41. Эллипс

Фокальноесвойствоэллипса(2)

Получим

x2 − 2cx + c2 + y2 = 4a2 − 4ap(x + c)2 + y2 + x2 + 2cx + c2 + y2 ,

что после очевидных преобразований дает

p

a (x + c)2 + y2 = a2 + cx.

Еще раз возведем полученное равенство в квадрат. Получим a2(x2 + 2cx + c2 + y2) = a4 + 2a2cx + c2 x2

или

(a2 − c2 )x2 + a2y2 = a2(a2 − c2 ).

Поскольку a2 − c2 = b2, последнее равенство можно переписать в виде

b2 x2 + a2y2 = a2b2.

Разделив это равенство на a2b2 , получим уравнение (1).

§ 41. Эллипс

Директориальноесвойствоэллипса(1)

Следующее утверждение дает еще одну характеризацию эллипса.

Директориальное свойство эллипса

Точка M принадлежит эллипсу (не являющемуся окружностью) тогда и только тогда, когда отношение расстояния от M до фокуса к расстоянию от M до соответствующей этому фокусу директрисы равно эксцентриситету эллипса.

Докажем сформулированное утверждение для правого фокуса и правой директрисы. Для левого фокуса и левой директрисы доказательство абсолютно аналогично.

Доказательство. Необходимость. Обозначим через ℓ директрису с уравнением x = ea . Очевидно (и вытекает из формулы (14) в § 15), что расстояние от точки M(x, y) до ℓ равно ae − x = a−eex . Используя лемму о фокальных радиусах эллипса, получаем, что если точка M(x, y) принадлежит эллипсу, то

|F1 M|	=		r1		=	a − ex			·	e = e.
		(a		ex)/e
d (M, ℓ)			−			a	−	ex

§ 41. Эллипс

Директориальноесвойствоэллипса(2)

Достаточность. Пусть M(x, y) произвольная точка плоскости, для

которой выполнено равенство

|F1 M|

= e

или |F1 M| = e · d (M, ℓ). Ясно, что

d (M,ℓ)

|F1 M| =

(x −ac)2 + y2 . Используя формулу (14) из § 15, получаем, что

(

, ℓ) p

−

. Следовательно,

d M

|

e |

= x

a

.

(x − c)2 + y2 = e ·

x − e

p

Возводя это равенство в квадрат, имеем

x2 − 2cx + c2 + y2 = e2 x2 − 2eax + a2.

Поскольку ea = c, последнее равенство можно переписать в виде

(1 − e2 )x2 + y2 = a2 − c2 .

Учитывая, что

a2

c2 = b2 и 1

e2

= 1

c2

=

a2 − c2

=

b2

,

−

−

− a2

a2

a2

имеем

b2 x2 + y2 = b2. a2

Разделив это равенство на b2 , получим уравнение (1).

§ 41. Эллипс

Оптическое свойство эллипса (1)
Эллипс обладает следующим оптическим свойством:
Оптическое свойство эллипса
Свет от источника, находящегося в одном из фокусов эллипса, отражается
эллипсом так, что отраженные лучи пересекаются во втором фокусе.
Доказательство. Дальнейшие рассуждения иллюстрирует рис. 2.
Изображенная на нем прямая ℓ касается эллипса в точке M(x0 , y0).
Согласно законам физики (угол падения равен углу отражения) требуется
доказать, что углы, образуемые отрезками F1M и F2M с касательной,
равны, т. е. что (в обозначениях рис. 2) ϕ = ψ. Будем считать, что точка
M расположена в I четверти (в остальных случаях доказательство вполне
аналогично).
Найдем уравнение прямой ℓ. Как известно из математического анализа,
уравнение касательной к графику функции y = f (x), проходящей через
точку с координатами (x0, y0 ), лежащую на этом графике, имеет вид
y = y0 + f ′(x0)(x −′	x0 ). Используя формулы (2) и (3), преобразуем сначала
выражение для y :		−bx
	y′ =				=	b2	x
	a	√ 2	− x	2		− a2	· y
		a
	1	b	1
(поскольку, в силу (2), √a2 −x 2		= a	· y ).
					§ 41. Эллипс

Оптическоесвойствоэллипса(2)

Поэтому уравнение прямой ℓ записывается в виде

b2x0

y − y0 = −

(x − x0 ).

a2y0

Умножим обе части этого равенства на

y02 . Получим

b

yy0 − y02

=

−

xx0 − x02 .

b2

a2

Учитывая, что точка M принадлежит эллипсу, имеем

xx0

+

yy0

=

x02

+

y02

= 1.

a2

b2

a2

b2

Итак,

прямая ℓ имеет уравнение

x0

·

x + y02

·

y

−

1 = 0. Положим

2

a

b

2

2

N = q

x0

+

y0

. Найдем расстояния от фокусов до прямой ℓ. Используя

a4

b4

формулу для расстояния от точки до прямой на плоскости (формула (14) в § 15) и лемму о фокальных радиусах, имеем:

d1 = d (F1, ℓ) =

1

·

cx0

− 1

=

1

· |x0 e

− a| =

r1

и

N

a2

Na

Na

1

cx

0

1

r2

·

d2 = d (F2, ℓ) = N

−a2

− 1

= Na · |x0 e + a| = Na .

§ 41. Эллипс

Оптическое свойство эллипса (3)
Следовательно, sin ϕ = d1	=	1	= d2	= sin ψ. Таким образом, sin ϕ = sin ψ,
r1		Na	r2
т. е. ϕ = ψ.
			y
s
2					M(x0 , y0 )
d				ψ	s
					ϕ
	r2						s	ℓ
					r		1
						d
					1
s			s				s
F2 (−c, 0)			O		F1(c, 0)				x
Рис. 2. К доказательству оптического свойства эллипса

§ 41. Эллипс