изображается
в виде:
i = Imsin(ωt+ψi) ,	(2.98)
или в комплексной форме:
I& = Ie jψi .	(2.99)

По второму закону Кирхгофа для контура рассматриваемой цепи полное напряжение цепи соотносится с напряжениями на отдельных элементах в виде:

	u =uL +uR +uc или	U& =U&L +U&R +U&С	(2.100)
Как показано ранее (51), (71),		(90), напряжение на каждом из элементов соот-
носятся с током в соответствии с законом Ома:
	U&L = X L I& = jX L I&,		(2.101)
	U&R = RI&,		(2.102)
	U&C = X C I& =(− jX C )I&.	(101)
	Ток во всех элементах при их последовательном соединении один и тот
	Модуль I. Электрические цепи		Лекция 6
		2

же. Тогда выражение (98) может быть представлено в виде:
U& = jX LI&+ RI&+(− jXC )I& = (R + j(X L − XC ))I& = ZI& =Ue jΨu						(2.104)
	I& =	U&	U&
Или			=		.	(2.105)
		(R + j( X L − XC ))		Z
Здесь Z = (R + j(X L − XC ))= Ze± jϕ						(2.106)

- комплексное полное сопротивление цепи с тремя последовательно соединенными элементами.

Таким образом, выражение (2.105) определяет соотношение между комплексным током и комплексным напряжением также в форме закона Ома: комплексный ток в цепи с тремя последовательно соединенными элементами прямо пропорционален комплексному напряжению и обратно пропорционален комплексному полному сопротивлению этой цепи.

Модуль и аргумент комплексного полного сопротивления определяются параметрами отдельных элементов.

Исходя из (2.106) , модуль комплексного полного сопротивления

Z = R2 +(X L − XC )2 = R2 + X 2 ,

(2.107)

где X = X L − XC – реактивное сопротивление цепи.

Аргумент комплексного полного сопротивления ϕ = arctg

X

.

(2.108)

R

В соответствии с законом Ома в комплексном виде для этой цепи (2.105) ,

I& =

U&

=

U e jψu

=

U

e

j(ψ

u

−ϕ)

=

I e

jψ

i .

(2.109)

Z

Z e jϕ

Z

Исходя из полученного выражения (2.109) , действующее значение тока

I =

U

,

(2.110)

начальная фаза тока

Z

ψi =ψu −ϕ , или

ψu =ψi +ϕ.

(2.111)

Как видно, действующие значения тока и напряжения в этой цепи также определяется полным сопротивлением Z в форме закона Ома. По фазе напряжение опережает ток на угол φ. При этом полное сопротивление и разность фаз определяются соотношением сопротивлений трех элементов в соответствии выражениями (2.107) и (2.108).

Тот же результат может быть получен посредством наглядного графического изображения тока и напряжений на векторной диаграмме.

Векторная диаграмма для рассматриваемой цепи показана на рис. 2. 24. Здесь начальная фаза тока принята произвольно равной нулю (ψi = 0). При этом

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 6

3

вектор тока направлен вдоль вещественной оси комплексной плоскости.

Рис. 2. 24. Векторная диаграмма цепи с последовательным соединением элементов L, R, C.

Вектор напряжения индуктивного элемента повернут относительно вектора тока на π/2 в сторону опережения в соответствии со свойствами этого элемента (2.68). Вектор напряжения резистора направлен вдоль вектора тока в соответствии со свойствами резистора (2.49). Вектор напряжения емкостного элемента повернут на угол π/2 относительно вектора тока в сторону отставания в соответствии со свойствами емкостного элемента (85). Длина векторов напряжений определяется их действующими значениями по закону Ома для каждого из элементов в соответствии с (2.69), (2.48), (2.85).

Соотношение напряжений по второму закону Кирхгофа (2.100) на векторной диаграмме соответствует векторному сложению. При этом вектор полного напряжения цепи на рис. 2. 24 определяется суммой трех векторов напряжений на отдельных элементах:

U

=

U

L +

U

R +

U

C

(2.112)

Из построенной векторной диаграммы возможен анализ соотношения тока и полного напряжения цепи. Для этого выделим на векторной диаграмме прямоугольный треугольник ОАВ (см. рис. 2. 25).

Рис. 2. 25. Треугольник напряжений цепи с последовательным соедине-

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 6

4

нием элементов.

Нижний катет треугольника пропорционален напряжению резистора, которое определяется его активным сопротивлением, и его называют активной составляющей напряжения (Uа=UR). Правый катет треугольника пропорционален разности напряжений двух реактивных элементов: индуктивного и емкостного, и его называют реактивной составляющей напряжения:

U р =U L −UC .

(2.113)

Гипотенуза треугольника пропорциональна величине полного напряжения цепи U. Угол φ определяет разность фаз всей цепи.

