ПП _08 _Предельные теоремы

ПП 8. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Предельные теоремы теории вероятностей – группа утверждений, устанавливающих связь между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных величин при большом числе испытаний над ними. Различают две группы теорем.

Первая, называемая законом больших чисел (ЗБЧ), устанавливает устойчивость средних значений: при большом числе испытаний среднее значение случайной величины практически перестает быть случайным и может быть предсказано с большой степенью определенности.

Вторая группа теорем, называемая центральной предельной теоремой

(ЦПТ), устанавливает условия, при которых закон распределения суммы случайных величин приближается к нормальному.

При доказательстве предельных теорем часто используются вспомогательные утверждения: неравенство Маркова и неравенство Чебышева.

Неравенство Маркова

Для любой неотрицательной с.в. X ≥0 с математическим ожиданием M ( X )

и для любого ε > 0 справедливо неравенство:

P(X ≥ε) ≤ Mε(X) .

Неравенство Чебышева

Вероятность того, что отклонение с.в. X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа ε , не меньше, чем

1− Dε(X2 ) :

P(

X −mx

<ε)≥1−

D(X

)

,

2

ε

D(X

)

или

P (

X −mx

≥ε)≤

.

2

ε

ПП 8.1. Закон больших чисел

Суть закона больших чисел заключается в том, что при большом числе независимых опытов частота появления какого-то события близка к его вероятности.

Теорема Чебышева (ЗБЧ в форме Чебышева)

Если случайные величины X1 ,X 2 ,...,X n ,...

1) попарно независимы и 2) их дисперсии ограничены, D (X i )≤ C ,

1

среднее арифметическое наблюдаемых значений независимых случайных величин X1 ,X 2 ,...,X n ,... по мере роста числа слагаемых все меньше отклоняется

от среднего арифметического их математических ожиданий:

			1	n	1	n
				∑Xi −		∑M (Xi )			=1,
lim P								<ε
n→∞			n i=1		n i=1

как бы мало ни было положительное число ε .

В частности, если X1, X2, …, Xn – попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание a, и дисперсии этих вели-

чин ограничены, то
		1	n	X		−a			=1.
lim			∑i=1		i			<ε
n→∞		n

Таким образом, сущностью теоремы Чебышева является тот факт, что хотя отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс относительно своих математических ожиданий, их среднее арифметическое рассеяно мало.

Теорема Бернулли (ЗБЧ в форме Бернулли)

Теорема Бернулли – исторически первая формулировка ЗБЧ (1713 г.). Пусть m – число появлений события А в n независимых испытаниях; p = P (A)

– вероятность появления события А в однократном испытании, тогда при стремлении числа испытаний n→∞ частота события А сходится по вероятности к вероятности события А,

					m	− p		< ε		=1 для любого ε > 0.
lim P
n→∞					n

Для с.в.

X =

1 ∑Xi M (X )= p , D(X )= pq , q =1− p .

n

n i=1

n

m

pq

Применим неравенство Чебышева: P

− p

<ε

>1−

.

n

nε

2

ПП 8.2. Центральная предельная теорема

ЦПТ устанавливает условия, при которых закон распределения суммы большого числа случайных величин приближается к нормальному.

Для нормального закона плотность и функция распределения имеют вид:

		1	e−	( x−a)2	x	1	x	( x−a)2
	f (x) =			2σ2 ,	F(x) = ∫ f (x)dx =		∫e−	2σ2 dx .
		2πσ			−∞	2πσ −∞

Если для нормального закона σ =1, распределение называют нормированным, если a = 0 – центрированным. Нормированное и центрированное нормальное распределение называют стандартным нормальным.

2

1

x2

x

x2

f (x)=ϕ(x)=

e−

, F (x)= 12 +Ф(x)=

1

∫e−

dx ,

2

2

π

π

2

2

−∞

1

x

x2

где

Ф(x)=

∫e−

dx – функция Лапласа.

2

2π

0

Простейший вариант ЦПТ

Пусть случайные величины X1 ,X 2 ,...,X n ,... независимы,

имеют одинаковое

распределение, конечные математическое ожидание

M (X i

)= a и дисперсию

D (Xi )=σ2 . Распределение стандартной (т.е., центрированной и нормированной) суммы этих величин Sn при n→∞ стремится к стандартному нормальному:

		n	n			n
		∑Xi − M	∑Xi			∑Xi −na
Sn	=	i=1	i=1		=	i=1		,
		n				σ
							n
		D ∑Xi
		i=1

F

(x)= P (S

< x)→F

(x,0,1),

(x,0,1)=

1

x

e−

t2

F

2

dt .

n

2π −∞∫

S

n

n→∞

N

N

Теорема Ляпунова (ЦПТ в формулировке Ляпунова)

Пусть X1 ,X 2 ,...,X n ,... – независимые случайные величины с математическими ожиданиями m1 = M (X1 ), m2 ,…, mn ,… и дисперсиями σ12 = D(X1 ),

σ22 …, σn2 ,… .

n

n

2

n

2

n

Y −M

n

Введем Yn = ∑Xi ,

Mn =

∑mi ,

Sn = ∑σi ,

Yn

= ∑Xi , Zn

=

n

.

