ПП _04 _Теоремы сл и умн_Усл вер

ПП 4. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

ОСНОВНЫЕОПРЕДЕЛЕНИЯИФОРМУЛЫ

1. Вероятность суммы (объединения) несовместных (A B = )событий:

P (A + В)= P (A)+ P (В)

2. Вероятность противоположных событий:

P (A)=1−P (A)

3. Вероятность суммы (объединения) совместных ( P (AB)≠ 0 ) событий:

P (C)= P (A)+ P (B)−P (AB)

4. . Условной вероятностью события А P(A В) называется вероятность по-

явления события А в предположении, что произошло событие B . События А и B независимы, если P(А)= P(A В).

Независимые события могут быть совместными.

Если события А и В независимы, то события А и B так же, как и В и A независимы.

Условная вероятность:

P (В А)= P (AB), P(A В)= P(AB)

P (A) P (B)

5.Вероятность произведения (пересечения) независимых

(P(A В)= P(А), P(В А)= P(В)) событий:

P (A В)= P(A) P(В)

P (A В C)= P (A) P (В) P (C )

6. Вероятность произведения (пересечения) n зависимых событий:

P(А1 А2 ...Аn )= P(А1 )P(А2 А1 ).......P(Аn АА1 2 ...Аn−1 )

Для независимости событий в совокупности недостаточно их попарной независимости.

7.Вероятность появления хотя бы одного события.

Если события А1, А2 ,..., Аn имеют вероятности P (Аi )= pi , то вероят-

ность появления хотя бы одного из событий А1, А2 ,..., Аn , независимых в со-

вокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей

противоположных событий А1, А2 ,..., Аn :

Р( А) =1−q1 q2 ... qn , где P (Аi )= qi =1− pi .

ПП 4.1. Вероятность суммы (объединения) несовместных событий

№ п/п

Задание

Ответ

В корзине 5 белых, 4 красных и 3 синих шара. Какова

вероятность того, что все три шара будут одного цве-

та?

РЕШЕНИЕ:

События: А {все три шара будут одного цвета},

А1 {все три шара будут белого цвета},

А2 {все три шара будут красного цвета},

ПП 4.№1

А3 {все три шара будут синего цвета},

0,068

A = А1 + А2 + А3 ,

А1, А2 , А3

несовместны,

P (А)= P (А1 + А2 + А3 )= P(A1 )+ P (А2 )+ P (A3 ).

С3

С3

С3

P (

A )=

5

, P (A )=

4

,

P (A )=

3

С3

1

С3

2

С3

3

12

12

12

С3

= 12! = 220,

С3 =

5!

=10, С3

=

4! = 4, С3 =

1

12

3!9!

5

3!2!

4

3!

3

15

P (А)=

= 0, 068 .

220

В ящике 10 деталей, из которых 4 окрашены. Сборщик

наудачу взял 3 детали. Найдите вероятность того, что

хотя бы одна из деталей окрашена.

РЕШЕНИЕ:

События А {хотя бы одна из деталей окрашена} и В

ПП 4.№2

{ни одна деталь не окрашена} противоположны и не-

0,(3)

совместны.

С

3 С3

P (А)=1−P (B)=1−

6

4

=

С

3

10

6!

4!

2

1

=1−

3!3!

3!1! =1−

=

= 0,(3)

10!

3

3

3!7!

В лотерее выпущено 10 000 билетов, среди которых 10

выигрышей по 200 тыс. руб., 100 -

по 100 тыс. руб.,

500 – по 25 тыс. руб., и 1000 выигрышей по 5 тыс.

руб. Какова вероятность того, что человек, купивший

1 билет, выиграет не менее 25 тыс. руб.?

ПП 4.№3

РЕШЕНИЕ:

0, 061

События: А {выиграет не менее 25 тыс. руб.},

А1 {выиграет 25 тыс. руб.},

А2 {выиграет 100 тыс. руб.},

А3 {выиграет 200 тыс. руб.},

A = А1 + А2 + А3 ,

А1, А2 , А3 попарно несовместны,

	P (А)= P (А1 + А2 + А3 )= P(A1 )+ P (А2 )+ P (A3 ).
	P (A1 )= 0,05;	P (A2 )= 0,01; P (A3 )= 0,001;
	P (А)= 0,05 +0,01+0,001 = 0,061 .
ПП 4.2. Вероятность суммы (объединения) совместных событий
№ п/п		Задание	Ответ

Бросаются две монеты. Рассматриваются события:

A{выпадение герба на первой монете};

B{выпадение герба на второй монете}. Найдите вероятность того, что хотя бы на одной монете выпадет герб.