Этот треугольник называют треугольником напряжений и используют для наглядного представления соотношения между отдельными составляющими напряжений при анализе цепи с последовательным соединением R,L,C – элементов.

Поделим стороны треугольника напряжений на величину тока I. При этом получается подобный треугольник (см. рис. 2. 26) со сторонами:

Рис. 2. 26. Треугольник сопротивлений цепи с последовательным соединением элементов.

UIR = R - активное сопротивление резистора;

U р	=	U L −UC		= X L − X C = X - реактивное сопротивление, определяе-
I			I

мое разностью индуктивного и емкостного сопротивлений;

UI = Z - полное сопротивление цепи, определяющее соотношение по ве-

личине тока и полного напряжения.

Угол φ определяет разность фаз всей цепи.

Этот треугольник называют треугольником сопротивлений и используют для наглядного представления соотношения между сопротивлениями отдельных элементов и полным сопротивлением цепи с последовательным соединением R,L,C – элементов.

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 6

5

По теореме Пифагора для треугольника сопротивлений модуль полного сопротивления

Z = R2 + X 2 = R2 +( X L − X C )2 .

(2.114)

Он определяет соотношение по величине между током и полным напряжением.

Из того же треугольника разность фаз для всей цепи

ϕ =arctg	X	=arctg	X L − XC	.	(2.115)
	R
			R

Она описывает соотношение по фазе между током и полным напряжением и определяет аргумент комплексного полного сопротивления.

Таким образом, комплексное полное сопротивление может быть записано в виде:

Z = Z e jϕ =	R2 +( X L − X C )2	jarctg(	X L −X C	)
			R
		e		.	(2.116)

Оно определяет соотношение между током и напряжением по закону Ома в комплексном виде:

&		U&
I	=		Z	.	(2.117)

При этом модуль комплексного полного сопротивления Z определяет со-

отношение по величине действующих значений напряжения и тока: Z =UI , а

аргумент комплексного сопротивления определяет соотношение синусоидальных напряжения и тока по фазе: ϕ =ψu −ψi .

Полученные при графическом анализе выражения (2.114) - (2.117) соответствуют записанным ранее (2.107) - (2.109).

Эти выражения справедливы для цепи, содержащей в общем случае три идеальных элемента, соединенные последовательно. В частности, реальное устройство может быть представлено в схеме замещения двумя или одним идеальным элементом. В этом случае полученные выражения также справедливы. Следует лишь формально принять сопротивление отсутствующего элемента равным нулю.

Пример.

Для цепи на рис. 2.21 определить напряжение источника, используя понятие полного комплексного сопротивления.

Рассматривая эту цепь как частный случай цепи с тремя идеальными элементами, можно принять емкостное сопротивление равным нулю (XC=0). При этом комплексное полное сопротивление

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 6

6

	Z = Z e jϕ = R 2 + ( X L − X C )2 e		jarctg(		X L −X C	)
					R
						=.
	= 1332 + (62,8 − 0)2 e jarctg(	62,8−	0	) =147e j25o .
		133

Напряжение всего участка по закону Ома в комплексном виде:

U& = I&Z =1,5e j0 147e j25o = 220e j25o .

Аналогичным образом можно определять комплексное полное сопротивление участка цепи, содержащего два других идеальных элемента, или один из них.

Используя графические изображения в форме треугольников напряжений и сопротивлений, можно записать выражения, полезные при расчете и анализе такой электрической цепи:

U а =U R = RI =U cosϕ ;

U р =U L −U C = X L I − X C I =(X L − X C )I = XI =U sin ϕ ;

U = U а2 +U р2 = (RI )2 + (XI )2 = R 2 + X 2 I = ZI ;

ϕ = arctg U р .

U а

(2.118)

(2.119)

(2.120)

(2.121)

Для анализа энергетических соотношений в цепи с последовательным соединением R, L, C – элементов определим характер изменения мгновенной мощности в этой цепи:

p=u i =Um sin(ωt +ψu ) Im sin(ωt +ψi ) =

=Um sin(ωt +ψi +ϕ) Im sin(ωt +ψi ) =

=	1 UmIm cos ϕ−	1 UmIm cos(2ωt +2ψi +ϕ).	(2.122)
	2	2
Или, используя действующие значения тока и напряжения,
	p =UI cos ϕ−UI cos(2ωt +2ψi +ϕ).		(2.123)

Как видно из полученного выражения (121), мощность в рассматриваемой цепи изменяется во времени по гармоническому закону с двойной частотой. При этом колебания мощности происходят вокруг среднего значения, определяемого первым слагаемым в правой части этого выражения.

Среднее значение мощности определяет активную мощность. Тогда активная мощность

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 6

7

			1	T
	P = pср =			∫ pdt =UI cos ϕ.	(2.124)
		T
				0
	или
	P =UI cosϕ=UаI = RI 2 .				(2.125)

Как видно, активная мощность определяется мощностью резистора. Произведение действующих значений тока и полного напряжения цепи называют полной мощностью S:

S =UI = ZI 2 .	(2.126)
Единица полной мощности – ВА, кВА, МВА.