2

i=1

i=1

i=1

i=1

Sn

n

Если

∑bk

→0

, где b =ν

(X

)= M

(

X

− m

3

)

– третий абсолютный

k =1

3

k

k

3

n→∞

k

k

n

2

∑Dk

k =1

центральный момент величины X k , то закон распределения Zn

при n→∞ стре-

мится к стандартному нормальному:

2

x

F

(x)= P(Z

< x)

→F

(x,0,1),

F

(x,0,1)

=

1

e−

t

dt .

n

∫

2

Zn

n→∞

N

N

2π

−∞

3

Формула Муавра-Лапласа как частный случай ЦПТ

Рассмотрим схему испытаний Бернулли: n – опытов, в каждом случае с вероятностью р может появиться событие А. Пусть Xi – случайная величина, связанная с появлением события А (индикатор события А):

Xi	0,	A не наступило,	Yn	n
	=	A наступило,		= ∑Xi – число появлений события А в n испыта-
	1,			i

ниях. Величина Yn распределена по биномиальному закону, соответствующие вероятности Pn (m)=Cnm pmqn−m , m = 0,1,2,...,n . Среднее значение M (Yn )= np ,

дисперсия D (Yn ) = npq . Введем стандартную (центрированную и нормирован-

ную) случайную величину Zn = Yn −np .

npq

→N (0,1)

В соответствии с центральной предельной теоремой

Z

,

n

n→∞

т.е., к нормальному распределению с mx

= 0 и σ =1, для которого плотность

распределения равна функции Гаусса f (x)=ϕ(x)=

1

e−

x2

2 , а функция рас-

2π

пределения выражается через функцию Лапласа

x

x2

F (x)=

1

∫ e−

dx = 12 +Ф(x).

2

π

2

−∞

Вероятность того, что в серии из n опытов число успехов m будет лежать

между k1 и k2 :

Pn (k1 ≤ m ≤ k2 )= P (k1 − np ≤ m − np ≤ k2 − np)=

k − np

m − np

k

2

− np

k

2

− np

k − np

= P

1

≤

≤

=Ф

−Ф

1

.

npq

npq

npq

npq

npq

На практике судят о замене биномиального распределение нормальным по

выполнению критериев:

np −3

npq > 0,

np +3

npq < n .

ПП 8.1. Закон больших чисел

№ п/п

Задание

Ответ

Монета бросается 1000 раз. Оцените сверху вероят-

ность отклонения частоты появления герба от веро-

ятности появления герба меньше, чем на 0,1.

ПП 8.№1.

РЕШЕНИЕ:

1

pq

≥ 39

D (X )

40

n =1000,

p = q =

2

, ε = 0,1;

=

.

n

D

X

m

(

P

− 1

<

ε ≥1−

)

=

39 .

2

1000

2

ε

40

4

В урне 1000 белых и 2000 черных шаров. Вынули с

возвращением

в урну 3000 шаров. Оцените снизуу

вероятность того, что число m извлеченных при этом

белых шаров удовлетворяет двойному неравенству

80 < m <120 .

РЕШЕНИЕ:

Перепишем двойное неравенство в виде

5

ПП 8.№2.

80 < m <120 −20 < m −100 <

1

m

1

1

.

≥

20,

−

<

− 3

<

6

15

300

15

Нужно

оценить

вероятность

неравенства

m

−

1

<

1

, ε =

1

.

300

3

15

15

m

1

1

1 2

5

3 3

.

P

−

<

≥1−

=

300

3

15

6

1

300

225

Дана случайная величина X с математическим ожи-

данием m и дисперсией σ2 . Оцените вероятность то-

го, что величина X отклонится от своего математиче-

ского ожидания более чем на 3σ .

РЕШЕНИЕ:

Полагая в неравенстве Чебышева

1

ПП 8.№3.

P (

X −m

≥α)≤

D

≤

9

α2

α = 3σ , имеем P (

X −m

≥ 3σ )≤

D

= 1 ,

то есть вероят-

9σ2

9

ность того, что отклонение случайной величины от

ее математического ожидания не выйдет за пределы

3σ , не может быть больше

1 .

9

Дана случайная величина X с математическим ожи-

данием m и дисперсией σ2 . Оцените вероятность то-

ПП 8.№4.

го, что величина X отклонится от своего математиче-

0, 968

ского ожидания менее чем на 31σ .

РЕШЕНИЕ:

1

P (

X −m

< 31σ )

≥1−

= 0,968 .

2

31

Случайная величина

Xk

с одинаковой вероятностью

может принимать одно из двух значений:

kα и −kα .