РЕШЕНИЕ 1:

Интересующее нас событие С {герб выпадет хотя бы на одной монете} имеет вид C = A + B .

ПП 4.№4 Но P (С)≠ P (A)+ P (B),т.к. события А и В совместны. 0, 75
Рассмотрим событие C {герб не выпал ни на одной
монете}.
Возможные исходы: ГГ, ЦЦ, ЦГ, ГЦ, значит
P (С)= 14 .
C +С =Ω - достоверное событие,
1	3
P (С)+ P (С)=1 P (С)=1−P (С)=1− 4 =	4 = 0, 75 .

Бросаются две монеты. Рассматриваются события:

A{выпадение герба на первой монете};

B{выпадение герба на второй монете}. Найдите вероятность того, что хотя бы на одной монете выпадет герб.

РЕШЕНИЕ 2:

ПП 4.№5 Интересующее нас событие С {герб выпадет хотя бы 0, 75 на одной монете} имеет вид C = A + B .

События А и В совместны, поэтому

P (C)= P(A)+ P (B)−P (AB).
P (A)= 1	; P (B)= 1 ; P (AB)=	1	1	= 1	P (C )= 1	+ 1	− 1 =	3 .
2	2	2	2	4	2	2	4	4
Вероятность потопить корабль					для одной		торпеды
равна 1	. Какова вероятность,			что 4 торпеды потопят
2								0,94
ПП 4.№6 корабль?
РЕШЕНИЕ:
Вероятность того, что 4 торпеды не потопят корабль,

равна P (

)= 1

4 . Вероятность того, что 4 торпеды по-

A

2

1

4

15

топят корабль, равна P (A)=1−P (A)

= 0,94 .

=1−

=

16

2

Один стрелок делает 90% попаданий в цель, другой и

третий при тех же условиях – соответственно 80% и

70%. Какова вероятность хотя бы одного попадания в

цель при одновременном выстреле тремя стрелками?

РЕШЕНИЕ:

События А {попадание в цель первым стрелком},

В {попадание в цель вторым стрелком},

ПП 4.№7

С {попадание в цель третьим стрелком} – независимы

99,4%

и совместны.

P( A) = 0,9, P(B) = 0,8 и P(C) = 0,7. Вероятность со-

бытия D = A + B +C −{хотя бы одно попадание в цель

при одновременном выстреле тремя стрелками} равна

P(D) = P( A + B +C) = P( A) + P(B) + P(C) −

−P( AB) −P( AC) −P(BC) −P( ABC) =

0,9 +0,8 +0,7 −0,9 0,8 −0,8 0,7 −0,9 0,7 +

+0,9 0,8 0,7 = 0,994

Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень.

Вероятность попадания первого стрелка равна 0, 7 , а

второго 0,8. Найдите вероятность того,

что мишень

будет поражена.

Событие A − {попадание в мишень первым стрел-

ком}, событие B − {попадание в мишень вторым

стрелком}, событие С – {мишень поражена}.

По условию

P( A) = 0,7; P(B) = 0,8.

РЕШЕНИЕ 1:

Найдем вероятность события C = A + B {мишень

ПП 4.№8

будет поражена хотя бы одним стрелком}. События A

0,94

и B независимы P( A B) = P( A) P(B)

и совместны:

P(C) = P( A + B) = P( A) + P(B) −P( A B) ,

P(C) = 0,7 +0,8 −0,7 0,8 = 0,94.

РЕШЕНИЕ 2:

Событие С {мишень будет поражена хотя бы од-

ним стрелком} можно представить в виде суммы про-

изведений: C = A

+

В+ A B , где

B

A

A

{попал первый стрелок, а второй не попал},

B

B {попал второй стрелок, а первый не попал},

A

A B {оба попали в мишень}.

