08. Определители

Перестановкастрокместами

4-е свойство определителей

Если две строки матрицы A поменять местами, то ее определитель умножится на −1.

Доказательство. Предположим, что мы поменяли местами k-ю и m-ю строки матрицы A, причем k < m. Обозначим полученную матрицу через A′. Тогда при переходе от |A| к |A′| всякое слагаемое вида

a1i1 a2i2 · · · ak−1 ik−1 akik ak+1 ik+1 · · · am−1 im−1 amim am+1 im+1 · · · anin

заменится на равное ему по модулю слагаемое

a1i1 a2i2 · · · ak−1 ik−1 amim ak+1 ik+1 · · · am−1 im−1 akik am+1 im+1 · · · anin

(оба раза мы указали слагаемые без знаков). Перестановка

(i1 , i2 , . . . , ik−1 , im , ik+1 , . . . , im−1 ik im+1 , . . . , im )

получается из перестановки

(i1 , i2 , . . . , ik−1 , ik , ik+1 , . . . , im−1 im im+1 , . . . , im )

транспозицией символов ik и im . В силу предложения о транспозиции и четности (см. § 3), эти транспозиции имеют разную четность. Следовательно, указанные выше слагаемые входят в выражения для |A| и |A′| с разными знаками, и потому |A′| = −|A|.

§ 8. Определители

Наличиеодинаковыхстрок.Аддитивностьотносительностроки(1)

5-е свойство определителей

Если матрица A содержит две одинаковые строки, то ее определитель равен 0.

Доказательство. После перестановки двух равных строк местами определитель, с одной стороны, не изменится (что очевидно), а с другой умножится на −1 (в силу предыдущего свойства). Следовательно, он равен 0.

6-е свойство определителей (аддитивность относительно строки)

Если каждый элемент некоторой строки матрицы представлен в виде двух

слагаемых, то ее определитель равен сумме определителей двух матриц, в

первой из которых элементы этой строки равны первым слагаемым, а во

второй вторым слагаемым, а все остальные строки в обеих матрицах

те же, что и в исходной матрице.

§ 8. Определители

Аддитивностьотносительностроки(2)

Доказательство. Положим

	.′.		.a.11. . .	′′			′	a12	′′			′	a1n	′′
	a									. . .
A =		k	1 + a	k	1	a	k	2 + a	k	2 . . .	a	kn	+ a	kn		,
				. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		.	. . . . .	.	.	. .	.	. . . . .	.	. . . . .	. .	. .	. . . .	.
			an1					an2		. . .			ann

a11 a12 . . . a1n

. . . . . . . . . . . . . . .

B =	ak′	1	ak′ 2	. . . akn′

. . . . . . . . . . . . . . .

an1 an2 . . .

ann

a11 a12

. . . . . . .

и C = ak′′1 ak′′2

. . . . . . .

an1 an2

. . . a1n

. . . . . . . .

. . . akn′′ .

. . . . . . . .

. . . ann

Тогда

(i ,iX, i )

|A| =

(−1)I (i1

,i2,...,in )a1i1

· · · ak−1 i

k−1

(aki′

k

+ aki′′

)ak+1 i

· · · anin =

k

k+1

1

2 ..., n

(i ,iX, i )

=

(−1)I (i1

,i2,...,in )a1i1

· · · ak−1 i

k−1

aki′

ak+1 i

· · · anin +

k

k+1

1

2 ..., n

(i ,iX, i )

+

(−1)I (i1

,i2 ,...,in )a1i1

· · · ak−1 i

k−1

aki′′

ak+1 i

· · · anin = |B| + |C |.

k

k+1

1

2 ..., n

Свойство доказано.

§ 8. Определители

Прибавлениекоднойстрокедругойстроки,умноженнойнаскаляр

7-е свойство определителей

Если к некоторой строке матрицы A прибавить другую ее строку, умноженную на некоторый скаляр, то определитель матрицы не изменится.

Доказательство. Используя 2-е, 5-е и 6-е свойства определителей, имеем

	. . .	.a.	. . .	. . . . . . .a.		. .	. . . .	.. .. .. .	. . . .a. .n. . . .
			11		12				1
	ak1 + tam1 ak2 + tam2							. . .	akn + tamn
	. . .	. .	. . . .	. . . . . . .	.	.	. . . .	. . . .	. . . . . . . . . .	=
		am1		am2				. . .	amn
	. . .	. .	. . . .	. . . . . . .	.	.	. . . .	. . . .	. . . . . . . . . .
		an1		an2				. . .	ann
	a11 a12 . . . a1n							a11 a12 . . .		a1n
	. . .	. .	. . . .	. . . . . . .					. . . . . . . . . .	. . .
	ak1 ak2			. . . akn				am1 am2 . . .		amn
=	. . .	. .	. . . .	. . . . . . .			+ t ·	. . .	. . . . . . . . . .	. . .		= |A| + t · 0 = |A|.
	am1 am2 .			. . amn				am1 am2 . . .		amn
	. . .	. .	. . . .	. . . . . . .				. . .	. . . . . . . . . .	. . .
	an1 an2			. . . ann				an1 an2 . . . ann
									§ 8.
Свойство доказано.