Определите, удовлетворяет ли последовательность

ПП 8.№5.

X1 ,X 2 ,...X k ,...

попарно независимых случайных ве-

личин закону больших чисел:

1

n

1

n

lim P

∑Xi

−

∑M (Xi

)

=1,ε

> 0 , если

<ε

n→∞

n i=1

n i=1

5

α = −1,8 и α = 0, 42 .

РЕШЕНИЕ:

Случайные величины попарно независимы. Проверим, является ли дисперсия Xk ограниченной вели-

чиной. Составим законы распределения случайной величины Xk для различных α .

1) α = −1,8 .

			Xk	k −1,8	- k −1,8
			pi	1			1
				2			2
										k −3,6
M (X k )=	1 (k −1,8	− k −1,8 )= 0									k −3,6
							X k2
							pi			1	1
	2
										2	2
D(Xk )=	1 (k−3,6	+ k−3,6 )= k−3,6			=		1		≤1,
							3,6
	2						k
D (X k )→ 0 при k → ∞.

Дисперсия ограничена. Теорема Чебышева выполняется, Xk удовлетворяет закону больших чисел.

2) Проверьте самостоятельно, что при α = 0, 42 закон больших чисел не выполняется. Почему?

ПП 8.2. Центральная предельная теорема

	На отрезке 0,	3	случайным образом выбраны п чи-
		2
	сел, точнее рассматриваются п независимых случай-
	ных величин	X1 ,X 2 ,...X n , равномерно распределен-
	ных на этом отрезке. Определите вероятность того,
	что их сумма		заключена между x1 и x2 , то есть

	n
ПП 8.№6. P x1 < ∑Xi < x2 .					0,0288
	i=1
РЕШЕНИЕ:
Для	равномерного				распределения Xi на отрезке
[a, b], a = 0, b =		3 .
		2
M (Xi )= a +b		= b	=	3	,
	2	2		4

6

D(X

i

)= (b −a)2

= b2

=

3

, σ

x

=

D =

b

=

3

.

12

12

16

x

2

3

4

n

(Xi )= n b

= n

3 . Преобразуем двойное неравен-

∑M

i=1

2

4

ство для искомой вероятности к виду ЦПТ:

n

P x1 <

∑Xi

< x2 =

i=1

=

−

bn

n

−

b

bn

=

P x1

2

< ∑

Xi

2

< x2 −

2

i=1

bn

n

3

bn

x1

−

∑ Xi −

x2

−

4

= P

2

<

i=1

<

2

=

b

σ

n

b

n

n

2

3

2

3

bn

bn

x2

− 2

= Φ

− Φ

x1 − 2

b

n

b

n

2

3

2

3

Пусть n =162 ,

x1 =132 ,

x2

=156 , тогда

b n

x

2

− bn

x − bn

≈11,

2

≈ 6,27 ,

1

2

≈

1,9 .

2

3

11

11

По таблице найдем Φ(6,27)≈ 0,5,

Φ(1,9)= 0,4712 .

Р = 0,0288.

Складываются 103 чисел, каждое из которых ок-

руглено с точностью до 10–3. Предполагая, что ошиб-

ки от округления независимы и равномерно распре-

делены в интервале (−0,5 10−3 ;0,5 10−3 ), найти ин-

тервал, симметричный относительно математическо-

го ожидания, в котором с вероятностью 0,998 заклю-

ПП 8.№7.

чена суммарная ошибка.

РЕШЕНИЕ:

Представим наблюдавшиеся числа в виде

+ ∆i , где Xi

Xi = X

i

– наблюдавшееся значение, X

i

– округленное значение, ∆i – ошибка округления

i –го числа. Очевидно, сумма равна

1000

1000

1000

1000

∑Xi = ∑(X

i + ∆i )= ∑X

i + ∑∆i =ΣX

+Σ∆.

i=1

i=1

i=1

i=1

7

Первое слагаемое – сумма округленных значений – неслучайно. Второе – сумма случайных величин ∆i , равномерно распределенных на интервале (−0,5 10−3 ;0,5 10−3 ). Для слагаемых

M (∆i )= 0 , D(∆i )=121 10−6 (см. ПП 8.№6.).

1000
Для Σ∆ = ∑∆i соответствующие характеристики:
i=1	1000
				1000
M (Σ∆)= M ∑		∆i		= ∑M (∆i )= 0,
	i=1			i=1
D(Σ∆)	1000			1000	10−3	,
	= D ∑∆i		= ∑D(∆i )=		12
	=			=
	i 1			i 1

σ = D(Σ∆) ≈9,13 10−3 .

Σ∆

Считая (в соответствии с ЦПТ), что величина σ

распределена по закону N (0;1), по таблицам функции Лапласа Ф(x) находим решение уравнения

Ф(x)= 0, 499 : x = 3,09 ,

что дает Σ∆σ (−3,09;3,09), Σ∆ (−0,0282;0,0282).

8