По правилу сложения вероятностей несовместных

событий получаем:

P(C) = P( A B) + P( A B) + P( A B) = = 0, 7 0, 2 +0,3 0,8 +0, 7 0,8 = 0,94.

РЕШЕНИЕ 3:

Событие C, противоположное событию С имеет

вид C = A + B = A + B {оба стрелка промахнулись}. Так как события A и B независимы, то

P(C) = P( A B) = P( A) P(B) = 0,3 0, 2 = 0, 06.

Следовательно, P(C) =1−P(C) =1−0,06 = 0,94.

ПП 4.3. Вероятность произведения (пересечения)

независимых событий

№ п/п

Задание

Ответ

Два охотника стреляют одновременно и независимо

друг от друга по зайцу. Заяц убит, если попали оба.

Какова вероятность того, что заяц убит, если пер-

ПП 4.№9

вый попадает с вероятностью 0.8, а второй - с ве-

0,6

роятностью 0.75?

РЕШЕНИЕ:

P = 0,8 0,75 = 0,6 .

В двух партиях 76% и 42% стандартных изделий.

Наудачу выбирают по одному изделию из каждой

партии. Какова вероятность того, что хотя бы одно

из них бракованное?

РЕШЕНИЕ:

ПП 4.№10

A {стандартное изделие из первой партии};

0,6808

B {стандартное изделие из второй партии};

события A и B независимы;

C {хотя бы одно из них бракованное}.

P(A)=0,76 , P(B)=0,42 , C = Ω− AB ,

P(C )=1 − P(AB)=1 − P(A)P(B)=0,6808 .

Три орудия вместе стреляют по мишени. Вероятно-

сти попадания каждого: р1 = 0, 4 , р2 = 0,5 ,

р3 = 0,7 . Найдите вероятности событий:

0,14;

A {все три попадут в мишень}; B {попадет один}, С

ПП 4.№11

0,36;

{хотя бы один попадет}.

0,91

РЕШЕНИЕ:

P (A)= P (A1 A2 A3 )= P (A1 )P (A2 )P (A3 )= 0, 4 0,5 0, 7 = 0,14;

P(В)= P(A1

)+ P(A2

)+ P(A3

)=

A2

A3

A1

A3

A2

A1

= 0, 4 (1−0,5) (1−0,7)+0,5 (1−0, 4) (1−0,7)+

+0,7 (1−0,5) (1−0, 4)= 0, 4 0,5 0,3 +0,5 0,6 0,3 +

+0,7 0,5 0,6 = 0,36;

P (С)=1−P (

)=1−P (

)=1−0, 6 0,5 0,3 = 0,91.

С

A1

A2

A3

Найдите вероятность того, что при одновременном

бросании трёх монет на всех трёх появится герб.

РЕШЕНИЕ:

События А {появление герба на первой монете}, В

{появление герба на второй монете} и С {появле-

ПП 4.№12 ние герба на третьей монете} – независимые собы-

0,125

тия. Вероятность события D= ABC { при одновре-

менном бросании трёх монет на всех трёх появится

герб} равна:

P( ABC) = 1

1

1

= 1 = 0,125

2

2

2

8

Стрелок стреляет по мишени до первого попадания,

после чего прекращает стрельбу. Вероятность по-

ражения мишени при одном выстреле равна 0,6.

Какова вероятность, что стрелок поразит мишень

при четвёртом выстреле?

ПП 4.№13

РЕШЕНИЕ:

{стрелок попал при i-ом

0,0384

Рассмотрим события Аi

выстреле} и

{стрелок

промахнулся при i-

Ai

выстреле}, тогда событие {стрелок поразит мишень

при четвёртом выстреле}=

A4 .

A1

A2

A3

P (

A4 )= (1−0,6)3 0,6 = 0,0384.

A1

A2

A3

Бросают две игральные кости. Какова вероятность выпадения на первой кости нечетного числа очков и на второй пяти очков?

РЕШЕНИЕ: События:

ПП 4.№14 A {выпадение нечетного числа очков на первой 0,083

кости}; B {выпадение 5 очков на второй кости}. Интересующее нас событие С {герб выпадет хотя бы на одной монете} имеет вид C = A B .