Определители

Разложениеопределителяпостроке(1)

Определение

Пусть A = (aij ) квадратная матрица порядка n > 2 и 1 6 i, j 6 n. Определитель квадратной матрицы (n − 1)-го порядка, получающейся при вычеркивании из матрицы A i-й строки и j-го столбца, называется

минором элемента aij и обозначается через Mij . Алгебраическим дополнением элемента aij называется скаляр Aij = (−1)i +j Mij .

8-е свойство определителей (разложение определителя по строке)

Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений произвольной строки на их алгебраические дополнения.

Иными словами, если A = (aij ) F n×n и 1 6 k 6 n, то

|A| = ak1 Ak1 + ak2 Ak2 + · · · + akn Akn .

(3)

Эта формула называется разложением определителя по k-й строке. В силу принципа равноправия строк и столбцов имееет место также следующая формула разложения определителя по k-му столбцу:

|A| = a1k A1k + a2k A2k + · · · + ank Ank .

§ 8. Определители

Разложениеопределителяпостроке(2)

Доказательство. Напомним, что через Sn обозначается группа подстановок на множестве {1, 2, . . . , n}. Формулу (2) можно переписать в виде

	X
|A| =	(−1)σa1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n),	(4)

σ Sn

где

(

1, если σ четна,

(−1)σ =

−1, если σ нечетна.

Докажем сначала равенство (3) в случае, когда k = 1. Зафиксируем число m такое, что 1 6 m 6 n, выберем в правой части равенства (4) все слагаемые, в которые входит сомножитель a1m , и вынесем этот элемент за скобку. Полученное выражение обозначим через S1m . Обозначим через Tn

множество всех подстановок σ Sn таких, что σ(1) = m. Ясно, что

n

|A| = P S1m и S1m = a1m T1m , где

m=1

	σXn
T1m =	(−1)σ a2σ(2)a3σ(3) · · · anσ(n).	(5)

T

§ 8. Определители

Разложениеопределителяпостроке(3)

В то же время,

X
M1m = (−1)kτ a2τ (2)a3τ (3) · · · anτ (n),	(6)

τ T

где T это множество всех взаимно-однозначных отображений из множества {2, . . . , n} на множество {1, . . . , m − 1, m + 1, . . . , n}, а kτ число инверсий отображения τ . Ясно, что слагаемые, стоящие в правых частях равенств (5) и (6) совпадают по абсолютной величине. Для того, чтобы сравнить их знаки, расширим взаимно-однозначное отображение τ из множества {2, . . . , n} на множество {1, . . . , m − 1, m + 1, . . . , n} до подстановки σ на множестве {1, 2, . . . , m}, положив σ(1) = m и

σ(q) = τ (q) для q = 2, . . . , n. Инверсиями подстановки σ будут в точности все инверсии отображения τ и все пары вида (1, i), где i = 1, 2, . . . , m − 1 (поскольку σ(1) = m > i для всех таких i и только для них). Это значит,

что число инверсий подстановки σ на m − 1 больше, чем число инверсий отображения τ , и потому (−1)σ = (−1)m−1 · (−1)kτ = (−1)1+m · (−1)kτ .

Итак, коэффициент перед каждым слагаемым в сумме (5) равен

коэффициенту перед тем же слагаемым в сумме (6), умноженному на

(−1)1+m .

§ 8. Определители

Разложениеопределителяпостроке(4)

Объединяя сказанное, имеем T1m = (−1)1+m M1m = A1m , и потому

n		n	n
P		P	P
|A| =	S1m =	a1m T1m =	a1m A1m . Мы доказали равенство (3) в
m=1		m=1	m=1

случае k = 1. Пусть теперь 1 < k 6 n. Переставляя последовательно k-ю строку с (k − 1)-й, (k − 2)-й, . . . , наконец, с первой, и используя 4-е свойство определителей и только что доказанную формулу разложения определителя по первой строке, имеем

a11 a12

. .

.

a1n

a11

a12 . . .

a1n

ak1

ak2 . . .

akn

. . . .

. . . .

. .

.

. . . .

. . .

. . .

. . . . . . . . .