Исходя из (2.125 ) и (2.126) соотношение активной и полной мощностей:

P = S cosϕ , или cosϕ =	P	.	(2.127)
	S

Активная мощность определяет необратимое преобразование электрической энергии в другие виды энергии, т.е. полезную работу, совершаемую током в электрической цепи. В общем случае активная мощность составляет лишь часть полной мощности, определяемой произведением действующих значений тока и полного напряжения. Эта доля активной мощности в полной определяется выражением (2.127). Отношение активной мощности к полной называется коэффициентом мощности. Принимая во внимание выражение (2.127), коэффициент мощности обозначают cosφ.

Коэффициент мощности можно определить соотношением сопротивлений отдельных элементов, например, исходя из треугольника сопротивлений

(рис. 26):	R			R
cosϕ =		=	2		.	(2.128)
	Z	R		+( X L − X C )	2

Графически соотношение активной и полной мощности отображается треугольником мощностей. Для построения треугольника мощностей умножим треугольник напряжений на действующее значение тока. При этом образуется подобный прямоугольный треугольник (см. рис. 2. 27) .

Рис. 2. 27. Треугольник мощностей цепи с последовательным соединением элементов

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 6

8

Нижний катет треугольника пропорционален активной мощности:

U а I =U R I = R I 2 = P .

(2.129)

Правый катет треугольника пропорционален величине:

U

р

I =U

L

I −U

C

I = X

L

I 2 − X

C

I 2

= Q

L

−Q = Q .

(2.130)

C

Это реактивная мощность всей цепи.

Гипотенуза треугольника оказывается равной полной мощности:

U I = S .

(2.131)

Из треугольника мощностей:

S =

P2 +Q2 ,

(2.132)

Q = S sin ϕ,

(2.133)

P = S cosϕ , или cosϕ =

P

,

(2.134)

S

Что соответствует полученным ранее выражениям.

При выполнении расчетов в комплексном виде комплексное значение полной мощности определяется произведением комплексного напряжения на сопряженный комплексный ток:

S =U&I * = ZI&I * = ZI 2 .

Здесь I* = Ie− jψi сопряженный комплексный ток. Тогда:

S =U&I * =Ue jΨu Ie− jΨi =UIe j(Ψu −Ψi) =UIe jϕ = Se jϕ = = S cosϕ + jS sinϕ = P + jQ = P + j(QL −QC )

(2.135)

2.136)

В рассматриваемой цепи с последовательным соединением R, L, C – элементов при разном соотношении сопротивлений элементов (R, XL, XC) создается разный режим работы. При этом характер цепи определяется разностью фаз φ, значения которой могут быть положительными или отрицательными в диапазоне от π/2 до – π/2 .

Ниже рассматриваются режимы работы цепи при разных соотношениях индуктивного и емкостного сопротивлений.

Показанная на рис. 2. 24 векторная диаграмма построена в предположении, что

индуктивное сопротивление больше емкостного (ХL	> ХC ). Реактивное сопро-
тивление всей цепи положительно:
X = (X L − XC )> 0 .	(2.137)
При этом в соответствии с законом Ома напряжение на индуктивном
элементе больше емкостного:
UL = I X L >UC = I XC .	(2.138)

Разность фаз всей цепи оказывается положительной, т.е. полное напряжение опережает по фазе ток на угол φ, больший нуля:

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 6

9

	ϕ=arctg	X	>0 .	(2.139)
		R

Треугольник сопротивлений и треугольник мощностей для этого режима имеют вид, показанный на рис. 2. 26, 2. 27.

Вэтом режиме цепь характеризуется активной мощностью P и положительной реактивной мощностью Q>0. Положительное значение реактивной мощности свидетельствует о том, что индуктивная мощность больше емкостной, т.е. индуктивный элемент преобладает над емкостным элементом.

Вэтом режиме характер цепи называют активно–индуктивным.

При сопротивлении индуктивного элемента, меньшим емкостного, (ХL <

ХC ) реактивное сопротивление всей цепи отрицательно:
X = (X L − XC )< 0	(2.140)
При этом в соответствии с законом Ома напряжение на индуктивном
элементе меньше емкостного:
U L = I X L <UC = I X C .	(2.141)

Векторная диаграмма для этого режима показана на рис. 2. 28.

Рис. 2. 28. Векторная диаграмма неразветвленной цепи при ХL < ХC.

Разность фаз всей цепи оказывается отрицательной, т.е. полное напряжение отстает по фазе от тока:

	ϕ =arctg	X	< 0 .	(2.142)
		R

Треугольник сопротивлений и треугольник мощностей для этого режима показаны на рис. 2. 29.

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 6

10