События А и В совместны и независимы.

	P (A В)= P (A) P (В)= 1	1 =		1	= 0, 083 .
			12
	2	6
	Зашедший в магазин мужчина покупает что-нибудь
	с вероятностью 0,1, а зашедшая женщина ─ с веро-
	ПП 4.№15 ятностью 0,6. У прилавка один			мужчина и две 0,856
	женщины. Какова вероятность того, что по крайней
	мере один человек что-нибудь купит?

РЕШЕНИЕ: События:

A {покупку сделает мужчина};

B1 { покупку сделает первая женщина},

B2 {покупку сделает вторая женщина}.

С { по крайней мере один человек что-нибудь купит }

C = A B1 B2 .

События А и В совместны и независимы.

P

(

С

)

= P

( 1 2 )

= P

(

A

)

+ P

( 1 )

+ P

( 2 )

−P

(

1 )

−

АВВ

B

В

AB

−P (AВ2 )−P (B1В2 )+ P (AB1В2 )=

.

= 0,1+0, 6 +0, 6 −0,1 0, 6

−0,1 0, 6 −0,6 0,6 +0,1 0,6 0,6 = 0,856.

Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найдите вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим события A {первое изделие стандартно}, B {второе изделие стандартно}. Тогда события {оба изделия стандартны}, {хотя бы одно изделие стандартно} и {только одно изделие стандартно}

представляют собой AB, (A+В) и (AB + AB) соответ-

	ственно.
	Из рисунка видим пространство исходов:
	Ω{ AB ,
ПП 4.№16		AB		, AB, AB }.					0,18

P (A)= 0,9, P (B)= 0,9, P (AB)= 0,9 0,9 = 0,81
События A и B совместны, поэтому
P (A + B)= P (A)+ P (B)−P(AB)= 0,9 +0,9 −0,81 = 0,99 ,
P(AB + AB)= P(A + B)−P (AB)= 0,99 −0,81 = 0,18.
Из 100 студентов, находящихся в аудитории, 50 че-
ПП 4.№17 ловек знают английский язык,	40 человек знают	0,08
французский язык, 35 человек	знают немецкий

язык, 20 человек знают английский и французский языки, 8 человек знают английский и немецкий языки, 10 человек знают французский и немецкий языки, 5 человек знают все три языка. Какова вероятность, что находящийся в аудитории человек не знает ни одного из этих языков?

РЕШЕНИЕ: События:

A{студент знает английский язык},

B{знает французский},

С {знает немецкий}

D { человек не знает ни одного из этих языков } На рисунке видим пространство исходов.

P(D)=1−

− P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(AC)−P(BC)+P(ABC) =

50

40

35

20

8

10

5

=1−

+

+

−

−

−

+

=1−0,92

=0,08

100

100

100

100

100

100

100

Определить вероятность того, что номер первой

встретившейся автомашины, состоящий из четырех

цифр:

А {не содержит цифры 5};

B {не содержит двух и более пятерок};

C {не содержит ровно двух пятерок}.

РЕШЕНИЕ:

ПП 4.№18 А {появление пятерки на каком - либо месте номе-

0,951

5

ра},

={появление любой другой цифры},

А5

P(А5 )=0,1, P(

)= 0,9.

А5

A =

,

А5

А5

А5

А5

B =

+ А5

+

А5

+

А5

А5

А5

А5

А5

А5

А5

А5

А5

А5

+

А5

+

А5 ,

А5

А5

А5

А5

А5

А5

C = Ω−( А5 А5

А5

А5

+ А5

А5

А5

А5

+ А5

А5

А5

А5 +

А5

А5 А5

А5

+

+

А5

А5 +

А5 А5 ).

А5

А5

А5

А5

P(A)=0,94 ≈0,656 ,

P(B)=0,94 +4 0,1 0,93 ≈0,948 ,

P(C)=1−6 0,12 0,92

≈0,951.

ПП 4.4. Условная вероятность

№ п/п

Задание

Ответ

Опыт состоит в последовательном бросании двух монет. Рассматриваются события:

A{выпадение герба на первой монете},

B{выпадение хотя бы одного герба}, С {выпадение хотя бы одной решетки},

D{выпадение герба на второй монете}. Определите зависимы или независимы события, и вычислите вероятности пар:

1) A и С, 2) A и D, 3) В и С, 4) В и D.