. . . .

. .

akn

= (−1)

k−1

·

ak−1 n

=

ak1 ak2

. .

.

ak−1 1 ak−1 2 . . .

. . . .

. . . .

. .

.

. . . .

ak+1 1 ak+1 2 . . .

ak+1 n

an1 an2

. .

.

ann

.

. . .

. . .

. . . . . . . . . .

. . .

. .

an1

an2 . . .

ann

k−1

k

1+1

k

k

1+2

k

kn

1+n

kn

=ak1 (−1)k+1 Mk1 + ak2(−1)k+2 Mk2 + · · · + akn (−1)k+n Mkn =

=(−1)

a

1

(−1)

M 1

+ a

2

(−1)

M 2 + · · · + a

(−1)

M

=

=ak1 Ak1 + ak2 Ak2 + · · · + akn Akn .

Свойство доказано.

§ 8. Определители

Сумма произведений элементов строки на алгебраические дополнения элементов другой строки (1)

9-е свойство определителей

Сумма произведений элементов некоторой строки матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.

Доказательство. Пусть A = (ars ) квадратная матрица порядка n и

1 6 i, j 6 n, i =6 j. Обозначим через A′ матрицу, полученную из матрицы A заменой ее j-й строки на i-ю. Вычеркнем из A j-ю строку, а из A′ i-ю строку. Полученные матрицы обозначим через B и B′ соответственно. Без ограничения общности будем считать, что i < j. Тогда матрицы B и B′ имеют следующий вид (справа от каждой матрицы указаны номера строк):

		A11			A12		· · ·	A1n			1			A11		A12	· · ·			A1n				1
		. .	. . .	. .	. .	. . .	. . . . . .	.	. . .		· · ·			. . . . .	. .	. . . . .	.		. . . .	.	. . .			· · ·
	Ai −1 1 Ai −1 2						· · · Ai −1 n				I − 1		Ai −1 1 Ai −1 2					· · · Ai −1 n						I − 1
		A	1		A	2	· · ·	A			I		A	1 1	A	1 2		· · · A		1				I
		i			i				in					i +		i +				i + n
B =	A		1 1	A		1 2	· · · A		1		I + 1	, B′ =	.	. . . . . .	.	. . . . .	.		. . . .	.	. . .			· · ·
		i +			i +			i + n			· · ·							· · · Aj −1 n						J − 2	.
	.	. .	. . . .	.	. .	. . . .	. . . . .	.	. . .				Aj −1 1 Aj −1 2
	Aj −1 1 Aj −1 2 · · · Aj −1 n										J − 1			Ai 1		Ai 2	· · ·			Ain				J − 1
	Aj +1 1			Aj +1 2			· · · Aj +1 n				J		Aj +1 1		Aj +1 2			· · · Aj +1 n						J
	.	. .	. . . .	.	. .	. . . .	. . . . .	.	. . .		· · ·		.	. . . . . .	.	. . . . .	.		. . . .	.	. . .			· · ·
	An1				An2		· · · Ann				N − 1		An1			An2		·	· · A		nn			N − 1

§ 8. Определители

Сумма произведений элементов строки на алгебраические дополнения элементов другой строки (2)

В частности, если j = i + 1, то B = B′. Для всякого k = 1, 2, . . . , n обозначим через Ak матрицу, получаемую при вычеркивании k-го столбца из матрицы B, а через A′k матрицу, получаемую при вычеркивании k-го столбца из матрицы B′. Если j = i + 1, то для всех k = 1, 2, . . . , n матрицы Ak и A′k совпадают. А если j > i + 1, то для всех k = 1, 2, . . . , n эти матрицы получаются одна из другой одной и той же перестановкой строк (а именно, надо j − i − 1 раз поменять между собой соседние строки: матрица Ak получится из матрицы A′k , если во второй из них поменять местами сначала (j − 1)-ю строчку с (j − 2)-й, затем (j − 2)-ю c (j − 3)-й,

. . . , наконец, (i + 1)-ю с i-й). Учитывая 4-е свойство определителей, получаем, что либо Aik = A′ik для всех k, либо Aik = −A′ik для всех k. Далее, |A′| = 0 по 5-му свойству определителей, поскольку в матрице A′ имеются две одинаковые строки. Разлагая определитель матрицы A′ по j-й строке (которая совпадает с i-й строкой матрицы A), имеем:

0 = ai 1A′i 1 + ai 2A′i 2 + · · · + ain A′in = ±(ai 1Aj 1 + ai 2Aj 2 + · · · + ain Ajn ),

откуда ai 1Aj 1 + ai 2Aj 2 + · · · + ain Ajn = 0.

§ 8. Определители