	РЕШЕНИЕ:																																0,5;
ПП 4.№19	Элементарные исходы – ГГ, ГР, РГ, РР.																																0,5;
	P(AC)=		1	, P(AD)=			1		, P(BC)=				1			, P(BD)			1		.												0,5;
			4			4							2					=	4								14						1
	1) A и С зависимы,								P(C)=	3		, P(C | A)=						P(CA)								=				=	1		;
										4								P(A)													2
																											1		2
														1								1
	2) A и D независимы, P(D)=																, P(D | A)=							;
													2
																		2										24
	3) В и С зависимы, P(B)=									3		, P(B| C)=						P(BC)								=				=	2		;
										4																					3
																		P(C)									3		4
										3
	4) В и D зависимы,								P (B)=			, P(B | D)=1 .
										4
	Из полной колоды карт (52 листа) вынимается одна
	карта. Рассматриваются события:
	A {появление туза},																																0,077,
	B {появление карты красной масти},
	С {появление бубнового туза},																																1,
ПП 4.№20	D {появление десятки}.																																1,
	Определите зависимы или независимы события, и																																0,5,
	вычислите вероятности пар:																																0
	1) A и В, 2) A и С, 3) В и С, 4) В и D, 5) С и D .
	РЕШЕНИЕ:
	P(AB)=		2		, P(AC)=	1			, P(BC)=					1			, P(BD)=			2			, P(CD)=0 .
		52				52							52					52

		1) A и В независимы, P (A)=																						1	, P(A								| B)=					1			;
																							13														13
																						1
		2) A и С зависимы,													P (A)				=					, P(A | C)=1;
																					13
		3) В и С зависимы,													P (B)				=			1 , P(B | C)=1;
																					2		1 ,														1
		4) В и D независимы, P (B)=																								P(B |							D)=						;
																																					2
																							2
		5) С и D зависимы, т.к. несовместны, P(C | D)=0 .
		Из семи билетов один выигрышный. Семь человек
		поочередно вытягивают по одному билету (не воз-
ПП 4.№21	вращая его). Зависит ли вероятность выигрыша от																																											нет
	места в очереди?
					P1		=	1		, P2 =				6 1			=	1	, P3				= 6						5		1		= 1 и т.д.
								7						7	6			7					7					6			5		7
		В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины. По та-
		бельным номерам наудачу отобраны три человека.
		Найдите вероятность того, что все отобранные лица
		окажутся мужчинами.
ПП 4.№22		РЕШЕНИЕ:																																										0, 29
		Рассмотрим события A {первый человек оказался
		мужчиной}, B {второй человек оказался мужчи-
		ной}, C {третий человек оказался мужчиной}.
		P (ABC )= P (A)P (B / A)P (C / AB)=																										7			6		5		=		7				= 0, 29
																															9						24
																										10							8
		Дан набор букв А, А, А, Е, И, К, М, М, Т, Т.
	Какова вероятность того, что при случайном рас-
	кладывании получится слово «МАТЕМАТИКА»?
	РЕШЕНИЕ:
ПП 4.№23		М			А				Т				Е				М				А					Т							И					К				А		0, 66 10−4
		P(МAТЕМAТИКA)= P(М)P(А/ М)P(Т / МA)P(Е/ МAТ)
						P(M / МATЕ)P(A/ MATЕМ)P(T / МATEMA)
		P(И/ МATEMAT )P(K / МATEMATИ)P(A/ МATEMATИK )=
	=				2		3	2		1		1		2	1		1	1	1 =				24			=					1				≈0,000066
							9																10!					151200
			10					8		7		6		5	4		3	2 1
		Какова вероятность из колоды в 52 карты достать
		по очереди тройку, семерку, туза?
		РЕШЕНИЕ:
ПП 4.№24		Вероятность										достать из колоды в 52 карты тройку																																≈ 4,83 10−4
		равна			P		(A)			=		4	; после этого в колоде останется 51
											52
		карта, из которых 4 семерки. Вероятность, что вто-
		рой картой будет семерка, при условии, что первой